Sử dụng một số bất đẳng thức thông dụng để chứng minh bất đẳng thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-------------------

ĐẶNG VĂN HIẾU

SỬ DỤNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC

THÔNG DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60 46 40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHAN HUY KHẢI

Thái Nguyên, năm 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

1

MỤC LỤC

Trang

Mục lục 1

Lời cảm ơn 2

Lời nói đầu 3

Chương 1 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi 4

1.1 – Bất đẳng thức Côsi 4

1.2 – Sử dụng bất đẳng thức Côsi cơ bản 5

1.3 – Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi 14

1.4 – Thêm bớt hằng số khi sử dụng bất đẳng thức Côsi 23

1.5 – Thêm bớt biến số khi sử dụng bất đẳng thức Côsi 27

1.6 – Nhóm các số hạng khi sử dụng bất đẳng thức Côsi 33

Chương 2 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski 42

2.1 – Bất đẳng thức Bunhiacopski 42

2.2 – Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng 55

Chương 3 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức với các dãy đơn điệu 59

3.1 – Bất đẳng thức với các dãy đơn điệu 59

3.2 – Một số ví dụ minh hoạ 60

Chương 4 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Trêbưsép 67

4.1 – Bất đẳng thức Trêbưsép 67

4.2 – Một số ví dụ minh hoạ 68

Chương 5 – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Jensen 81

5.1 – Định nghĩa hàm lồi 81

5.2 – Điều kiện đủ về tính lồi của hàm số 82

5.3 – Bất đẳng thức Jensen 82

5.4 – Một số ví dụ minh hoạ 84

Tài liệu tham khảo 98

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

2

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Phan Huy Khải, người thầy đã trực tiếp

giảng dạy, hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học Trường

Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và các thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp

giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến cha mẹ, người thân, bạn bè và tất cả những

người đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

3

LỜI NÓI ĐẦU

Bất đẳng thức là một trong những chuyên mục có tính hấp dẫn nhất trong giáo

trình giảng dạy và học tập bộ môn toán ở nhà trường phổ thông. Nó là một đề tài

thường xuyên có mặt trong các đề thi về toán trong các kỳ thi tuyển sinh quốc gia,

cũng như trong các kỳ thi Olympic về toán ở mọi cấp.

Luận văn này dành để trình bày một nhánh của lý thuyết bất đẳng thức – Các bất

đẳng thức thông dụng.

Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo luận văn gồm có 5 chương:

Chương 1 với tiêu đề “Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi” dành để trình

bày về bất đẳng thức Côsi.

Bất đẳng thức Côsi là bất đẳng thức quan trọng nhất và có nhiều ứng dụng nhất

trong chứng minh bất đẳng thức. Trong chương này chúng tôi dành để trình bày các

phương pháp cơ bản nhất để sử dụng có hiệu quả bất đẳng thức Côsi.

Chương 2 “Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski” trình bày các

ứng dụng của bất đẳng thức Bunhiacopski và bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng.

Một trong những phương pháp hay sử dụng và có tính hiệu quả để chứng minh

các bất đẳng thức là sử dụng bất đẳng thức với các dãy đơn điệu. Các kết quả này

được trình bày trong chương 3.

Chương 4 dành để trình bày một lớp bất đẳng thức đơn điệu đặc biệt (đó là bất

đẳng thức Trêbưsép).

Sau hết trong chương 5 trình bày một áp dụng lý thú các kết quả của giải tích lồi

để chứng minh bất đẳng thức – đó là sử dụng tính lồi của hàm số để chứng minh

bất đẳng thức.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

4

Chương 1

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

1.1 BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI.

1.1.1 Định lý. Với n số không âm: 1 2 , ,...,

n

a a a ( n ³ 2 ) ta có:

1 2

1 2

...

. ...

n n

n

a a a

a a a

n

+ + +

³ .

Đẳng thức xảy ra 1 2 ... .

n Û a = a a = =

Chứng minh

· Hiển nhiên bất đẳng thức đúng với n = 2 .

· Giả sử bất đẳng thức đã đúng cho n số không âm thì bất đẳng thức cũng đúng với

2n số không âm.

Ta có: ( )

1 2 2 2

1 2 1 2 2 1 2 2

... 1

. ... . ... . ...

2 2

n n n n

n n n n n

a a a

a a a a a a a a a

n

+ +

+ + +

³ + ³ , nên bất

đẳng thức đúng khi n bằng một luỹ thừa của 2.

· Giả sử bất đẳng thức đúng với n số không âm, ta chứng minh bất đẳng thức đúng

với n-1 số không âm. Thật vậy, đặt 1 2 1 ... A n

a a a = + + + -

;

1

n

A

a

n

=

-

.

Ta có: ( )

1 2 1 1

1 2 1

. ... .

. 1 . . ... .

1 1

n

n n

n

A a a a A A n A n a a a

n n

- - + ³ Þ ³ - - - -

Kết hợp ba điều trên suy ra bất đẳng thức Côsi đúng với mọi n nguyên dương

(n ³ 2) Þđpcm.

1.1.2 Hệ quả. Với n số dương: 1 2 , ,...,

n

a a a (n ³ 2) ta luôn có:

( )

2

1 2

1 2

1 1 1

... ... . n

n

a a a n

a a a

æ ö ç ÷ + + + ç + + + ³÷

ç ÷

ç ÷ è ø

Đẳng thức xảy ra 1 2 ... .

n Û a = a a = =

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

5

Chứng minh

Theo bất đẳng thức Côsi, ta có: 1 2 1 2 ... . ... 0 n

n n

a +a + +a ³ > n a a a , (1)

1 2 1 2

1 1 1 1 1 1

... .n . ... 0

n n

n

a a a a a a

+ + + ³ > . (2)

Nhân từng vế của (1),(2) suy ra điều phải chứng minh.

Nhận xét: · Bất đẳng thức Côsi chỉ áp dụng được cho các số không âm.

· Bất đẳng thức Côsi là bất đẳng thức quan trọng nhất, quen thuộc nhất,

và có một tầm ứng dụng rộng rãi trong các bộ môn của toán học sơ cấp. Đặc biệt là

dùng để chứng minh bất đẳng thức. Sự thành công của việc áp dụng bất đẳng thức

Côsi để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức hoàn toàn phụ thuộc vào sự linh

hoạt của từng người sử dụng và kỹ thuật cách chọn các số 1 2 , ,....,

n

a a a .

Sau đây là một số phương pháp vận dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh bất

đẳng thức.

1.2 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI CƠ BẢN.

1.2.1 Nội dung phương pháp.

Qui ước: Gọi hệ quả của bất đẳng thức Côsi là “Bất đẳng thức Côsi cơ bản”. Sử

dụng hệ quả để chứng minh bất đẳng thức gọi là phương pháp “Sử dụng bất đẳng

thức Côsi cơ bản”.

Từ “Bất đẳng thức côsi cơ bản” tổng quát, ta có hai trường hợp riêng sau:

· Với mọi a b, 0 > , ta có: (a b + )(

1 1

a b

+ )³4 hay:

1 1 4

.

a b a b

+ ³

+

Đẳng thức xảy ra Û a b = .

· Với mọi a,b c, 0 > , ta có: ( )

1 1 1

a b c

a b c

æ ö

+ + ç + + ³÷

ç ÷

ç ÷ è ø

9 hay: 1 1 1 9

a b c a b c

+ + ³

+ +

.

Đẳng thức xảy ra Û abc = = .

1.2.2 Một số thí dụ minh hoạ.

Thí dụ 1.1 (Đề thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng khối A – 2005).

Cho x, y z, 0 > và thoả mãn:

1 1 1 4.

x y z

+ + = Chứng minh:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

6

111 1

2x y z x 2 2 y z x y z

+ + £

+ + + + + +

.

Bài giải

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cơ bản hai lần liên tiếp, ta có:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2x y z 4 2x y z 4 2x 4 2 y z x y z 8 x 2 2 y z

æ ö é ù æ ö æ ö

£ ç + ÷ ê ú ç ç ÷ ÷

ç ÷£ + ç ç + ÷ Þ £ + + ÷ ç ÷ ê ú÷ ÷ + + è + ÷ø è ø + + è ø ë û

. (1)

Đẳng thức trong (1) xảy ra

2x y z

x y z

y z

ìïï = +

Û í Û = =

ï

ïî =

.

Hoàn toàn tương tự, ta có:

1 1 1 1 1

x 2y z 8 2 2 x y z

æ ö

£ ç + + ÷÷

ç

ç ÷ + + ÷ è ø

(2)

và

1 1 1 1 1

x y 2z 8 2 2 x y z

æ ö

£ ç + + ÷÷

ç

ç ÷ + + ÷ è ø

. (3)

Cộng từng vế (1),(2),(3) ta được:

1 1 1 1 1 1 1 1

2x y z x 2y z x y 2 4 z x y z

æ ö

+ + £ ç + + ÷

ç

ç

÷ =÷ + + + + + + ÷ è ø

Þđpcm.

Đẳng thức xảy raÛ đồng thời đẳng thức trong (1),(2),(3) xảy ra

3

.

4

Û x = y z = =

Nhận xét: Ta cũng có bất đẳng thức Côsi cơ bản sau:

Với a,b,c d, 0 > thì:

( )

1 1 1 1

a b c d 16

a b c d

æ ö

+ + + ç + + + ³÷

ç ÷

ç ÷ è ø

Þ

1 1 1 1 1 1

a b c d 16 a b c d

æ ö

£ ç + + + ÷

ç ÷

ç ÷ + + + è ø

.

Áp dụng vào thí dụ trên, ta có:

1 1 1 1 1 1 1

2x y z x x y z 16 x x y z

æ ö

= £ ç + + + ÷÷

ç

ç ÷ + + + + + ÷ è ø

1 1 211

2x y z 16 x y z

æ ö

Þ £ ç + + ÷÷

ç

ç ÷ + + ÷ è ø

.

Tương tự suy ra:

1 1 1 2 1

x 2y z 16 x y z

æ ö

£ ç + + ÷÷

ç

ç ÷ + + ÷ è ø

và

1 1 112

x y 2z 16 xyz

æ ö

£ ç + + ÷÷

ç

ç ÷ + + ÷ è ø

.

Þ

1 1 1 1 1 1 1 1

2x y z x 2y z x y 2 4 z x y z

æ ö

+ + £ ç + + ÷

ç

ç

÷ =÷ + + + + + + ÷ è ø

Þđpcm.

Đẳng thức xảy ra

3

.

4

Û x = y z = =

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

7

Thí dụ 1.2 (Bất đẳng thức Nesbit 3 biến).

Cho a,b c, 0 > . Chứng minh rằng:

3

2

a b c

b c c a a b

+ + ³

+ + +

. (1)

Bài giải

Dễ thấy (1) Û

9

1 1 1

2

a b c

b c c a a b

æ ö æ ö æ ö ç

ç + ÷

÷+ç ç ç ç + ÷ ÷ ÷ ÷ + + ³ ç ÷ è + ø è + + ø è ø

( )

1 1 1 2 9 a b c

b c c a a b

æ ö

Û + + ç + + ³÷

ç ÷

ç ÷ è ø + + +

( ) ( ) ( )

1 1 1

a b b c c a 9.

a b b c c a

é ù é ù Û + + + + + ê ú + + ³ ë û ê ú ë û + + +

(2)

Theo bất đẳng thức Côsi cơ bản thì (2) đúng Þđpcm.

Đẳng thức xảy ra Û abc = = > 0.

Nhận xét :

· Bất đẳng thức Nesbit cũng là một trong các bất đẳng thức thông dụng, thường

dùng làm bất đẳng thức trung gian để chứng minh một bất đẳng thức khác, nhằm rút

gọn phép chứng minh một bất đẳng thức.

· Xin đưa ra một thí dụ hình học lý thú minh hoạ cho bất đẳng thức Nesbit sau:

Cho DABC . Vẽ ba phân giác AA',BB',CC' . Gọi , , abc kkk tương ứng là khoảng

cách từ ABC ', ', ' đến AB, , BC CA . Gọi , , abc h h h tương ứng là ba chiều cao hạ từ

A, , B C . Chứng minh:

3

2

abc

a b c

k k k

h h h

++³ .

Bài giải

Ta có: ABC ABA' ' AA C S S S D = + D D (Hình 1.1)

1 1 1

2 2 2 a a a Þ ah = + ck bk

( )

a

a a

a

k a

ah k b c

h b c

Þ = + Þ =

+

. (Hình 1.1)

Hoàn toàn tương tự, ta có:

b

b

k b

h c a

=

+

;

c

c

k c

h a b

=

+

.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

8

Từ đó suy ra:

3

2

abc

a b c

k k k

h h h

++³ Û

3

2

a b c

b c c a a b

+ + ³

+ + +

. (*)

Theo thí dụ 1.2 Þ(*) đúng Þđpcm.

Đẳng thức xảy ra Û DABC đều.

Thí dụ 1.3 Cho x, y z, 0 > và x + y z + =1. Chứng minh: 3

1 1 1 4

x y z

x y z

+ + £

+ + +

.

Bài giải

Có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1

x y z

x y z x y z x y z

æ ö

+ + = - + - + - = -ç + + ÷÷

ç

ç ÷ + + + + + + + + + ÷ è ø

.

Theo bất đẳng thức Côsi cơ bản ta có:

1 1 1 9 9

x 1 y 1 z 1 x 1 y z 1 1 4

+ + ³ =

+ + + + + + + +

, (do: x + y z + =1).

Vậy:

9 3 3

1 1 1 4 4

x y z

x y z

+ + £ - = Þ

+ + +

đpcm.

Đẳng thức xảy ra

1 1 1 1

1 3

x y z

x y z

x y z

ìïï + = + = +

Û í Û = = =

ï

ïî + + =

.

Nhận xét:

· Xin đưa ra một minh hoạ lượng giác cho thí dụ trên:

Chứng minh rằng trong mọi DABC , ta luôn có:

sin .sin sin .sin sin .sin

2 2 2 2 2 2 3

.

4

os os os

222

A B B C C A

A B B C C A

c c c

+ + £

- - -

(1)

Thật vậy, ta có (1) tương đương với:

sin .sin sin .sin sin .sin

2 2 2 2 2 2 3

4

os . os sin .sin os . os sin .sin os . os sin .sin

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

A B B C C A

A B A B B C B C C A C A

c c c c c c

+ + £

+ + +

tan .tan tan .tan tan .tan

2 2 2 2 2 2 3

4

tan .tan 1 tan .tan 1 tan .tan 1

2 2 2 2 2 2

A B B C C A

A B B C C A Û + + £

+++

. (2)

Đặt tan .tan

2 2

A B

a = ; tan .tan

2 2

B C b = ; tan .tan

2 2

C A

c = , (abc , , 0 > ).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn