Phương trình vi phân Đại số chỉ số 1, 2 và phương trình liên hợp của nó

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THÁI SƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ

ĐỀ TÀI

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 1, 2

VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01

Người hướng dẫn: TS. Đào Thị Liên

Thái Nguyên - 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

MỤC LỤC

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Chương 1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 1 VÀ PHƯƠNG

TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Phân rã phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Các phép chiếu chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5. Cách giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6. Phương trình liên hợp của phương trình chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7. Tính giải được duy nhất của phương trình liên hợp . . . . . . . . . . . . 18

1.8. Định nghĩa chỉ số cho phương trình liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9. Hệ nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.10. Mối quan hệ giữa các hệ nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 2 VÀ PHƯƠNG

TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1. Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2. Khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3. Bài toán giá trị ban đầu cho phương trình chỉ số 2 . . . . . . . . . . . . 50

2.4. Các phép chiếu chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.5. Ma trận cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.6. Phương trình liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS

Đào Thị Liên. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và thành kính nhất đến

Cô. Cô không chỉ hướng dẫn tôi nghiên cứu khoa học mà Cô còn thông

cảm tạo mọi điều kiện động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn.

Cũng nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè tôi đã

hết sức quan tâm và giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và hoàn thành luận

văn.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô

giáo viện Toán học Việt Nam, các thầy cô giáo trong khoa sau Đại học và

khoa Toán trường Đại học Sư Phạm - Đại Học Thái Nguyên đã dạy bảo

em tận tình trong suốt quá trình học tập tại trường.

Bản luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu

sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô, các bạn đồng

nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010

Học viên

Phạm Thái Sơn

2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

MỞ ĐẦU

Trong vài thập kỷ gần đây, một vấn đề thời sự đang được nhiều nhà toán

học quan tâm thuộc lĩnh vực phương trình vi phân, kể cả phương diện lý

thuyết cũng như áp dụng, đó là phương trình vi phân đại số. Phương trình

vi phân đại số được xuất phát từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tế kỹ

thuật và là sự mở rộng của phương trình vi phân thường.

Luận văn này tập hợp các kết quả về phương trình vi phân đại số chỉ

số 1, chỉ số 2 và phương trình liên hợp của chúng. Trong lý thuyết phương

trình vi phân thường, xét phương trình:

Ax

0

+Bx = 0 (1)

với hệ số liên tục A,B:I ⊆ R −→ L(C

m), A không suy biến, có một phương

trình liên hợp là

−(A

∗

y)

0

+B

∗

y = 0 (2)

Để có được phương trình (2), ta thực hiện phép biến đổi phương trình (1) về

dạng x

0

+A

−1Bx = 0. Phương trình liên hợp của nó là −z

0

+B

∗A

−1∗

z = 0.

Cuối cùng ta đặt A

−1∗

z = y. Mỗi cặp nghiệm của phương trình gốc và

phương trình liên hợp có đồng nhất thức Lagrange

z

∗

(t)x(t) = z

∗

(t0)x(t0)

Hoặc ta xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

dx

dt

= A(t)x (3)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

với A ∈ C(I,L(C

m,C

m)), trong đó I = [t0,+∞). Phương trình dạng

dy

dt

= −A

∗

(t)y (4)

với A

∗

(t) = A

−T

(t) được gọi là phương trình vi phân liên hợp của phương

trình (3).

Trong trường hợp A suy biến ta có phương trình vi phân đại số. Khi

đó người ta đã đạt được nhiều kết quả quan trọng về sự tồn tại duy nhất

của nghiệm của phương trình liên hợp cũng như các mối quan hệ giữa các

nghiệm cơ bản, trong đó đặc biệt đáng chú ý là đồng nhất thức Lagrange.

Trong các bài báo [2] và [3], K.Balla đã chứng minh được rằng: mỗi

phương trình vi phân đại số tuyến tính thuần nhất chỉ số 1 với các hệ số

khả vi, tồn tại một phương trình vi phân đại số mà ta gọi là phương trình

vi phân đại số liên hợp của nó, sao cho với bất kỳ cặp nghiệm nào của

phương trình vi phân đại số gốc và phương trình vi phân đại số liên hợp

đều thỏa mãn một đồng nhất thức mà nó có thể xem như một tương tự hóa

của đồng nhất thức Lagrange.

Bài báo [1] của K.Balla và R.Marz đã phát triển tiếp các kết quả đã đạt

được của hai bài báo trên. Bằng cách giảm nhẹ tính khả vi của các hệ số,

các tác giả đã chỉ ra rằng phương trình liên hợp của phương trình vi phân

đại số chỉ số 1 giải được chỉ khi tính trơn xuất hiện trong định nghĩa - điều

kiện này yếu hơn tính khả vi của các hệ số. Đồng thời các tác giả cũng

chứng minh được một đồng nhất thức tương tự đồng nhất thức Lagrange,

với các phép chiếu khả vi tùy ý, kết quả được trình bày trong không gian

phức.

Thay cho một ma trận duy nhất xảy ra trong thiết lập tiêu chuẩn, thuật

ngữ đầu tiên của phương trình vi phân tuyến tính là sự xuất hiện của cặp

ma trận. Khi đó khái niệm chỉ số được đưa ra cho các hệ phương trình. Các

hệ số được giả thiết là liên tục và chỉ một vài không gian con có cùng số

chiều là phải khả vi liên tục. Cách giải của bài toán có chỉ số cao hơn được

4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

chứng minh nhờ vào phương trình có chỉ số thấp hơn. Nghiệm đại diện

phải dựa trên nghiệm của một số phương trình vi phân thường chính qui

được xác định duy nhất bởi các dữ kiện của bài toán. Các giả thiết cho cách

giải phải thống nhất cả phương trình gốc và phương trình liên hợp của nó.

Cả hai phương trình có các chỉ số giống nhau và đồng thời triệt tiêu. Ma

trận nghiệm cơ bản thỏa mãn mối ràng buộc là tổng quát hóa đồng nhất

thức Lagrange.

Bản luận văn này được chia làm 2 chương:

Chương 1: Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 và phương trình liên

hợp của nó.

Chương này trình bày các kiến thức cơ sở, khái niệm về phương trình vi

phân đại số chỉ số 1 và phương trình liên hợp của nó; chứng minh các tính

chất quan trọng của các phép chiếu chính tắc, chứng minh sự tồn tại duy

nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình liên hợp.

Chương 2: Phương trình vi phân đại số chỉ số 2 và phương trình liên

hợp của nó.

Chương này nêu ra các khái niệm về phương trình vi phân đại số chỉ số

2 và phương trình liên hợp của nó; đưa ra cách giải của bài toán giá trị ban

đầu đối với phương trình vi phân đại số chỉ số 2; trình bày mối quan hệ

giữa các hệ nghiệm cơ bản của phương trình chỉ số 2 và phương trình liên

hợp của nó.

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức và kinh nghiệm

nghiên cứu khoa học còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những

hạn chế và thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến

phản biện của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn