Tài liệu Bài toán chuyên ngành điện_Chương 6.2 ppt

119

∫ ∫ = + τ τ + − τ τ

t

0

t

0

f(t) 2sin(t )d sin(t 3 )d

cos2t

3

2

cost

3

2

cost

3

1

cos2t

3

1

cost cos2t

3

cos(t 3 ) cos(t )

t

0

t

0

= −

= − + − − τ = − + τ +

§19. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG

1. Phương pháp chung: Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình vi phân tuyến

tính hệ số hằng:

a x f(t) dt

d x

a

dt

d x

a n 1 n

n 1

n 1

n

o + + + = −

−

L (1)

thoả mãn các điều kiện ban đầu:

x(0) = xo, x’(0) = x1 ,.., x(n-1)(0) = xn-1 (2)

với giả thiết ao ≠ 0, hàm f(t), nghiệm x(t) cùng các đạo hàm tới cấp n của nó đều là

các hàm gốc.

Để tìm nghiệm của bài toán trên ta làm như sau:

bTrước hết ta lập phương trình ảnh của (1) bằng cách gọi X(p) là ảnh của x(t),

F(p) là ảnh của f(t). Theo công thức đạo hàm gốc ta có:

x’(t) = pX(p) - xo

x”(t) = p2

X(p) - pxo - x1

…

x(n)(t) = pn

X(p) - pn-1

xo - ⋅⋅⋅ - xn-1

Lấy ảnh hai vế của (1) ta có phương trình đối với ảnh X(p):

(aopn

+ a1p

n-1 + ⋅⋅⋅ + an)X(p) = F(p) + xo(aop

n-1 + a1p

n-2 + ⋅⋅⋅ + an-1)

+ x1(aop

n-1 + a1p

n-2 + ⋅⋅⋅ + an-1) +⋅⋅⋅ + xn-1ao

hay:

A(p).X(p) = F(p) + B(p) (3)

Trong đó A(p) và B(p) là các đa thức đã biết. Giải (3) ta có:

A(p)

F(p) B(p) X(p) + = (4)

b Sau đó tìm gốc của X(p) ta được nghiệm của phương trình

Ví dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình x” - 2x’ + 2x = 2et

cost

thoả mãn điều kiện đầu x(0) = x’(0) = 0

Đặt x(t) ↔ X(p) thì x’(t) ↔ pX(p) và x”(t) ↔ p

2

X(p).

Mặt khác

p 2p 2

2(p 1)

(p 1) 1

2(p 1) 2e cost 2 2

t

− +

− = − +

− ↔ . Thay vào phương trình ta có: