skkn ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường thpt

Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT

A-MỞ ĐẦU – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phương trình đường tròn là một trong những phương trình đường cong hay gặp

nhất trong môn toán ở nhà trường phổ thông.

Khái niệm về đường tròn và phương trình đường tròn không nhiều, nhưng hệ

thống bài tập thì đa dạng và phong phú vô cùng. Những ứng dụng quan trọng của

nó là giải bất phương trình, tìm GTLN,GTNN của biểu thức, biện luận số nghiệm

của hệ phương trình … Đó chính là công việc “hình học hóa môn đại số”. Sử dụng

được phương pháp này lời giải rất “đẹp,dễ nhớ và thoáng”.

Đứng trước bài toán biện luận hệ phương trình, tìm GTLN, GTNN của biểu thức

phải xác định được phương pháp giải của nó.

Có nhiều tác giả nghiên cứu về các dạng bài tập nhiều cách giải khác nhau; dùng

định lý thuận, đảo dấu tam thức bậc hai; tách ghép đánh giá; dùng bất đẳng thức

Côsi, Bunhiacôpski…Song khai thác triệt để và có hệ thống việc sử dụng phương

trình đường tròn vào việc biện luận hệ phương trình thì chưa có. Rất nhiều bài toán

nhờ ứng dụng phương pháp đường tròn được giải quyết một cách ngắn gọn dễ dàng.

Thông qua đề tài này chúng ta có thể :

- Cung cấp cho học sinh một phương pháp hay về việc giải một số bài toán đại

số.

- Phát triển sự tư duy sáng tạo cho học sinh.

- Giúp học sinh một cách nhìn rất logic trong chương trình toán phổ thông.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài :

- Các dạng phương trình, hệ phương trình trong chương trình toán phổ thông:

phương trình đại số, phương trình siêu việt.

- Phương trình đường thẳng, đường tròn.

Nghiên cứu trong phạm vi cả chương trình toán phổ thông.

Vì những lý do trên tôi chọn đề tài : “ Ứng dụng của đường thẳng và đường tròn

trong việc giải toán đại số ở trường THPT ”

Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu 1

1

Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT

B – CƠ SỞ LÝ LUẬN

LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

VÀ ĐƯỜNG THẲNG

1. Dạng tổng quát của phương trình đường thẳng :

Ax + By + C = 0 ( A2+B2 ≠ 0)

2. Dạng tổng quát của phương trình đường tròn tâm I(a,b) bán kính R có

phương trình : ( ) ( )

2 2 2

x a y b R − + − =

3. Điều kiện để phương trình :

2 2 x y 2ax 2by c 0 + + + + = là phương trình

đường tròn là : a2 + b2 - c > 0

4. Công thức tính khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng (d) có

phương trình : Ax + By + C = 0 ( A2+B2≠ 0)

( )

2 2

Ax By C

d M,d

A B

+ +

=

+

5. Điều kiện để đường thẳng (d) : Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của đường tròn

( C ) tâm I(a;b) bán kính R là : d(I;d)=R.

6. Sự tương giao của hai đồ thị y=f(x) và y=g(x).Hoành độ giao điểm của hai đồ

thị trên là nghiệm của phương trình : f(x)=g(x).

7. Sự biểu diễn các đường cong trên mặt phẳng tọa độ,cách xác định miền

đường thẳng hoặc đường tròn thỏa mãn bất phương trình,hệ bất phương

trình.

8. Vị trí tương đối của hai đường tròn ( C ) : ( ) ( )

2 2 2

x a y b R − + − = và

Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu 2

2

Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT

đường tròn ( C’) : ( ) ( )

2 2 2

x a ' y b' R ' − + − =

• ( C C' ) ∩( )

•

( ) ( )

( ) ( )

C C'

C' C

 ⊂



 ⊂

• ( C C' ) ∩( ) tại một điểm duy nhất.

• ( C C' ) ∩( ) tại hai điểm phân biệt.

9. Phương tích của điểm M(x0;y0) đối với đường tròn (C):

( ) ( )

2 2 2

x a y b R − + − = tâm I(a;b) bán kính R là :

P( M/ (C) )= ( ) ( )

2 2 2 2 2 MA.MB IM R x a y b R = − = − + − − 0 0

Nếu M nằm trên hoặc ngoài đường tròn ta có : P( M/ (C) )= MT2

(với MT là tiếp tuyến với đường tròn tại điểm T)

10. Trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm :

( C ) : ( ) ( )

2 2 2

x a y b R − + − =

( C’) : ( ) ( )

2 2 2

x a ' y b' R ' − + − =

a a '

b b'

   ≠

 ÷ 

 ≠  

Phương trình trục đẳng phương của (C) và (C’) là :

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 a a ' x 2 b b' y a a ' b b' R ' R 0 − + − − − − − + − =

Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu 3

3

Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT

C – NỘI DUNG

ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN ĐỂ GIẢI

MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

1.Ứng dụng đường tròn để giải phương trình.

1.1.Cơ sở lý thuyết :

Một số phương trình đại số sau một số bước biến đổi sẽ xuất hiện dạng giao điểm

của các đường cong nên ta có thể xét sự tương giao của các đường cong để giải

phương trình ban đầu.

1.2.Phương pháp:

 Bước 1: Biểu diễn phương trình ban đầu dưới sự tương giao của các đường

cong.

 Bước 2 : Biểu diễn các đường cong xuất hiện ở bước 1 trên mặt phẳng tọa độ.

 Bước 3 : Xét sự tương giao của các đường cong :

- Nếu hai đồ thị không cắt nhau thì phương trình đã cho vô nghiệm.

- Nếu hai đồ thị cắt nhau tại bao nhiêu điểm thì phương trình đã cho có bấy nhiêu

nghiệm.

1.3.Bài toán áp dụng.

Bài toán 1: Giải và biện luận theo m phương trình :

m x m x m 1 + + − = ( )

Giải:

+ Nếu m < 0 ⇒ Phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu m = 0⇒ x x 0 + − =

TXĐ :

x 0

x 0

x 0

 ≥

 ⇔ =

− ≤

⇒ x=0 là một nghiệm của phương trình.

Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu 4

4