Tài liệu Bài giảng số phức ppt

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM

Số phức

1.1 Khái niệm về số phức

Ta biết rằng lũy thừa chẵn của mỗi số thực đều không âm, do đó trong tập hợp R

không thể khai căn bậc chẵn của một số âm. Ví dụ: phương trình x

2

+ 1 = 0 vô nghiệm

thực.Vì vậy, ta đưa một lớp số mới vào nhằm mở rộng trường số thực.

1.1.1 Định nghĩa số phức:

1. Ta định nghĩa phần tử i sao cho i2

= - 1 gọi là đơn vị ảo.

2. Biểu thức z = a + bi với a, b Œ R gọi là một số phức; a gọi là phần thực, b gọi là

phần ảo . Ký hiệu a = Rez, b = Imz. Như vậy z = a + bi = Rez + i(Imz)

3. Tập hợp các số phức được ký hiệu là C.

4. Nếu a = 0 thì z = bi gọi là số thuần ảo; b = 0 thì được số thực z = a.

5. Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng

bằng nhau, tức là: a + bi = c + di ¤ a = c và b = d.

6. Cho số phức z = a + bi. Số phức a + (-b)i = a – bi gọi là số phức liên hợp của z, ký

hiệu z . Khi đó: số phức liên hợp của z là z.

1.1.2 Các dạng biểu diễn của số phức

1. Dạng đại số Cách viết z = a + bi còn gọi là dạng đại số hay dạng nhị thức của số

phức.

2. Biểu diễn hình học: Mọi số phức z = a + bi đều có thể biểu diễn trên mặt phẳng

Oxy dưới dạng điểm A(a,b) với hoành độ a và tung độ b, và ngược lại, mọi điểm M(a,b)

của mặt phẳng Oxy đều có thể xem như là ảnh của số phức a + bi.

Nếu z = a: Thì M(a,0) nằm trên trục Ox. Vì vậy, trục Ox còn được gọi là trục

thực.

Nếu z = bi: Thì M(0,b) nằm trên trục Oy. Vì vậy, trục Oy còn được gọi là trục ảo

Hai số phức liên hợp được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng với nhau qua trục Ox.

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM

Nối điểm A(a,b) với gốc tọa độ, ta được vectơ OA

uuur

Trong nhiều trường hợp,

người ta xem vec tơ OA

uuur

như là biểu diễn hình học của số phức z = a + bi.

3. Dạng lượng giác của số phức

Cho số phức z = a +bi và OA

uuur

là vectơ biểu diễn hình học của z trên mặt phẳng xOy.

Khi đó:

Độ dài r = OA

uuur

của vectơ OA

uuur

được gọi là mođun của số phức z, ký hiệu là |z|. Hiển

nhiên ta có:

|z | ³ 0, " z Œ C, |z | = 0 ¤ z = 0

Bây giờ giả sử z ¹ 0, tức là OA

uuur

¹ 0

r

. Góc định hướng giữa tia Ox

và vectơ OA

uuur

(đo bằng radian) j = (·) Ox,OA

uuur

được gọi là

argument của số phức z, ký hiệu là Argz. Argz không duy nhất

mà sai khác nhau k2p.

Nếu chỉ giới hạn xét j Œ[0;2p) thì khi đó j được gọi là

argument chính, ký hiệu argz.

Khi z = 0 thì j không xác định, ta quy ước Arg0 nhận giá trị tuỳ ý.

Rõ ràng a = rcosj ; b = rsinj.

Do đó: z = a + bi = r(cosj + isinj) được gọi là dạng lượng giác của số phức z.

Sự liên hệ giữa dạng đại số z = a + bi và dạng lượng giác z = r(cosj + isinj)

Ta có: r = 2 2 a b + , j = tg (b/a) , nếu a ¹ 0. a = rcosj ; b = rsinj

Từ định nghĩa của số phức liên hợp z của z và biểu diễn hình học của z , ta có:

| z | = | z |; arg z = - argz.

Ví dụ:

1. r(cosj - isinj) có phải là dạng lượng giác của số phức z?

2. Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác

a. z = -2 + 2i 3 b. z = 1 + i c. z = 1- i

d. z = cos .sin

7 7

i

Ê p p ˆ Ê ˆ

- + Á ˜ Á ˜ Ë ¯ Ë ¯

e. z = sin .cos

3 3

i

Ê p p ˆ Ê ˆ

Á ˜ + Á ˜ Ë ¯ Ë ¯

A(a,b)

b

y

O a x

j

r