Tài liệu PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN R, Q, N doc

PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN R, Q, N (FUNCTION EQUATION)

Trong các kì thi học sinh giỏi thường có bài toán giải phương trình hàm ,trong đó có một số không

nhỏ các bài qui về xác định tính cộng,nhân của hàm số. Chuyên đề này kai thác các tính chất của

hàm cộng tính, nhân tính để giải các PTH trong các kì thi HSG trong nước và nước ngoài

BT1 : Cho hàm f : R → R thoả mãn f(x + y) = f(x) + f(y) với ∀ x, y ∈ R (f được gọi là hàm cộng

tính trên R) và không phải là hàm hằng .Chứng minh các mệnh đề sau tương đương

a) f(x) liên tục tại x0

b) f (x) = ax ( a ≠ 0)

c) f đơn điệu trên (c; d)

d) f giới nội trên (c; d)

Giải:

a) ⇒ b) Ta chứng minh f liên tục trên R .Với x1 bất kì ,lấy dãy (xn) hội tụ tới x1

Cho n → +∞ : xn - x1 + x0 → x0 , do f liên tục tại x0 nên

n→+∞

lim f(xn - x1 + x0) =

n→+∞

lim [f(xn) - f(x1) + f(x0)]

=

n→+∞

lim f(xn) - f(x1) + f(x0) = f(x0)

⇒n→+∞

lim f(xn) = f(x1) Vậy f liên tục trên R

Vì f cộng tính trên R nên f(x) = ax (1) với ∀ x ∈ Q, a ∈ R*

(Bạn đọc hãy chứng minh TC nầy)

Với x bất kì, lấy dãy (yn) ⊂ Q hội tụ tới x.Ta có:

n→+∞

lim f(yn) =

n→+∞

lim (ayn) = ax (theo (1))

n→+∞

lim f(yn) = f(x) (do f liên tục trên R)

⇒f(x) = ax

b) ⇒ c) và c) ⇒ d) là đương nhiên.Ta chứng minh d) ⇒ a)

Ta chỉ cần CM cho c > 0

Ta có m < f(x) < M ⇒

n

m < f(

n

x

) <

m

M (n ∈ N* , x ∈ (c; d))

Cho n → +∞ :

n

m

→ 0,

m

M

→ 0, y =

n

x

→ 0+

⇒ → +

y 0

lim f(y) = 0 = f(0) ⇒ f liên tục bên phải tại 0

Do f làhàm lẽ (Bạn đọc hãy chứng minh TC nầy) ⇒ f liên tục bên trái tại 0

⇒ f liên tục tại tại x = 0 .

Chứng minh tương tự như a ta có f liên tục trên R

Nếu f là hàm hằng ta dễ dàng CM được f(x) ≡ 0

BT2 : Tìm hàm f : R → R thoả mãn f(xy) = f(x)f(y) với ∀ x, y ∈ R (f được gọi là hàm nhân tính

trên R ) và liên tục tại x0 > 0

HD :

Ta có : f(0) = 0 hoặc f(0) = 1; f(1) = 0 hoặc f(1) = 1

a) f(1) = 0 : f(x) ≡ 0 (nhận)

b) f(1) = f(0) = 1

f(x) = f(x).f(1) = f(x)f(0) = f(0) ≡ 1 (nhận)

c) f(0) = 0 và f(1) = 1

x ≠ 0: f(x)f(

x

1

) = f(1) = 1

⇒ f(x) ≠ 0

x > 0 : f(x) = [f( x )]2 > 0

Xét hàm g :R→ R :