Phương trình vi phân với hệ số tuần hoàn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ HƯƠNG

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI HỆ SỐ TUẦN HOÀN

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG

2012

M
C L
C

Trang

Mc lc……………………………………………………………... 1

M u……………...…………………………………………….... 2

Li cm n…………………………………………………………. 4

Ch ng 1 Lý thuy

t Floquet cho h ph ng trình vi phân

th ng...

5

1.1 Các khái ni
m c bn ca phng trình vi phân thng…………... 5

1.2 Lý thuyt Floquet cho h
phng trình vi phân thng..................... 13

Ch ng 2 Lý thuy

t Floquet trên thang thi gian ….......................... 17

2.1 Mt s

nh ngha và tính ch t c bn v thang thi gian………..... 17

2.2 H

ng lc tuyn tính trên thang thi gian....................................... 27

2.3 Lý thuyt Floquet trên thang thi gian ….......................................... 29

2.4 Nhân t Floquet, m Floquet …........................................................

42

2.5 Áp dng ca lý thuyt Floquet….......................................................

50

K

t lun…………………………………………………………… 57

Tài liu tham kho………………………………………………… 58

2

M U

Nhiu bài toán thc t nh các h
c hc, các h
th ng

i
n, h
sinh thái, h

ng lc,…, thng

c mô t bi các phng trình vi phân. Mt lp quan

trng ca phng trình vi phân là lp các phng trình vi phân vi h
s tun

hoàn. nh lý Floquet là mt

nh lý c bn nh t trong lý thuyt phng trình vi

phân vi h
s tun hoàn.

Nghiên cu các phng trình vi phân vi h
s tun hoàn nói chung và lý

thuyt Floquet nói riêng là mt ch



c các nhà nghiên cu quan tâm, vì

ây là mô hình hay gp trong thc t, thí d, h
th ng các hành tinh trong h
mt

tri, các dao

ng vt lý,..., là các h
tun hoàn.

Song hành vi phng trình vi phân, lý thuyt phng trình sai phân cng

c nghiên cu và phát trin,

c bi
t trong nhng nm gn

ây (xem [5]).

Phng trình sai phân không ch là mt mô hình ri r c ca phng trình vi

phân, mà còn là mt mô hình toán hc

c lp, r t nhiu bài toán thc t (trong

kinh t, trong k thut,...) cng có th mô t

c bi h
phng trình sai phân.

Nm 1988, nh!m th ng nh t nghiên cu các h
ri r c và liên tc, Hilger [8]

ã

a ra khái ni
m thang th
i gian. Khái ni
m thang thi gian ca Hilger

không nhng ch có ý ngha toán hc, mà còn có ý ngha trit hc sâu s"c. Nó

cho phép th ng nh t hai bn ch t ca chuyn

ng,

ó là tính liên tc và tính ri

r c. Sau khi Hilger

a ra khái ni
m thang thi gian và nghiên cu h

ng lc

trên thang thi gian, mt s nhà toán hc

ã quan tâm nghiên cu và xây dng

lý thuyt Floquet

i vi h

ng lc tun hoàn trên thang thi gian.

Lun vn Phng trình vi phân vi h s tun hoàn có mc

ích trình bày lý

thuyt Floquet cho h
phng trình vi phân thng tuyn tính vi h
s tun

hoàn và h

ng lc tuyn tính tun hoàn trên thang thi gian tun hoàn.

Ngoài phn m

u, kt lun, lun vn g#m hai chng.

3

Chng 1: Lý thuyt Floquet cho phng trình vi phân thng.

Chng này trình bày các

nh ngha và tính ch t c bn ca h
phng

trình vi phân thng, phát biu và chng minh

nh lý Floquet

i vi phng

trình vi phân thng. Các kin thc trình bày trong Chng này ch yu da

vào các tài li
u [2], [3], [4].

Chng 2: Lý thuyt Floquet trên thang thi gian.

Chng 2 trình bày mt s

nh ngha và tính ch t v thang thi gian, h

ng lc tuyn tính trên thang thi gian, lý thuyt Floquet

i vi h

ng lc

tuyn tính tun hoàn trên thang thi gian tun hoàn và mt s ví d áp dng. Ni

dung ca Chng

c trình bày theo các tài li
u [6], [7], có tham kho thêm tài

li
u [1].

Do thi gian và kh nng còn nhiu h n ch nên lun vn này không th

tránh kh$i nhng thiu sót. R t mong nhn

c nhng ý kin

óng góp quí báu

ca các thy cô và các b n

#ng nghi
p.

4

LI CM N

Tác gi trân trng cm n Ban Giám hi
u, Phòng

ào t o sau

i hc,

Trng  i hc khoa hc,  i hc Thái Nguyên

ã quan tâm và t o

iu ki
n

t t nh t cho tác gi hoàn thành khóa hc sau

i hc.

Tác gi xin trân trng cm n cô giáo TS Nguy%n Th Thu Thy cùng các

thy cô giáo tham gia ging d y lp cao hc K4B khóa 2010-2012

ã

em ht

nhi
t tình và tâm huyt ca mình trang b cho tác gi nhng kin thc c s.

Tác gi xin trân trng cm n trng Ph& thông Hermann Gmeiner, Hi

Phòng

ã t o nhiu

iu ki
n

 tác gi có thi gian v'a hoàn thành nhi
m v

ging d y t i trng,

#ng thi hoàn thành t t khóa hc Th c s.

Lun vn này

c hoàn thành di s hng d(n tn tình ca thy giáo

PGS TS T Duy Phng, Vi
n Toán hc. Tác gi xin trân trng bày t$ lòng bit

n sâu s"c ti Thy.

Tác gi cng xin gi li cm n chân thành

n các thành viên lp cao hc

K4B

ã luôn quan tâm, giúp

) tác gi trong su t quá trình hc tp.

Xin chân thành cm n gia

ình, b n bè

ã ng h,

ng viên và giúp

)

tác gi trong su t quá trình hc cao hc và thc hi
n

 tài lun vn.

Thái Nguyên, tháng 10 nm 2012.