Phương trình vi phân cấp một và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

  

ĐỀ TÀI: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT VÀ

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Giảng viên hướng dẫn : TS. Lê Hải Trung

Sinh viên thực hiện : Tăng Thị Diễm Thuý

Lớp : 18ST

MSSV : 3110118038

ĐÀ NẴNG, ngày 29 tháng 12 năm 2021

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Trang 2

LỜI CẢM ƠN

Được sự đồng ý và phân công của Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Đà

Nẵng, trong khoảng thời gian qua em đã thực hiện khoá luận tốt nghiệp với đề tài

“Phương trình vi phân cấp một và những vấn đề liên quan”.

Để hoàn thành khoá luận, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong

Khoa Toán trong quá trình giảng dạy đã trang bị cho em nhiều kiến thức quý báu.

Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Lê Hải Trung, thầy đã chỉ dẫn

cho em tận tình, chu đáo để em có thể hoàn thành khoá luận tốt nghiệp.

Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong đề tài không

khỏi tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của

các thầy cô và các bạn trong Khoa.

Sinh viên

Tăng Thị Diễm Thuý

Trang 3

MỤC LỤC

Trang

LỜI CẢM ƠN ………………………………………………………………...…… 2

MỞ ĐẦU ……………………………………………………………………...…… 5

1. Lí do chọn đề tài ………………………………………………………………… 5

2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài ………………………………………………...... 5

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ….…………………………………….……… 5

3.1. Đối tượng nghiên cứu ……………………………………………………….… 5

3.2. Phạm vi nghiên cứu …………….……………………………………………… 6

4. Phương pháp nghiên cứu ………………………………………………………… 6

5. Đóng góp của đề tài ……………………………………………………………… 6

6. Cấu trúc của luận văn ……………………………………………………………. 6

Chương 1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT …………………………... 8

1.1. Sơ lược về phương trình vi phân …….………………………………………… 8

1.2. Những khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp một ………………..… 11

1.2.1. Những khái niệm cơ bản ……………………………………………………. 11

1.2.2. Trường hướng ……………………………………………………………… 12

1.2.3. Bài toán Cauchy ……………………………………………………………. 13

1.3. Phân loại nghiệm của phương trình vi phân cấp một ………………………… 14

1.4. Phương trình với biến số phân ly ……………………………………………... 15

1.5. Phương trình vi phân thuần nhất ……………………………………………… 17

1.6. Phương trình đưa về dạng thuần nhất ………………………………………… 19

1.7. Phương trình vi phân toàn phần ……………………………………………… 21

1.8. Thừa số tích phân …………………………………………………………….. 24

1.9. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một …………………………………….. 26

1.10. Phương trình Bernoulli ……………………………………………………… 28

1.11. Phương trình Darboux ………………….…………………………………… 30

1.12. Phương trình Riccati ………………………………………………………… 31

Trang 4

1.13. Phương trình dạng

y f y  ( ') ………………………………………………. 32

1.14. Phương trình dạng

x f y  ( ') ……………………………………………...…

34

1.15. Phương trình dạng

y f x y  ( , ') …………………………………………...… 36

1.16. Phương trình dạng

x f y y  ( , ') ……………………………………….…..… 37

1.17. Phương trình Lagrange …………………………………………………...…. 38

1.18. Phương trình Clairut (1713 – 1765) ……………………………………...….. 40

Chương 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNHG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN

TÍNH CẤP MỘT ………………………………………………………………… 43

2.1. Định luật làm mát Newton …………………………………………………… 43

2.2. Sự chuyển đổi các hoá chất đơn giản ………………………………………… 45

2.3. Tăng trưởng logistic và giá cả hàng hoá ……………………………………… 46

2.4. Sự phân rã phóng xạ …………………………….……………………………. 49

2.5. Sự phát triển của dịch bệnh …………………………………………………… 49

KẾT LUẬN ………………………………………………………………………. 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………….…… 53

Trang 5

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Sự phát triển của toán học tuy có những bước thăng trầm ở từng thời điểm lịch

sử, song những kết quả mà nó đạt được rực rỡ nhất là vào thế kỷ XX, do sự phát triển

của ngành Giải tích toán học.

Với sự ra đời của ngành Giải tích toán học, đặc biệt là giải tích hàm thì những

bài toán trong thực tế cuộc sống được giải quyết nhanh gọn và chính xác.

Ngành Giải tích toán học nghiên cứu nhiều kĩnh vực như: các lớp hàm liên tục,

khả vi, khả tích, phương trình vi phân, … Mỗi lĩnh vực đều có tầm quan trọng riêng

trong việc nghiên cứu và ứng dụng. Trong đó phương trình vi phân cấp một cũng

đóng góp một vai trò đặc biệt và mang đến những ứng dụng tiêu biểu như: giải các

bài toán phân huỷ chất phóng xạ, nghiên cứu sự phát triển dân số, nghiên cứu sự lây

lan của dịch bệnh, ...

Vì vậy, để tìm hiểu thêm về phương trình vi phân cấp một, em đã chọn đề tài:

“Phương trình vi phân cấp một và một số vấn đề liên quan” để thực hiện khoá luận

tốt nghiệp của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

- Tìm hiểu về các dạng của phương trình vi phân cấp một.

- Ứng dụng phương trình vi phân để giải quyết một số vấn đề thực tế trong

lĩnh vực Vật Lý, Hoá học, Kinh tế, …

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1. Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu về phương trình vi phân cấp một và một số ứng dụng của phương

trình vi phân cấp một.