Tài liệu Phương pháp dồn biến giải BĐT pdf

PHÖÔNG PHAÙP DOÀN BIEÁN

Phan Tha¯nh Vie‰t

Noäi dung:

1. GiÙ˘i thie‰u.

2. B—T 3 bie·n vÙ˘i cˆÔc trÚ ÒaÔt ÒˆÙÔc Òo·i xˆ˘ng.

3. Do‡n bie·n baËng kÛ thua‰t ha¯m so·.

4. B—T 3 bie·n vÙ˘i cˆÔc trÚ ÒaÔt ÒˆÙÔc taÔi bie‚n.

5. B—T 4 bie·n.

6. Do‡n bie·n baËng ha¯m lo‡i.

7. Do‡n bie·n ve‡ gia˘ trÚ trung bÏnh.

8. —Únh ly˘ do‡n bie·n toÂng qua˘t.

9. NhÏn laÔi.

10. Ba¯i ta‰p.

1. Giôùi thieäu.

Ca˘c baÔn tha‚n me·n, ra·t nhie‡u trong so· ca˘c B—T ma¯ ta Òaı gaÎp co˘ da·u

Òa˙ng thˆ˘c khi ca˘c bie·n so· baËng nhau. Mo‰t vÌ duÔ kinh ÒieÂn la¯

Ví duï 1: (B—T Cauchy) Cho x, y, z > 0 thÏ x + y + z ≥ 3

√3 xyz.

Co˘ the no˘i so· lˆÙÔng B—T nhˆ va‰y nhie‡u Òe·n no„i nhie‡u baÔn seı tha·y

Òie‡u Òo˘ la¯ ... hieÂn nhie‚n. Ta·t nhie‚n, kho‚ng ha˙n nhˆ va‰y. Tuy nhie‚n, trong

trˆÙ¯ng hÙÔp Òa˙ng thˆ˘c kho‚ng xa˚y ra khi ta·t ca˚ ca˘c bie·n baËng nhau thÏ ta

laÔi ra·t thˆÙ¯ng rÙi va¯o mo‰t trˆÙ¯ng hÙÔp kha˘c, toÂng qua˘t hÙn: Òo˘ la¯ co˘ mo‰t so·

(thay vÏ ta·t ca˚) ca˘c bie·n baËng nhau. ‘¤ Òa‚y chu˘ng to‚i da„n ra mo‰t vÌ duÔ seı

ÒˆÙÔc chˆ˘ng minh Ù˚ pha‡n sau.

Ví duï 2: (VMO) Cho x, y, z ∈ R, x2 + y2 + z2 = 9. ThÏ

2(x + y + z) − xyz ≤ 10

Trong B—T na¯y thÏ da·u "=" xa˚y ra khi x = y = 2, z = −1 (va¯ ca˘c hoa˘n

vÚ).

1

Co˘ the nhie‡u baÔn seı ngaÔc nhie‚n khi bie·t raËng co¯n co˘ nhˆıng ba·t Òa˙ng

thˆ˘c ma¯ da·u "=" xa˚y ra khi ca˘c bie·n Òe‡u kha˘c nhau. VÌ duÔ sau Òa‚y cuıng

seı ÒˆÙÔc chˆ˘ng minh Ù˚ pha‡n sau.

Ví duï 3: (Jackgarfukel) Cho a, b, c la¯ 3 so· thˆÔc kho‚ng a‚m va¯ co˘ to·i Òa

mo‰t so· baËng 0. ThÏ ta luo‚n co˘:

a

√a + b

+

b

√b + c

+

c

√c + a

≤

5

4

√

a + b + c

‘¤ Òa‚y, da·u Òa˙ng thˆ˘c xa˚y ra khi a = 3b > 0, c = 0 (va¯ ca˘c daÔng hoa˘n vÚ).

Ca˘c baÔn co˘ the tˆÔ ho˚i la¯ ca˘c gia˘ trÚ cha˙ng haÔn nhˆ (3, 1, 0) co˘ gÏ ÒaÎc bie‰t

ma¯ la¯m cho Òa˙ng thˆ˘c xa˚y ra. Mo‰t ca˘ch trˆÔc gia˘c, ta tha·y dˆÙ¯ng nhˆ ÒieÂm

ÒaÎc bie‰t Òo˘ la¯ do co˘ mo‰t bie·n baËng 0. VÏ gia˚ thie·t la¯ ca˘c bie·n kho‚ng a‚m,

ne‚n bie·n baËng 0 co¯n ÒˆÙÔc goÔi la¯ bie·n co˘ gia˘ trÚ tre‚n bie‚n.

To˘m laÔi, trong ca˘c B—T ma¯ ta gaÎp, co˘ ca˘c trˆÙ¯ng hÙÔp da·u "=" xa˚y

ra ra·t thˆÙ¯ng gaÎp: Òo˘ la¯ trˆÙ¯ng hÙÔp ta·t ca˚ ca˘c bie·n baËng nhau (ta goÔi la¯ "cˆÔc

trÚ ÒaÔt ÒˆÙÔc taÔi ta‚m"), toÂng qua˘t hÙn la¯ trˆÙ¯ng hÙÔp co˘ mo‰t so· ca˘c bie·n baËng

nhau (ta goÔi la¯ "cˆÔc trÚ ÒaÔt ÒˆÙÔc co˘ tÌnh Òo·i xˆ˘ng"), mo‰t trˆÙ¯ng hÙÔp kha˘c

la¯ da·u "=" xa˚y ra khi co˘ mo‰t bie·n co˘ gia˘ trÚ tre‚n bie‚n (va¯ ta goÔi la¯ "cˆÔc trÚ

ÒaÔt ÒˆÙÔc taÔi bie‚n").

PhˆÙng pha˘p do‡n bie·n ÒˆÙÔc ÒaÎt ra Òe gia˚i quye·t ca˘c B—T co˘ daÔng nhˆ

tre‚n. YŸ tˆÙ˚ng chung la¯: ne·u ta Òˆa ÒˆÙÔc ve‡ trˆÙ¯ng hÙÔp co˘ hai bie·n baËng

nhau, hoaÎc la¯ mo‰t bie·n co˘ gia˘ trÚ taÔi bie‚n, thÏ so· bie·n seı gia˚m Òi. Do Òo˘

B—T mÙ˘i ÒÙn gia˚n hÙn B—T ban Òa‡u, ÒaÎc bie‰t ne·u B—T mÙ˘i chÊ co¯n mo‰t

bie·n thÏ baËng ca˘ch kha˚o sa˘t ha¯m mo‰t bie·n so· ta seı chˆ˘ng minh B—T kha˘

ÒÙn gia˚n. ChÌnh vÏ tˆ tˆÙ˚ng la¯ gia˚m da‡n so· bie·n ne‚n phˆÙng pha˘p na¯y ÒˆÙÔc

goÔi la¯ phˆÙng pha˘p do‡n bie·n.

Ba‚y giÙ¯ chu˘ng to‚i seı trÏnh ba¯y ca˘c kÛ thua‰t chÌnh cu˚a phˆÙng pha˘p

tho‚ng qua ca˘c ba¯i toa˘n cuÔ theÂ. —o·i tˆÙÔng ra·t quan troÔng ma¯ chu˘ng to‚i

muo·n baÔn ÒoÔc naÈm baÈt la¯ ca˘c B—T vÙ˘i 3 bie·n so·. Sau Òo˘, ca˘c mÙ˚ ro‰ng cho

4 bie·n seı ÒˆÙÔc trÏnh ba¯y. Cuo·i cu¯ng, chu˘ng ta Òe·n vÙ˘i ca˘c phˆÙng pha˘p

do‡n bie·n toÂng qua˘t cho n bie·n so·, trong Òo˘ baÔn ÒoÔc seı cu¯ng chu˘ng to‚i Òi tˆ¯

nhˆıng ke·t qua˚ "co ÒieÂn" tÙ˘i nhˆıng ca˚i tie·n nho˚ va¯ sau Òo˘ la¯ mo‰t ke·t qua˚

2

he·t sˆ˘c toÂng qua˘t. Tinh tha‡n xuye‚n suo·t cu˚a chu˘ng to‚i la¯ muo·n baÔn ÒoÔc

ca˚m nha‰n ÒˆÙÔc tÌnh tˆÔ nhie‚n cu˚a va·n Òe‡. Qua Òo˘, ca˘c baÔn seı ly˘ gia˚i ÒˆÙÔc

"taÔi sao", Òe ro‡i co˘ the tˆÔ mÏnh bˆÙ˘c Òi tre‚n con ÒˆÙ¯ng sa˘ng taÔo.

*Ghi chu˘: Chu˘ng to‚i seı Òa˘nh da·u ca˘c ba¯i toa˘n theo tˆ¯ng muÔc. VÏ so· lˆÙÔng

ca˘c ÒÚnh ly˘ la¯ ra·t Ìt ne‚n chu˘ng to‚i kho‚ng Òa˘nh da·u. Chu˘ng to‚i co· gaÈng ghi

te‚n ta˘c gia˚ va¯ nguo‡n trÌch da„n Òo·i vÙ˘i ta·t ca˚ ca˘c ke·t qua˚ quan troÔng, ngoaÔi

trˆ¯ nhˆıng ke·t qua˚ cu˚a chu˘ng to‚i.

2. BÑT 3 bieán vôùi cöïc trò ñaït ñöôïc ñoái xöùng.

Xin pha˘c hoÔa laÔi tˆ tˆÙ˚ng cu˚a chu˘ng ta nhˆ sau. Ba¯i toa˘n cu˚a chu˘ng ta seı

co˘ daÔng f(x, y, z) ≥ 0 vÙ˘i x, y, z la¯ ca˘c bie·n so· thˆÔc tho˚a maın ca˘c tÌnh cha·t

na¯o Òa·y. —ie‡u chu˘ng ta mong muo·n la¯ seı co˘ Òa˘nh gia˘ f(x, y, z) ≥ f(t, t, z)

vÙ˘i t la¯ mo‰t ÒaÔi lˆÙÔng thÌch hÙÔp tu¯y theo mo„i lie‚n he‰ giˆıa x, y, z (ta seı

goÔi Òa‚y la¯ kÛ thua‰t do‡n ve‡ 2 bie·n baËng nhau). Sau Òo˘ chu˘ng ta kieÂm tra

f(t, t, z) ≥ 0 Òe hoa¯n ta·t chˆ˘ng minh. Lˆu y˘ raËng ne·u ca˘c bie·n Òaı ÒˆÙÔc

chuaÂn ho˘a thÏ bˆÙ˘c cuo·i chÊ la¯ ba¯i toa˘n vÙ˘i mo‰t bie·n.

Trong muÔc na¯y, chu˘ng ta seı chÊ xem xe˘t ca˘c vÌ duÔ cÙ ba˚n nha·t.

Baøi toaùn 1. (B—T Cauchy) Cho x, y, z > 0, chˆ˘ng minh raËng

x + y + z ≥ 3

√3 xyz

Lôøi giaûi:

VÏ B—T la¯ Òo‡ng ba‰c ne‚n baËng ca˘ch chuaÂn ho˘a ta co˘ the gia˚ sˆ˚ x+y+z = 1

(*). Vie·t laÔi ba¯i toa˘n dˆÙ˘i daÔng f(x, y, z) ≥ 0 vÙ˘i f(x, y, z)=1 − 27xyz. Ta

tha·y raËng khi thay x va¯ y bÙ˚i t = x+y

2 thÏ Òie‡u kie‰n (*) va„n ba˚o toa¯n (tˆ˘c la¯

va„n co˘ t + t + z = 1), ne‚n ta chÊ pha˚i xem xe˘t sˆÔ thay ÒoÂi cu˚a xyz.

Theo B—T Cauchy vÙ˘i 2 bie·n (chˆ˘ng minh ra·t ÒÙn gia˚n) thÏ xy ≤ t2,

ne‚n xyz ≤ t

2z. Va‰y f(x, y, z) ≥ f(t, t, z).

Cuo·i cu¯ng Òe y˘ la¯ z = 1 − 2t ne‚n ta co˘:

f(t, t, z)=1 − 27t

2

z = 1 − 27t

2

(1 − 2t) = (1 + 6t)(1 − 3t)

2 ≥ 0

va¯ ba¯i toa˘n chˆ˘ng minh xong. —a˙ng thˆ˘c xa˚y ra khi x = y va¯ 3t = 1, nghÛa

la¯ x = y = 1/3, tˆÙng ÒˆÙng vÙ˘i x = y = z.

3

*Nhaän xeùt:

1) Co˘ the nhie‡u baÔn seı bÙı ngÙı vÙ˘i ca˘ch chuaÂn ho˘a Ù˚ tre‚n. Chu˘ng to‚i xin

no˘i roı: kho‚ng co˘ gÏ la¯ bÌ aÂn Ù˚ Òa‚y ca˚. Ne·u thÌch, ca˘c baÔn hoa¯n toa¯n co˘

the chuaÂn ho˘a theo ca˘ch kha˘c, cha˙ng haÔn gia˚ sˆ˚ xyz = 1 va¯ chˆ˘ng minh

f(x, y, z) ≥ 0 vÙ˘i f(x, y, z) = x+y+z −3. Khi Òo˘ bˆÙ˘c do‡n bie·n seı la¯ chˆ˘ng

minh f(x, y, z) ≥ f(t, t, z) vÙ˘i t = √xy. —e‡ nghÚ baÔn ÒoÔc tˆÔ ly˘ gia˚i vÏ sao

trong lÙ¯i gia˚i tre‚n thÏ ta xe˘t t = x+y

2 co¯n Ù˚ Òa‚y laÔi xe˘t t = √xy, va¯ sau Òo˘

hoa¯n tha¯nh chˆ˘ng minh theo ca˘ch na¯y.

2) BaÔn ÒoÔc co˘ the thaÈc maÈc: kho‚ng ca‡n chuaÂn ho˘a ÒˆÙÔc kho‚ng? Ca‚u tra˚ lÙ¯i

la¯: ÒˆÙÔc! Tha‰t va‰y, chu˘ng ta va„n hoa¯n toa¯n co˘ the xe˘t ba¯i toa˘n f(x, y, z) ≥ 0

vÙ˘i f(x, y, z) = x + y + z − 3

√xyz. Khi Òo˘ bˆÙ˘c do‡n bie·n seı la¯ chˆ˘ng minh

f(x, y, z) ≥ f(t, t, z) vÙ˘i t = x+y

2 hay t = √xy Òe‡u ÒˆÙÔc. ThˆÔc cha·t, Òie‡u na¯y

hoa¯n toa¯n de„ hieÂu, no˘ chÊ la¯ sˆÔ tˆÙng ˆ˘ng giˆıa B—T co˘ Òie‡u kie‰n va¯ B—T

kho‚ng Òie‡u kie‰n (qua kÛ thua‰t chuaÂn ho˘a).

3) Chu˘ng to‚i nghÛ la¯ ca˘c baÔn seı Òo‡ng y˘ raËng: ne·u mo‰t ba¯i toa˘n Òaı chuaÂn ho˘a

(tˆ˘c la¯ B—T co˘ Òie‡u kie‰n) thÏ no˘ seı "gÙÔi y˘" cho chu˘ng ta ca˘ch do‡n bie·n (pha˚i

Òa˚m ba˚o Òie‡u kie‰n), tuy nhie‚n, ngˆÙÔc laÔi mo‰t ba¯i toa˘n chˆa chuaÂn ho˘a (B—T

kho‚ng Òie‡u kie‰n) thÏ chu˘ng ta seı co˘ nhie‡u ca˘ch Òe do‡n bie·n hÙn (no˘i chung, ta

seı choÔn ca˘ch do‡n bie·n sao cho ba˚o toa¯n ÒˆÙÔc "nhie‡u" bieÂu thˆ˘c nha·t trong

B—T - Òie‡u na¯y cuıng tˆÙng ÒˆÙng vÙ˘i chuaÂn ho˘a sao cho bieÂu thˆ˘c co˘ daÔng

ÒÙn gia˚n nha·t). Do Òo˘, mo‰t sˆÔ pho·i hÙÔp to·t giˆıa kÛ thua‰t chuaÂn ho˘a va¯ do‡n

bie·n la¯ mo‰t Òie‡u ca‡n thie·t. Tuy nhie‚n, khi Òaı quen vÙ˘i nhˆıng Òie‡u na¯y thÏ ca˘c

baÔn seı tha·y kho‚ng co˘ sˆÔ kha˘c bie‰t Òa˘ng ke na¯o giˆıa chu˘ng.

Baøi toaùn 2. (B—T Schur) Cho a, b, c ≥ 0, chˆ˘ng minh raËng:

a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ a2

(b + c) + b2

(c + a) + c2

(a + b).

Lôøi giaûi:

Xe˘t f(a, b, c) = a3 + b3 + c3 + 3abc − a2(b + c) − b2(c + a) − c2(a + b). —aÎt

t = b+c

2 , ta hi voÔng: f(a, b, c) ≥ f(a, t, t). Xe˘t

d = f(a, b, c) − f(a, t, t) = h

b + c − 5

4

a

i

(b − c)

2

Ta tha·y vÙ˘i a, b, c la¯ ca˘c so· kho‚ng a‚m tu¯y y˘ thÏ kho‚ng chaÈc co˘ d ≥ 0. Tuy

nhie‚n, ne·u gia˚ sˆ˚ a = min{a, b, c} thÏ ta va„n co˘ d ≥ 0. Khi Òo˘ ta chÊ co¯n pha˚i

4

chˆ˘ng minh f(a, t, t) ≥ 0. Nhˆng B—T na¯y tˆÙng ÒˆÙng vÙ˘i a(a − t)2 ≥ 0

ne‚n hieÂn nhie‚n Òu˘ng. Ba¯i toa˘n chˆ˘ng minh xong.

*Nhaän xeùt: Vie‰c gia˚ sˆ˚ a = min{a, b, c} la¯ mo‰t thu˚ thua‰t ra·t thˆÙ¯ng ÒˆÙÔc a˘p

duÔng Òe do‡n bie·n. NhaÈc laÔi la¯ ne·u B—T 3 bie·n Òo·i xˆ˘ng thÏ ta co˘ the gia˚ sˆ˚

a ≤ b ≤ c (hoaÎc a ≥ b ≥ c), co¯n trong trˆÙ¯ng hÙÔp B—T 3 bie·n hoa˘n vÚ vo¯ng

quanh thÏ ta co˘ the gia˚ sˆ˚ a = min{a, b, c} (hoaÎc a = max{a, b, c}).

Baøi toaùn 3. Cho a, b, c la¯ 3 so· thˆÔc dˆÙng co˘ tÌch baËng 1. Chˆ˘ng minh

raËng:

1

a

+

1

b +

1

c

+

6

a + b + c

≥ 5.

Höôùng daãn:

Ne·u nhˆ 2 ba¯i toa˘n ban Òa‡u la¯ nhˆıng ba¯i toa˘n quen thuo‰c, thÏ Òa‚y la¯

mo‰t ba¯i toa˘n kho˘. VÙ˘i kinh nghie‰m thu ÒˆÙÔc tˆ¯ ba¯i toa˘n 1, chu˘ng ta co˘ theÂ

nghÛ ngay tÙ˘i vie‰c do‡n bie·n theo trung bÏnh nha‚n Òe khai tha˘c gia˚ thie·t

tÌch ba so· baËng 1. Mo‰t lÙ¯i gia˚i theo hˆÙ˘ng Òo˘ Òaı ÒˆÙÔc baÔn Yptsoi (—a¯i Loan)

Òˆa le‚n tre‚n die„n Òa¯n Mathlinks, ma¯ sau Òa‚y chu˘ng to‚i xin da„n laÔi mo‰t ca˘ch

vaÈn taÈt.

Ta chˆ˘ng minh ÒˆÙÔc f(a, b, c) ≥ f(a, √

bc, √

bc) ne·u gia˚ sˆ˚ a ≥ b ≥ c.

Tie·p theo, ta chˆ˘ng minh raËng f(a, √

bc, √

bc) ≥ 5, hay la¯

f

 1

x2 , x, x

≥ 5, vÙ˘i x = √

bc

B—T na¯y tˆÙng ÒˆÙng vÙ˘i (x − 1)2(2x4 + 4x3 − 4x2 − x + 2) ≥ 0. VÏ bieÂu

thˆ˘c trong ngoaÎc thˆ˘ hai dˆÙng vÙ˘i x > 0 ne‚n chˆ˘ng minh hoa¯n ta·t. —a˙ng

thˆ˘c xa˚y ra khi va¯ chÊ khi a = b = c = 1.

Qua ca˘c vÌ duÔ tre‚n, chu˘ng ta Òaı tha·y ca˘ch do‡n bie·n ve‡ trung bÏnh co‰ng

va¯ trung bÏnh nha‚n tha‰t la¯ hˆıu duÔng. Tuy nhie‚n, ca˘c ca˘ch do‡n bie·n la¯ vo‚

cu¯ng phong phu˘ va¯ uyeÂn chuyeÂn. VÌ duÔ sau Òa‚y minh hoÔa cho Òie‡u Òo˘.

Baøi toaùn 4.(Iran 1996) Chˆ˘ng minh raËng vÙ˘i a, b, c > 0 thÏ:

(ab + bc + ca)

 1

(a + b)2 +

1

(b + c)2 +

1

(c + a)2



≥

9

4

.

Höôùng daãn:

—a‚y la¯ mo‰t ba¯i toa˘n ra·t kho˘. Ca˘c baÔn co˘ the tha·y Òie‡u Òo˘ qua sˆÔ kie‰n

5