Tài liệu BÀI SOẠN GIẢI TÍCH 2012-2013 docx

Chương 1

• Giới hạn của dãy số thực:

Định nghĩa, các tính chất, các tiêu chuẩn hội tụ.

Số e.

• Giới hạn của hàm số:

Định nghĩa, định lý giới hạn kẹp.

Giới hạn một phía. Một số giới hạn quan trọng.

Dạng vô định.

• Hàm số liên tục:

Định nghĩa, các tính chất, liên tục một phía, tính

liên tục của hàm sơ cấp.

Hàm liên tục trên một khoảng đóng.

ÁNH XẠ

1. Định nghĩa: Ánh xạ f từ X → Y là quy luật cho tương

ứng với mỗi phần tử x ∈ X với duy nhất y ∈ Y

Ký hiệu f : X Y

x y = f(x)

→

a

X

Y

2. Phân loại ánh xạ

Ánh xạ f là đơn ánh: mỗi y Y, có ∈ nhiều nhất một x X ∈

sao cho y = f(x).

Ánh xạ f là toàn ánh: mỗi y Y, ∈ có ít nhất một x X ∈ sao

cho y = f(x).

Ánh xạ f là song ánh: mỗi y Y, ∈ có duy nhất x X ∈ sao cho

y = f(x).

DÃY SỐ THỰC

1.Định nghĩa: Dãy số thực là một ánh xạ từ tập N*

vào tập

hợp các số thực R.

Ký hiệu {xn

}, n =1, 2,…, để chỉ một dãy số.

Ví dụ:

{ n n 1 2 n }

1 1 1 a) ; ; 1; ; ; ;

n 2 n

x x x x x = = = = L L

b) ; 1; 1; 1; ; 1; { x x x x x n n 1 2 n } = = = = L L

{ } ( ) ( )

n n

n n 1 2 n c) ; 1 ; 1; 1; ; 1 ; x x x x x = − =− = = − L L

{ }

2 2 d) ; n ; 1; 4; ; n ; n n 1 2 n x x x x x = = = = L L

{ }

n n

n n 1 2 n

1 9 1 e) ; 1 ; 2; ; ; 1 ;

n 4 n

x x x x x

   

= + = = = +  ÷  ÷     L L

DÃY SỐ HỘI TỤ

1.Định nghĩa: Dãy số {xn

} hội tụ về a ⇔ giá trị xn

“rất gần” a

0 0 n ⇔ ∃ ∈ ∀ε >0, ∃ ∀ > ε a R, N : n N :| x - a| <

Ký hiệu n n lim a; lim a

n

x x

→+∞

= =

Ví dụ:

khi n đủ lớn.

2

1

a) lim 0

n

=

n

1

b) lim 0

2

=

CÁC TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN

1. Nếu dãy số {xn

} hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất

2. Nếu limxn

, limyn tồn tại thì

 lim(xn

+ yn

) = limxn

+ limyn

 lim(Cxn

) = Climxn

 lim(xn

yn

) = limxn

limyn



n n

n n

x limx lim

y limy

=

Ví dụ:

n 2

1 1 a) lim

2 n

 

+  ÷  

n

1

b) lim 3.

2

   ÷  

DÃY SỐ PHÂN KỲ

1. Định nghĩa: Dãy {xn

} phân kỳ nếu nó không hội tụ

2. Giới hạn vô hạn:

Định nghĩa: Ta nói dãy số xn

có giới hạn vô hạn nếu xn

có

giá trị tuyệt đối lớn tùy ý khi n đủ lớn.

⇔ ∀ ∃ ∀ M > 0, N , n > N : x >M 0 0 n

Ký hiệu n

lim x = ∞

Nếu dãy số xn

có giới hạn vô hạn và xác định dấu, tức là xn

> 0 hoặc xn < 0 bắt đầu từ một chỗ nào đó trở đi, thì ta viết

tương ứng.

n

lim x = +∞ hoặc n

lim x = − ∞

Ví dụ: Xét dãy số có số hạng tổng quát xn

= Ank

(n N), ∈

trong đó A ≠ 0 và k > 0. Ta có

k

lim An = + ∞ nếu A > 0; k

lim An = − ∞ nếu A < 0

NGUYÊN TẮC TÍNH GIỚI HẠN

Chuyển về các giới hạn cơ bản và thay vào biểu thức

cần tính giới hạn (nếu giá trị biểu thức xác định)

n

1

a 1

lima

0 0 a <

+∞ >

• = 

 <

k

0

k 0

lim n

0 k <

+∞ >

• = 



Ví dụ: Tính các giới hạn sau

2

2

2n + 1 a) lim

n - 1

n n

n n

5 - 2 b) lim

4 + 3

c) lim n n-1 ( − )

( )

1 1 1 1 d) lim ...

1.2 2.3 3.4 n n+1

 

  + + + +

 

TIÊU CHUẨN BA DÃY KẸP

n n n n

n n n

x y z lim y

limx limz a lim y a

  ≤ ≤ ∃   ⇒

  = = =

Hệ quả:

n n

n

n

0 x y

lim x 0

limy 0

 ≤ ≤

 ⇒ =

 = 

Ví dụ: Chứng minh rằng

Định lý

2

nsinn lim 0

n +1

=

DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU

Định nghĩa: Dãy {xn

} được gọi là tăng nếu n n 1 x x , n + ≤ ∀

là giảm nếu n n 1 x x , n. + ≥ ∀

Dãy tăng hay giảm được gọi là dãy đơn điệu.

Dãy {xn

} được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực c sao

cho , bị chặn dưới nếu tồn tại số thực d sao

cho

x c, n n

≤ ∀

n

x d, n. ≥ ∀

DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU

Ví dụ: Xét các dãy số sau

n

1

x

n

a) Dãy {xn

} với = b) Dãy {xn

} với ( )

n

n x 1 = −

c) Dãy {xn

} với 2

n

x n =

d) Dãy {xn

} với

n

n

1

x 1

n

  = +  ÷  

Định lý

1. Nếu dãy số {xn

} tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ.

2. Nếu dãy số {xn

} giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ.

Ví dụ: Dãy {xn

} với

n

n

1

x 1

n

 

= +  ÷  

là một dãy tăng và bị chặn trên, do đó nó hội tụ. Gọi e là giới

hạn của dãy ấy, ta được.

n

1

lim 1

n

e

   ÷ + =  