Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Tài liệu Bài tập Lý thuyết tín hiệu( có lời giải) ppt
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 1
Bài 1.1. Hãy tính tích phân, năng lượng, ñộ rộng trung bình của các tín hiệu
sau ñây:
a) x(t) = Λ(t) d) ( )
t
x t te −
=
b) ( )
2
t
x t e
−π
= e) x(t) e ( t) e (t)
t t
1 1
2 −
= − +
c) ( ) 2
1
1
t
x t
+
= f) ( )
= Π
3π
cos
t
x t t
Giải
a)Tích phân của tín hiệu là:
[ ] ( ) ∫
∞
−∞
x = x t dt ( ) ( ) ∫ ∫ −
= + + −
0
1
1
0
t 1 dt 1 t dt
( ) ∫
= −
1
0
2 1 t dt
1
0
2
2
1
= t − t
= −
2
1
2 1 = 1
Năng lượng của tín hiệu là:
[ ] ( ) ∫
∞
−∞ E = x t dt
x
2
( )t dt ∫
= −
1
0
2
2 1
( ) 1
0
3
1
3
2
− t
−
=
3
2
=
b) ( )
2
t
x t e
−π
=
*Tích phân của tín hiệu là:
[ ] ( ) ∫
∞
−∞
x = x t dt ( )
∫
∞
−∞
−
= e dt t
2
π
ðặt I
( )
∫
∞
−∞
−
= e dt t
2
π
I e dx e dy x y
∫ ∫
− − ⇒ =
2 π π
( ) e dxdy x y
∫∫ − +
=
2 2
π
ñặt x = r cosϕ và y = rsinϕ
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 2
∫ ∫
∞ − ⇒ =
0
2
0
2
2
I d e rdr πr
π
ϕ ∫
∞ −
= ×
0
2
2
2
1
2 e dr πr
π
2
0
r
e
−π
= −
∞
= 1
⇒ I = 1
*Năng lượng của tín hiệu là:
[ ] ( ) ∫
∞
−∞ E = x t dt
x
2 ( )
∫
∞
−∞
−
= e dt t
2
2π
ðặt M
( )
∫
∞
−∞
−
= e dt t
2
2π
M e dx e dy x y
∫ ∫
− − ⇒ =
2 2
2 2π 2π
( ) e dxdy x y
∫∫ − +
=
2 2
π 2
ñặt x = r cosϕ và y = rsinϕ
∫ ∫
∞ − ⇒ =
0
2
2
0
2
2
M d e rdr πr
π
ϕ ∫
∞ −
= ×
0
2 2
2
2
1
2 e dr πr
π
2
2
2
1
0
r
e
− π
=
−
∞
2
1
=
⇒ [ ] ( ) ∫
∞
−∞ E = x t dt
x
2
= M
2
2
=
c) ( ) 2
1
1
t
x t
+
=
* Tích phân của tín hiệu là:
[ ]
π
π π
= + =
=
+
=
∞
−∞
∞
−∞
∫
2 2
1
1
( )
2
dt acrtgt
t
x t
* Năng lượng của tín hiệu là:
[ ] ( ) ∫
∞
−∞ E = x t dt
x
2
= ∫
∞
−∞
+
dt
t
2 2
1( )
1
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 3
ðặt t = tgu
( )
( )
4 2
1
sin 2 2
4
1
(cos 2 )1
2
1
cos
cos
1
cos
cos
1
1( )
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2 2 2
π
π π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
= + =
= + = +
= =
+
⇒ =
∫
∫ ∫
∫
−
−
− −
−
u du u u
du udu
u
u
du
tg u u
Ex
d) ( )
t
x t te −
=
* Tích phân của tín hiệu là:
[ ]
( ) ( )
1 1 0
0
0
0
0
= − + =
= − + +
= +
∞ − −
−∞
∞
−
−∞
∫ ∫
t t t t
t t
te e te e
x te dt te dt
* Năng lượng của tín hiệu là:
[ ] ( ) ∫
∞
−∞ E = x t dt
x
2
2
1
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
4
1
2
1
2
1
0
2 2 2 2
0
2 2 2 2
0
2 2
0
2 2
= + =
− + +
= − +
= +
∞
− − −
−∞
∞
−
−∞
∫ ∫
t t t t t t
t t
t e te e t e te e
t e dt t e dt
e) x(t) e ( t) e (t)
t t
1 1
2 −
= − +
* Tích phân của tín hiệu là:
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 4
[ ]
2
3
1
2
1
2
1
0
0
2
0
0
2
= − = + =
= +
∞ −
−∞
∞
−
−∞
∫ ∫
t t
t t
e e
x e dt e dt
* Năng lượng của tín hiệu là:
[ ] ( ) ∫
∞
−∞ E = x t dt
x
2
4
3
2
1
4
1
2
1
4
1
0
2
0
4
0
2
0
4
= − = + =
= +
∞
−
−∞
∞
−
−∞
∫ ∫
t t
t t
e e
e dt e dt
f) ( )
= Π
3π
cos
t
x t t
* Tích phân của tín hiệu là:
[ ]
sin 1 1 2
cos
2
3
2
3
2
3
2
3
= = − − = −
=
−
−
∫
π
π
π
π
t
x tdt
* Năng lượng của tín hiệu là:
[ ] ( )
( )
( )
( )
2
3
3 3
4
1
2 cos 2
4
1
1 sin 2
2
1
cos
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
π
π π
π
π
π
π
π
π
= + =
= +
= = −
=
−
− −
∞
−∞
∫ ∫
∫
t t
tdt t dt
E x t dt
x
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 5
Bài 1.2 Dòng ñiện i(t) = Ie −βt 1(t) chạy qua ñiện trở R .Hãy tìm :
a )Năng lượng tiêu hao trên ñiện trở R trong khoảng t(0;∞)
b )Năng lượng tiêu hao trên ñiện trở R trong khoảng t(0;1/β)
Giải
a)Năng lượng tiêu hao trên ñiện trở R trong khoảng t(0;∞) là:
E = ( ) ( )
2
0
R ti d t
∫
∞
= ( )
2
0
R Ie d t
t
∫
∞
−β
= ( )
2
0
2 RI e d t
t
∫
∞
−β
= − ∞
−
0
2
2
2
t
e
RI β
β
= 0( )1
2
2
−
− β
RI
=
2β
2 RI
b)Năng lượng tiêu hao trên ñiện trở R trong khoảng t(0;1/β) là :
E = ( ) ( )
2 /1
0
R ti d t
∫
β
= ( )
2 /1
0
R Ie d t
t
∫
−
β
β
= ( )
2 /1
0
2 RI e d t
t
∫
−
β
β
= β β
β
/1
0
2
2
2
t
e
RI −
−
= ( )1
2
2
2
−
−
−
e
RI
β
=
2β
.0 865
2 RI
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 6
Bài 1.3
Hãy tìm thành phần chẵn , lẻ của các tín hiệu sau ñây và chứng minh
rằng các thành phần này trực giao , năng lượng cùa tín hiệu bằng tổng các
năng lượng thành phần:
Giải
a)Ta có:
x(t) = A ( 1-
T
t
)[ 1(t)-1(t-T) ]
* Thành phần chẵn của tín hiệu là:
x ch =
2
1
[x(t) + x(-t)]
=
2
1
(A ( 1-
T
t
)[ 1(t)-1(t-T)] + A ( 1+
T
t
)[ 1(-t)- 1(-t-T)] )
=
2
1 A
Λ
T
t
* Thành phần lẻ của tín hiệu là
xle =
2
1
(A ( 1-
T
t
)[ 1(t)-1(t-T)] - A ( 1+
T
t
)[ 1(-t)-1(-t-T)] )
=
2
1 A
Λ
T
t
sgn(t)
Xét tích vô hướng sau
x t x t dt
T
T
ch le ( ) (* )
∫
−
=
4
1 A
2
∫
−
− − +
T
T
dt
T
t
T
t
[(1 ) 1( ) ]
2 2 =0
→ thành phần này trực giao
Năng lượng của tín hiệu là:
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 7
E x
= A2
dt
T
t
T
2
0
1( )
∫
− = A2
(tT
t
2
+
T
t
3
3
)
T
0
= A2
3
T
Năng lượng của tín hiệu thành phần chẵn:
Ech =
4
1 A
2
( dt
T
t
T
2
0
1( )
∫
−
+ + dt
T
t
T
2
0
1( )
∫
− ) =
4
1 A
2
3
2T
=A 2
6
T
Năng lượng của tín hiệu thành phần lẻ là:
Ele =
4
1 A
2
( dt
T
t
T
2
0
1( )
∫
−
+ + dt
T
t
T
2
0
1( )
∫
− ) = A2
6
T
→ E x
= Ech + Ele = A2
3
T
b) Ta có
x(t) = e −αt 1(t)
* Thành phần chẵn của tín hiệu là:
x ch (t) =
2
1
[e −αt 1(t) + e αt 1(-t)]=
2
1
e
−α t
* Thành phần lẻ của tín hiệu là:
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 8
xle (t) =
2
1
[e −αt
1(t) - e αt
1(-t)]=
2
1
e
−α t
sgn(t)
Xét tích vô hướng sau
x t x t dt ch le ( ) (* )
∫
∞
−∞
=
4
1
e t e t dt t t
[ (1 ) (1 )] 2 2
− − ∫
∞
−∞
− α α
= -
4
1
e dt t
∫
−∞
0
2α
+
4
1
e dt t
∫
∞
−
0
2α
=
8α
1
(-e 2αt
0
−∞
+ e −2αt
∞
0
)= 0
→thành phần này trực giao
Năng lượng của tín hiệu là:
E x = e dt t
∫
∞
−
0
2α
= -
2α
1
e
−2αt
∞
0
=
2α
1
Năng lượng của tín hiệu thành phần chẵn:
Ech =
4
1
(
∫
−∞
0
2
e dt αt
+ e dt t
∫
∞
−
0
2α
)=
4α
1
Năng lượng của tín hiệu thành phần lẻ là:
Ele =
4
1
( e dt t
∫
−∞
0
2α
+ e dt t
∫
∞
−
0
2α
)=
4α
1
Ta có E x = Ech +Ele =
2α
1
c) x(t) = e −αt
sin(ωt)1(t)
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 9
* Thành phần chẵn của tín hiệu là:
x ch =
2
1
[ e −αt
sin(ωt)1(t) - e αt
sin(ωt)1(-t) ]
=
2
1
e −α t
sin(ωt )sgn(t)
* Thành phần lẻ của tín hiệu là:
xle =
2
1
[ e −αt
sin(ωt)1(t) + e αt
sin(ωt )1(-t) ]
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 10
=
2
1
e −α t
sin(ωt)
Xét tích vô hướng sau:
x t x t dt ch le ( ) (* )
∫
∞
−∞
( ) ( )
( ) ( )
0
8 (2 ) (2 )
1
cos 2
8
1
cos 2
8
1
16
1
1 cos 2
8
1
1 cos 2
8
1
sin
4
1
sin
4
1
2 2 2 2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2 2
0
2 2
=
+
−
+
=
+ −
= − +
= − − −
= −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∞
−
−∞
−∞
∞ −
−∞
∞
−
−∞
∞
−
α ω
α
α ω
α
ω ω
α
ω ω
ω ω
α α α α
α α
α α
e e e tdt e tdt
e t dt e t dt
e t dt e t dt
t t t t
t t
t t
→ thành phần này trực giao
Năng lượng của tín hiệu là:
( )
1
sin ( )
2 2
0
2 2
α ω
α
α
ω
α
+
= +
= ∫
∞
− E e t dt t
Năng lượng của tín hiệu thành phần chẵn:
2 (2 )
1
4 (4 )
1
4 (4 )
1
sin ( )
4
1
sin ( )
4
1
2 2
2 2 2 2
0
2 2
0
2 2
α ω
α
α
α ω
α
α ω α
α
α
ω ω
α α
+
= +
+
+ +
+
= +
= + ∫ ∫
−∞
∞
− E e t dt e t dt t t
ch
Năng lượng của tín hiệu thành phần lẻ:
2 (2 )
1
4 (4 )
1
4 (4 )
1
sin ( )
4
1
sin ( )
4
1
2 2
2 2 2 2
0
2 2
0
2 2
α ω
α
α
α ω
α
α ω α
α
α
ω ω
α α
+
= +
+
+ +
+
= +
= + ∫ ∫
−∞
∞
− E e t dt e t dt t t
le
Ta có E x = Ech +Ele
Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng
Trang 11
d) x(t) = (t+1) 2 ∏ 2
t
* Thành phần chẵn của tín hiệu là:
x ch =
2
1
[(t+1) 2 ∏ 2
t
+ (1-t) 2 ∏
−
2
t
]
= (t 2 +1) ∏ 2
t
* Thành phần lẻ của tín hiệu là:
xle =
2
1
[(t+1) 2 ∏ 2
t
- (1-t) 2 ∏
−
2
t
]
= 2t∏ 2
t
Xét tích vô hướng sau:
x t x t dt ch le ( ) (* )
∫
∞
−∞
1 0
2
1
1
2
1
2
1
2 ( )1
1
1
4 2
1
1
2
= + − − =
= +
= +
−
−
∫
t t
tt dt
→thành phần này trực giao
Năng lượng của tín hiệu là: