Phương trình vi phân đạo hàm riêng II

NGUYỄN MẠNH HÙNG

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

ĐẠO HÀM RIÊNG

II

HÀ NỘI - 2006

Khoa To¸n - C¬ - Tin häc

BÈ m´n Gi¶i t›ch ------------------

Seminar

Ph­¨ng tr×nh

vi ph©n

ƹo hµm ri™ng II

øng dÙng gi¶i t›ch phi tuy’n vµo ph­¨ng tr×nh

vi ph©n ƹo hµm ri™ng kh´ng tuy’n t›nh

Hµ NÈi, 2006

i Ph­¨ng tr×nh ƹo hµm ri™ng

MÙc lÙc

LÍi n„i Æ«u iii

Ch­¨ng 1 Ph­¨ng ph¸p bi’n ph©n vµ mÈt sË ¸p dÙng vµo ph­¨ng tr×nh

vi ph©n ƹo hµm ri™ng kh´ng tuy’n t›nh 1

1.1 MÈt vµi v n Æ“ bÊ sung ki’n th¯c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Kh´ng gian Sobolev vµ Æfinh l˝ nhÛng . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 T›nh kh¶ vi cÒa phi’m hµm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 MÈt sË ­Ìc l­Óng c¨ b¶n v“ ph­¨ng tr×nh elliptic c p hai . . 11

1.2 C˘c ti”u phi’m hµm. Ph­¨ng ph¸p tr˘c ti’p trong ph–p t›nh bi’n

ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 ßi“u ki÷n b¯c (coercive) vµ t›nh nˆa li™n tÙc d­Ìi . . . . . . . 14

1.2.2 Ph­¨ng ph¸p nh©n tˆ Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.3 Ph­¨ng ph¸p nghi÷m tr™n y’u, nghi÷m d­Ìi y’u . . . . . . . 25

1.3 MÈt sË Æfinh l˝ v“ l˝ thuy’t Æi”m tÌi h¹n vµ ¯ng dÙng vµo ph­¨ng

tr×nh elliptic nˆa tuy’n t›nh trong Rn .................. 29

1.3.1 ßi“u ki÷n Palais-Smale vµ s˘ tÂn t¹i Æi”m tÌi h¹n . . . . . . 29

1.3.2 øng dÙng Æfinh l˝ qua nÛi vµo bµi to¸n bi™n ÆËi vÌi ph­¨ng

tr×nh elliptic nˆa tuy’n t›nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Ch­¨ng 2 MÈt sË b t ƺng th¯c bi’n ph©n vµ ¯ng dÙng 61

2.1 MÎ Æ«u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2 S˘ tÂn t¹i nghi÷m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.3 B t ƺng th¯c bi’n ph©n cho c¸c to¸n tˆ ƨn Æi÷u . . . . . . . . . . 64

2.4 To¸n tˆ Noncoercive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.5 MÈt sË ¯ng dÙng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.6 PhÙ lÙc: ßfinh l˝ Lax-Milgram phi tuy’n . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Ch­¨ng 3 Ph­¨ng ph¸p to¸n tˆ ƨn Æi÷u 80

3.1 GiÌi thi÷u chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.2 Bµi to¸n xu t ph¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3 To¸n tˆ tr™n Rn ............................... 81

3.4 To¸n tˆ tr™n kh´ng gian Hilbert th˘c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.5 To¸n tˆ tr™n kh´ng gian Hilbert th˘c t¸ch Æ­Óc . . . . . . . . . . . . 87

i

ii MÙc lÙc

3.6 To¸n tˆ tr™n kh´ng gian Banach ph¶n x¹ . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.7 MÈt sË nhÀn x–t vµ Ƹnh gi¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Ch­¨ng 4 L˝ thuy’t bÀc Brouwer (h˜u h¹n chi“u) 100

4.1 X©y d˘ng bÀc cÒa ¸nh x¹ li™n tÙc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.1.1 X©y d˘ng bÀc cÒa ¸nh x¹ thuÈc lÌp C1(Ω; ¯ Rn) ......... 101

4.1.2 X©y d˘ng bÀc cÒa ¸nh x¹ thuÈc lÌp C2(Ω; ¯ Rn) ......... 103

4.1.3 X©y d˘ng bÀc cÒa ¸nh x¹ thuÈc lÌp C(Ω; ¯ Rn) ......... 104

4.2 MÈt sË t›nh ch t cÒa bÀc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3 C¸c ¯ng dÙng cÒa l˝ thuy’t bÀc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.3.1 ßfinh l˝ Brower v“ Æi”m b t ÆÈng vµ mÈt sË d¹ng t­¨ng

Æ­¨ng cÒa n„ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3.2 ßfinh l˝ Borsuk vµ c¸c ¯ng dÙng cÒa n„ . . . . . . . . . . . . . 115

Tµi li÷u tham kh¶o 122

iii Ph­¨ng tr×nh ƹo hµm ri™ng

LÍi n„i Æ«u

Trong ni™n kho¸ 2005-2006 Seminar chÛng t´i Æ· Æi s©u vµo c¸c ph­¨ng ph¸p

gi¶i t›ch phi tuy’n ¯ng dÙng vµo ph­¨ng tr×nh vi ph©n kh´ng tuy’n t›nh. ßÂng

thÍi vÌi nhi“u b¸o c¸o chuy™n Æ“ cung c p c¸c ki’n th¯c c¨ b¶n v“ c¸c ph­¨ng

ph¸p gi¶i t›ch phi tuy’n vµ c¸c ¯ng dÙng cÒa n„, c¸c c¸n bÈ tham gia Seminar

Æ· l«n l­Ót b¸o c¸o c¸c k’t qu¶ nghi™n c¯u cÒa m×nh. ChÛng t´i nhÀn th y rªng

Seminar Æ· c„ ›ch th˘c s˘ cho c¸c c¸n bÈ mÌi vµo ngh“ cÚng nh­ c¸c h‰c vi™n cao

h‰c.

C„ th” n„i s˘ h®ng h¸i nhi÷t t×nh tham gia Seminar cÒa nhi“u c¸n bÈ trŒ trong

bÈ m´n gi¶i t›ch Æ· lµm s´i ÆÈng kh´ng kh› h‰c tÀp vµ nghi™n c¯u trong BÈ m´n.

MÈt sË c¸n bÈ tuy tuÊi ÆÍi, tuÊi ngh“ cfln trŒ nh­ng Æ· c„ nh˜ng k’t qu¶ nghi™n

c¯u, nh˜ng bµi b¸o Æ­Óc Æ®ng Î c¸c t¹p ch› to¸n h‰c trong vµ ngoµi n­Ìc. ß„ lµ

nh˜ng ``thµnh t˘u" b­Ìc Æ«u mµ Seminar chÛng t´i Æ· lµm Æ­Óc.

N®m 2004-2005 chÛng t´i in tÀp 1 v“ c¸c bµi gi¶ng ¯ng dÙng gi¶i t›ch hµm vµo

ph­¨ng tr×nh vi ph©n ƹo hµm ri™ng. N®m nay trong tÀp 2 chÛng t´i giÌi thi÷u c¸c

¯ng dÙng cÒa gi¶i t›ch phi tuy’n vµo vi÷c nghi™n c¯u c¸c bµi to¸n bi™n cÒa ph­¨ng

tr×nh vi ph©n ƹo hµm ri™ng kh´ng tuy’n t›nh.

Ch­¨ng 1 do Ph„ Gi¸o s­ Ti’n s‹ Hoµng QuËc Toµn vi’t.

Ch­¨ng 2 do Th¹c s‹ Nguy‘n Th’ Vinh vi’t.

Ch­¨ng 3 do Th¹c s‹ Tr«n T t ß¹t vi’t.

Ch­¨ng 4 do NCS-Ti’n s‹ ßÆng Anh Tu n vi’t.

V× l˝ do nµy hay l˝ do kh¸c, tÀp Seminar cÒa chÛng t´i kh´ng tr¸nh kh·i nh˜ng

sai s„t. ChÛng t´i d«n d«n sœ hi÷u Æ›nh l¹i, hy v‰ng tr­Ìc h’t h˜u ›ch cho nh˜ng

ai mÌi vµo ngh“ vµ c„ quan t©m Æ’n vi÷c nghi™n c¯u ph­¨ng tr×nh vi ph©n ƹo

hµm ri™ng.

Hµ Néi ngµy 20.07.2006

1 Ph­¨ng tr×nh ƹo hµm ri™ng

Ch­¨ng 1

Ph­¨ng ph¸p bi’n ph©n vµ mÈt sË ¸p dÙng

vµo ph­¨ng tr×nh vi ph©n ƹo hµm ri™ng

kh´ng tuy’n t›nh

Vi÷c ¯ng dÙng gi¶i t›ch phi tuy’n nghi™n c¯u ph­¨ng tr×nh ƹo hµm ri™ng th´ng

qua c¸c ph­¨ng ph¸p ch›nh sau Æ©y

- Ph­¨ng ph¸p ƨn Æi÷u.

- Ph­¨ng ph¸p ¸p dÙng c¸c Æfinh l˝ v“ Æi”m b t ÆÈng.

- Ph­¨ng ph¸p ¸p dÙng l˝ thuy’t bÀc Leray-Schauder.

- Ph­¨ng ph¸p bi’n ph©n-nguy™n l˝ minimax.

Sau Æ©y ta sœ tr×nh bµy mÈt ¸p dÙng cÒa ph­¨ng ph¸p bi’n ph©n Æ” nghi™n

c¯u bµi to¸n bi™n ÆËi vÌi ph­¨ng tr×nh ƹo hµm ri™ng kh´ng tuy’n t›nh.

ß” hi”u r‚ v n Æ“ Æ­Óc ÆÆt ra th× tr­Ìc h’t ta h·y n„i mÈt c¸ch ngæn g‰n nÈi

dung cÒa ph­¨ng ph¸p bi’n ph©n trong ph­¨ng tr×nh ƹo hµm ri™ng.

Nghi™n c¯u Æfinh t›nh cÒa l˝ thuy’t ph­¨ng tr×nh ƹo hµm ri™ng tÀp trung vµo

ba v n Æ“ ch›nh lµ: s˘ tÂn t¹i, t›nh duy nh t vµ t›nh tr¨n cÒa nghi÷m cÒa bµi to¸n

bi™n vÌi mÈt lÌp ph­¨ng tr×nh ƹo hµm ri™ng nµo Æ„.

ß” nghi™n c¯u bµi to¸n bi™n n„i tr™n ng­Íi ta c„ th” x©y d˘ng mÈt phi’m hµm

n®ng l­Óng li™n k’t d¹ng

J (u) = Z

Ω

F ￾

x, u, ∇u, ∇2

u, ...

dx, u ∈ X,

trong Æ„ X lµ mÈt kh´ng gian Banach nµo Æ„ vµ J lµ mÈt phi’m hµm kh¶ vi

Frech–t hay c„ ƹo hµm y’u (ƹo hµm Gateaux) sao cho nghi÷m cÒa ph­¨ng tr×nh

Euler-Lagrange cÒa J

DJ(u)=0

(n’u tÂn t¹i) sœ lµ nghi÷m cÒa bµi to¸n bi™n Æang x–t

2 Ch­¨ng 1. Ph­¨ng ph¸p bi’n ph©n vµ mÈt sË ¸p dÙng

Nh­ vÀy, vi÷c nghi™n c¯u bµi to¸n bi™n ÆËi vÌi ph­¨ng tr×nh ƹo hµm ri™ng c„

th” Æ­a v“ vi÷c nghi™n c¯u mÈt ph­¨ng tr×nh phi’m hµm d¹ng

K (u)=0, u ∈ X

trong Æ„ K(u) n„i chung lµ phi tuy’n.

R‚ rµng t›nh kh¶ vi Frech–t cÒa phi’m hµm J phÙ thuÈc vµo d¸ng Æi÷u cÒa

hµm F (x, u, ∇u, ∇2

u, ...).

Gi¶ sˆ u0 ∈ X lµ Æi”m c˘c ti”u t­¨ng ÆËi cÒa J vµ J ∈ C1(X) th× u0 ph¶i tho¶

m·n Æi“u ki÷n DJ(u0)=0. Do Æ„ u0 lµ nghi÷m cÒa bµi to¸n bi™n Æang x–t.

N’u J kh´ng kh¶ vi li™n tÙc Frech–t nh­ng tÂn t¹i ƹo hµm theo ngh‹a y’u

trong X th× u0 tho¶ m·n ph­¨ng tr×nh Euler-Lagrange theo ngh‹a y’u

hv, DJ (u0)i = 0, ∀v ∈ X.

Nh­ vÀy, dÔ J kh¶ vi li™n tÙc Frechet hay c„ ƹo hµm theo ngh‹a y’u th× Æi”m c˘c

ti”u t­¨ng ÆËi u0 cÚng lµ nghi÷m suy rÈng cÒa bµi to¸n bi™n li™n k’t.

Tı Æ„ ta th y vi÷c nghi™n c¯u s˘ tÂn t¹i nghi÷m cÒa bµi to¸n bi™n d…n Æ’n vi÷c

t×m c¸c Æi”m tÌi h¹n cÒa phi’m hµm J, t¯c lµ nh˜ng Æi”m u ∈ X mµ DJ(u)=0,

trong Æ„ ngoµi nh˜ng Æi”m c˘c ti”u Æfia ph­¨ng cfln c„ c¸c Æi”m tÌi h¹n kh¸c n„i

chung lµ c¸c Æi”m y™n ng˘a.

MÈt trong nh˜ng ti™u chu»n tÂn t¹i Æi”m tÌi h¹n Æ­Óc Æ“ cao Æ„ lµ "Æfinh l˝

qua nÛi".

N®m 1950, Courant Æ­a ra Æfinh l˝ qua nÛi trong kh´ng gian h˜u h¹n chi“u.

N®m 1973, Ambrosetti vµ Rabinowitz ch¯ng minh Æfinh l˝ qua nÛi ÆËi vÌi phi’m

hµm J ∈ C1(X) trong kh´ng gian Banach v´ h¹n chi“u.

ßfinh l˝ qua nÛi g„p ph«n quan tr‰ng trong vi÷c ¸p dÙng gi¶i t›ch phi tuy’n

nghi™n c¯u c¸c bµi to¸n bi™n cÒa ph­¨ng tr×nh ƹo hµm ri™ng phi tuy’n.

Nh­ vÀy, ˝ t­Îng cÒa ph­¨ng ph¸p bi’n ph©n trong ph­¨ng tr×nh ƹo hµm

ri™ng lµ: Æ” ch¯ng minh s˘ tÂn t¹i nghi÷m cÒa bµi to¸n bi™n ta c„ th” sˆ dÙng c¸c

ph­¨ng ph¸p cÒa l˝ thuy’t tËi ­u Æ” t×m Æi”m c˘c ti”u (hoÆc Æi”m tÌi h¹n) cÒa

phi’m hµm n®ng l­Óng li™n k’t vÌi n„.

1.1 MÈt vµi v n Æ“ bÊ sung ki’n th¯c

1.1.1 Kh´ng gian Sobolev vµ Æfinh l˝ nhÛng

1. Kh´ng gian Sobolev. Gi¶ sˆ Ω lµ mÈt mi“n (mÎ vµ li™n th´ng) trong Rn,

u ∈ L1

loc (Ω), α = (α1, α2, .., αn) lµ Æa chÿ sË c p |α| = Pn

i=1

αi, Dαu lµ ƹo hµm theo

3 Ch­¨ng 1. Ph­¨ng ph¸p bi’n ph©n vµ mÈt sË ¸p dÙng

ngh‹a suy rÈng cÒa u x¸c Æfinh theo c´ng th¯c

hDαu, ϕi = (−1)|α|

Z

Ω

u.Dαϕ , ∀ϕ ∈ C∞

0 (Ω).

Ta n„i Dαu ∈ Lp (Ω) n’u tÂn t¹i mÈt hµm gα ∈ Lp (Ω) sao cho

hϕ, Dαui = hϕ, gαi = (−1)|α|

Z

Ω

gα.ϕ.dx, ∀ϕ ∈ C∞

0 (Ω).

Khi Æ„ ta ÆÂng nh t Dαu vÌi gα ∈ Lp (Ω). VÌi k ∈ N0, 1 6 p 6 +∞ ta x¸c Æfinh

Wk,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) : Dαu ∈ Lp (Ω), ∀α : |α| 6 k}

vÌi chu»n

kukp

Wk,p = X

|α|6k

kDαukp

Lp , 1 6 p < +∞

vµ

kukp

Wk,+∞ = max

|α|6k

kDαukL+∞ .

Ta chÛ ˝ rªng ph–p ƹo hµm cÒa hµm suy rÈng lµ li™n tÙc theo ngh‹a hÈi tÙ y’u

trong L1

loc (Ω). Nhi“u t›nh ch t cÒa kh´ng gian Lp (Ω) cÚng ÆÛng trong kh´ng gian

Wk,p (Ω).

ßfinh l˝ 1.1. VÌi k ∈ N0, 1 6 p 6 +∞, Wk,p (Ω) lµ mÈt kh´ng gian Banach. Kh´ng

gian Wk,p (Ω) lµ kh´ng gian ph¶n x¹ n’u vµ chÿ n’u 1 <p< +∞. H¨n n˜a, Wk,2 (Ω)

lµ kh´ng gian Hilbert vÌi t›ch v´ h­Ìng

(u, v)Wk,2 = X

|α|6k

Z

Ω

Dαu.Dαv.dx.

VÌi 1 6 p < +∞, Wk,p (Ω) lµ kh´ng gian t¸ch Æ­Óc.

ßfinh l˝ 1.2. VÌi m‰i k ∈ N0, 1 6 p < +∞, kh´ng gian con Wk,p (Ω) ∩ C∞ (Ω) trÔ mÀt

trong Wk,p (Ω)

BÊ sung cÒa Wk,p (Ω)∩ C∞ (Ω) trong Wk,p (Ω) Æ­Óc k˝ hi÷u lµ Hk,p (Ω). ßÆc bi÷t

khi p = 2 th× k˝ hi÷u Hk,2 (Ω) Æ­Óc sˆ dÙng th´ng th­Íng. Wk,p

0 (Ω) lµ bao Æ„ng

cÒa C∞

0 (Ω) trong Wk,p (Ω). Hk,2

0 (Ω) lµ bao Æ„ng cÒa C∞

0 (Ω) trong Hk,2

0 (Ω). ßËi

ng…u cÒa Hk,2 (Ω) Æ­Óc k˝ hi÷u lµ H−k (Ω).

2. Kh´ng gian Holder. Gi¶ sˆ Ω ⊂ Rn. Hµm u : Ω → R Æ­Óc g‰i lµ li™n tÙc theo

Holder vÌi sË mÚ β > 0 n’u

[u]

(β) = sup x6=y

x,y∈Ω

|u (x) − u (y)|

|x − y|

β < +∞

4 Ch­¨ng 1. Ph­¨ng ph¸p bi’n ph©n vµ mÈt sË ¸p dÙng

VÌi m ∈ N0, 0 < β 6 1, ta k˝ hi÷u

Cm,β (Ω) = 

u ∈ Cm (Ω) : Dαu li™n tÙc theo Holder vÌi sË mÚ β > 0 vÌi m‰i |α| = m

.

N’u Ω lµ compæc t­¨ng ÆËi th× Cm,β ￾

Ω

lµ kh´ng giam Banach vÌi chu»n

kukCm,β = X

|α|6m

kDαukL∞ + X

|α|=m

[Dαu]

(β)

.

ChÛ ˝ rªng vÌi 0 < β 6 1, tÀp hÓp c¸c hµm tr¨n kh´ng trÔ mÀt trong Cm,β ￾

Ω

.

K˝ hi÷u Cm,0 (Ω) = Cm (Ω).

3. ßfinh l˝ nhÛng. Gi¶ sˆ X vµ Y lµ c¸c kh´ng gian Banach. Ta n„i X Æ­Óc

nhÛng li™n tÙc trong Y vµ k˝ hi÷u

X ,→ Y

n’u tÂn t¹i ¸nh x¹ tuy’n t›nh i : X → Y sao cho tÂn t¹i hªng sË c > 0 th·a m·n

ki(x)kY 6 c kxkX , ∀x ∈ X.

Khi Æ„ ta ÆÂng nh t X vÌi kh´ng gian con i(X) ⊂ Y . X Æ­Óc g‰i lµ nhÛng compæc

vµo Y n’u ¸nh x¹ i bi’n tÀp con bfi chÆn trong X thµnh tÀp con compæc t­¨ng ÆËi

trong Y . Ta c„ c¸c Æfinh l˝ quan tr‰ng sau Æ©y.

ßfinh l˝ 1.3. Cho Ω ⊂ Rn c„ ÆÈ Æo Lebesgue Ln(Ω) < +∞, 1 6 p 6 q < +∞. Khi Æ„

Lq (Ω) ⊂ Lp (Ω).

N’u Ln(Ω) = +∞ th× n„i chung Æfinh l˝ kh´ng ÆÛng.

ßfinh l˝ 1.4. Gi¶ sˆ Ω lµ mi“n compæc t­¨ng ÆËi trong Rn vµ m ∈ N0, 0 6 α<β 6 1.

Khi Æ„

Cm,β ￾

Ω

,→ Cm,α ￾

Ω

lµ compæc.

ßfinh l˝ 1.5 (ßfinh l˝ nhÛng Sobolev). Gi¶ sˆ Ω ⊂ Rn lµ mi“n bfi chÆn vÌi bi™n

Lipschitz, k ∈ N, 1 6 p 6 +∞. Khi Æ„

i) N’u kp < n, 1 6 q 6 np

n−kp th× ta c„

Wk,p (Ω) ,→ Lq (Ω)

vµ ph–p nhÛng lµ compæc n’u q < np

n−kp .

ii) N’u 0 6 m<k − n

p

< m + 1, 0 6 α 6 k − m − n

p

th× ta c„

Wk,p (Ω) ,→ Cm,α ￾

Ω

vµ ph–p nhÛng lµ compæc n’u α<k − m − n

5 Ch­¨ng 1. Ph­¨ng ph¸p bi’n ph©n vµ mÈt sË ¸p dÙng

T›nh compæc cÒa ph–p nhÛng Wk,p (Ω) ,→ Lq (Ω) lµ h÷ qu¶ cÒa Æfinh l˝ Rellich￾Kondrakov. ßfinh l˝ nhÛng Sobolev ÆÛng vÌi c¸c kh´ng gian Wk,p

0 (Ω) tr™n m‰i

mi“n Ω bfi chÆn.

ßfinh l˝ 1.6 (ßfinh l˝ trÔ mÀt). Gi¶ sˆ Ω ⊂ Rn lµ mi“n bfi chÆn thuÈc lÌp C1, k ∈ N

vµ 1 6 p < +∞. Khi Æ„ C∞ ￾

Ω

trÔ mÀt trong Wk,p (Ω).

4. B t ƺng th¯c Poincar–. Gi¶ sˆ Ω lµ mi“n bfi chÆn trong Rn, d lµ Æ­Íng k›nh

cÒa Ω, u ∈ H1,2

0 (Ω). Khi Æ„

Z

Ω

|u|

2 dx 6 d2

Z

Ω

|∇u|

2 dx.

ßfinh l˝ 1.7. Cho Ω ⊂ Rn lµ mi“n bfi chÆn thuÈc lÌp C1, tÂn t¹i hªng sË c = c(Ω) sao

cho vÌi m‰i u ∈ H1,2

0 (Ω) ta c„

Z

Ω

|u|

2 dx 6 d2





Z

Ω

|∇u|

2 dx +

Z

∂Ω

|u|

2 dσ



 .

1.1.2 T›nh kh¶ vi cÒa phi’m hµm

1. ß¹o hµm Fr–chet. Cho V lµ kh´ng gian Banach, f lµ phi’m hµm x¸c Æfinh

tr™n V . Ta n„i phi’m hµm f kh¶ vi Fr–chet t¹i Æi”m u ∈ V n’u tÂn t¹i mÈt ¸nh

x¹ tuy’n t›nh bfi chÆn, k˝ hi÷u lµ f0

(u) ∈ V ∗ vµ Æ­Óc g‰i lµ ƹo hµm Fr–chet cÒa f

t¹i u sao cho

lim

kvkV →0

|f (u + v) − f (u) − f0 (u) v|

kvkV

= 0.

N’u ¸nh x¹ u → f0

(u) lµ li™n tÙc th× ta n„i phi’m hµm f thuÈc lÌp C1(V ). Chu»n

cÒa f0

(u) Æ­Óc x¸c Æfinh

kf0

(u)k = sup {|f0

(u) (h)| : h ∈ V, khk = 1} .

Gi¶ sˆ f lµ phi’m hµm kh¶ vi Fr–chet trong kh´ng gian Banach V , V ∗ lµ ÆËi ng…u

cÒa n„. K˝ hi÷u h,i lµ ph–p to¸n ÆËi ng…u. Nh­ vÀy

h,i : V × V ∗ → R

vµ

f0 : V → V ∗

lµ ƹo hµm Fr–chet cÒa f. Khi Æ„ vÌi m‰i h ∈ V ta c„

f0 (u) (h) = hf0

(u), hi , ∀u ∈ V

6 Ch­¨ng 1. Ph­¨ng ph¸p bi’n ph©n vµ mÈt sË ¸p dÙng

Gi¶ sˆ v ∈ V . ß¹o hµm theo h­Ìng v cÒa f t¹i u ∈ V (hay lµ ƹo hµm Gateaux)

Æ­Óc x¸c Æfinh nh­ sau

d

dεf (u + εv)|ε=0 = hf0 (u), vi = f0 (u) (v).

ßi”m u ∈ V th·a m·n ph­¨ng tr×nh f0

(u)=0 Æ­Óc g‰i lµ Æi”m tÌi h¹n, ng­Óc l¹i

n’u f0

(u) 6= 0 th× u Æ­Óc g‰i lµ Æi”m Æ“u (hay Æi”m ch›nh quy) cÒa f. SË β ∈ R

Æ­Óc g‰i lµ gi¸ trfi tÌi h¹n cÒa f n’u tÂn t¹i mÈt Æi”m tÌi h¹n u ∈ V sao cho

f(u) = β, f0

(u)=0. Gi¶ sˆ M lµ mÈt tÀp con cÒa V . ßi”m u0 ∈ M lµ Æi”m c˘c

ti”u tuy÷t ÆËi cÒa f tr™n M n’u f(v) ≥ f(u0) vÌi m‰i v ∈ M. ßi”m u0 ∈ M lµ Æi”m

c˘c ti”u t­¨ng ÆËi cÒa f tr™n M n’u tÂn t¹i mÈt l©n cÀn W cÒa u0 trong V sao cho

f(v) ≥ f(u0) vÌi m‰i v ∈ M ∩ W. H¨n n˜a, trong tr­Íng hÓp f kh¶ vi, ta sœ n„i

Æ’n s˘ tÂn t¹i Æi”m y™n ng˘a (saddle point), t¯c lµ c¸c Æi”m tÌi h¹n u cÒa f sao

cho trong m‰i l©n cÀn W cÒa u trong V Æ“u ch¯a c¸c Æi”m v1, v2 ∈ V ∩ W sao cho

f (v1) < f (u) < f (v2).

Trong c¸c h÷ vÀt l˝, Æi”m y™n ng˘a xu t hi÷n nh­ lµ tr¹ng th¸i c©n bªng kh´ng

b“n v˜ng.

2. T›nh kh¶ vi cÒa phi’m hµm t›ch ph©n. ß” ƨn gi¶n, ta k˝ hi÷u H1,2 (Ω),

H1,2

0 (Ω) l«n l­Ót lµ H1 (Ω) vµ H1

0 (Ω). Cho Ω lµ mi“n trong Rn. Ta x–t phi’m hµm

d¹ng

f (u) = Z

Ω

F (x, u (x), ∇u (x)) dx , u ∈ H1 (Ω)

trong Æ„ F : Ω × R × Rn → R. R‚ rµng t›nh kh¶ vi cÒa f tr™n H1 (Ω) phÙ thuÈc

vµo d¸ng Æi÷u cÒa F. Ta c„ Æfinh l˝ sau Æ©y.

ßfinh l˝ 1.8. Gi¶ sˆ hµm F : Ω × R × Rn → R lµ hµm Æo Æ­Óc theo x, kh¶ vi li™n tÙc

theo u ∈ R vµ p ∈ Rn. K˝ hi÷u

Fu = ∂F

∂u , Fp = ∂F

∂p .

Gi¶ thi’t F th·a m·n c¸c Æi“u ki÷n t®ng sau Æ©y

1. |F (x, u, p)| 6 c

￾

1 + |u|

s1 + |p|

2

vÌi s1 6 2n

n−2 n’u n > 3.

2. |Fu (x, u, p)| 6 c

￾

1 + |u|

s2 + |p|

t2

vÌi t2 < 2 n’u n 6 2 vµ s2 6 n+2

n−2 , t2 6 n+2

n

n’u n ≥ 3.

3. |Fp (x, u, p)| 6 c (1 + |u|

s3 + |p|) n’u s3 6 n

n−2 n’u n > 3.

Khi Æ„ phi’m hµm f(u), u ∈ H1(Ω) thuÈc lÌp C1

(H1). H¨n n˜a, f0

(u) x¸c Æfinh bÎi

c´ng th¯c

hf0

(u), vi =

Z

Ω

(Fu (x, u, ∇u) v + Fp (x, u, ∇u) ∇v) dx , ∀v ∈ H1 (

7 Ch­¨ng 1. Ph­¨ng ph¸p bi’n ph©n vµ mÈt sË ¸p dÙng

Chºng h¹n c¸c phi’m hµm sau Æ©y th·a m·n Æfinh l˝ tr™n.

a) f (u) = R

Ω

|u|

p dx vÌi p 6 2n

n−2 vµ n > 3.

b) D (u) = 1

2

R

Ω

|∇u|

2 dx (t›ch ph©n Dirichlet).

ßfinh l˝ tr™n d˘a tr™n mÈt k’t qu¶ cÒa Krasnoleski. ß” ƨn gi¶n ta ph¸t bi”u

k’t qu¶ Æ„ ÆËi vÌi hµm

g : Ω × Rm → R.

ß” ƶm b¶o t›nh Æo Æ­Óc cÒa hµm g(x, u) vÌi u ∈ Lp ta gi¶ thi’t g(x, u) lµ hµm

Carath–odory, t¯c g lµ hµm Æo Æ­Óc theo x ∈ Ω vµ li™n tÙc theo u ∈ Rm.

ßfinh l˝ 1.9. Gi¶ thi’t g : Ω × Rm → R lµ hµm Carath–odory th·a m·n Æi“u ki÷n t®ng

|g (x, u)| 6 c (1 + |u|

s

) vÌi s > 1.

Khi Æ„ to¸n tˆ u 7→ g (x, u) lµ li™n tÙc tı Lsp (Ω) vµo Lp (Ω) vÌi m‰i 1 6 p < +∞.

ChÛ ˝ th™m rªng c¸c Æi“u ki÷n t®ng cÒa Æfinh l˝ tr­Ìc Æfli h·i c u trÛc kh¸ ÆÆc

bi÷t. MÈt c¸ch tÊng qu¸t h¨n ta c„ th” gi¶ thi’t hµm F th·a m·n c¸c Æi“u ki÷n

t®ng sau Æ©y.

F1) |p|

2 6 F (x, u, p) 6 c (|u|)

￾

1 + |p|

2

.

F2) Fu (x, u, p) 6 c (|u|)

￾

1 + |p|

2

.

F3) Fp (x, u, p) 6 c (|u|) (1 + |p|).

vÌi x ∈ Ω, u ∈ R, p ∈ Rn.

VÌi nh˜ng gi¶ thi’t nh­ vÀy, n„i chung phi’m hµm f(u) kh´ng th” kh¶ vi

Fr–chet trong H1,2 (Ω). Tuy nhi™n, c˘c ti”u (trong H1,2

0 (Ω) chºng h¹n) c„ th” tÂn

t¹i. Li÷u n„ c„ th” m´ t¶ Æi“u ki÷n c«n cÒa c˘c trfi d­Ìi d¹ng ph­¨ng tr×nh Euler￾Lagrange Æ­Óc hay kh´ng? ß” tr¶ lÍi cho c©u h·i nµy, ta c„ Æfinh l˝ sau Æ©y.

ßfinh l˝ 1.10. Gi¶ sˆ phi’m hµm f x¸c Æfinh nh­ tr™n trong Æ„ F lµ hµm Carath–odory

thuÈc lÌp C1 theo u vµ p th·a m·n c¸c Æi“u ki÷n t®ng t˘ nhi™n F1)-F3). Khi Æ„, n’u

u, ϕ ∈ H1,2 (Ω) ∩ L∞ (Ω), ƹo hµm theo h­Ìng ϕ cÒa f t¹i u tÂn t¹i vµ Æ­Óc x¸c Æfinh

bÎi c´ng th¯c

d

dεf (u + εϕ)|ε=0 =

Z

Ω

(Fu (x, u, ∇u) ϕ + Fp (x, u, ∇u) ∇ϕ) dx.

H¨n n˜a, t¹i Æi”m c˘c ti”u u ∈ H1,2 (Ω)∩L∞ (Ω) cÒa f trong Æps F th·a m·n c¸c Æi“u

ki÷n F1)-F3) ph­¨ng tr×nh Euler-Lagrange th·a m·n theo ngh‹a y’u nh­ sau

Z

Ω

(Fu (x, u, ∇u) ϕ + Fp (x, u, ∇u) ∇ϕ) dx = 0

vÌi m‰i ϕ ∈ H1,2 (Ω) ∩ L∞ (Ω