Phương trình và bất phương trình Laplace

„I HÅC THI NGUYN

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

TR†N V‹N TÎI

PH×ÌNG TRœNH V€ B‡T

PH×ÌNG TRœNH LAPLACE

Chuy¶n ng nh: TON ÙNG DÖNG

M¢ sè: 60. 46. 01. 12

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

H÷îng d¨n khoa håc

PGS. TS H€ TIN NGO„N

Th¡i Nguy¶n - 2014

Möc löc

Mð ¦u 1

1 Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh v  b§t ph÷ìng tr¼nh Laplace 3

1.1 C¡c ành ngh¾a. Cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n . . . . 3

1.1.1 H m i·u háa, h m d÷îi i·u háa v  h m tr¶n

i·u háa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n . . . . . . . . . 4

1.2 ¯ng thùc v  b§t ¯ng thùc èi vîi gi¡ trà trung b¼nh . 5

1.2.1 C¡c ¤i l÷ñng trung b¼nh . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 ành lþ v· gi¡ trà trung b¼nh . . . . . . . . . . . 6

1.3 Nguy¶n lþ cüc ¤i v  cüc tiºu . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Nguy¶n lþ cüc ¤i m¤nh v  nguy¶n lþ cüc tiºu

m¤nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 T½nh duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n Dirichlet

cho ph÷ìng tr¼nh Laplace v  ph÷ìng tr¼nh Poisson 8

2 C¡c t½nh ch§t cõa h m i·u háa 11

2.1 B§t ¯ng thùc Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Cæng thùc Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Cæng thùc Green thù nh§t v  cæng thùc Green

thù hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2 Nghi»m cì b£n cõa ph÷ìng tr¼nh Laplace . . . . 13

i

2.2.3 H m Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 H m Green cõa b i to¡n Dirichlet trong h¼nh c¦u. Cæng

thùc Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.1 H m Green cõa b i to¡n Dirichlet trong h¼nh c¦u 16

2.3.2 Cæng thùc Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 ành lþ hëi tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1 i·u ki»n c¦n v  õ º mët h m l  i·u háa . . 19

2.4.2 C¡c ành lþ hëi tö . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 ¡nh gi¡ b¶n trong mi·n èi vîi c¡c ¤o h m cõa h m

i·u háa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5.1 ¡nh gi¡ b¶n trong mi·n èi vîi ¤o h m c§p 1 21

2.5.2 ¡nh gi¡ b¶n trong mi·n èi vîi ¤o h m b§t ký 21

2.6 B i to¡n Dirichlet. Ph÷ìng ph¡p h m i·u háa d÷îi . . 22

2.6.1 Mð rëng kh¡i ni»m h m d÷îi i·u háa v  h m

tr¶n i·u háa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6.2 C¡c t½nh ch§t cõa h m d÷îi i·u háa v  h m

tr¶n i·u háa mð rëng . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6.3 Ph÷ìng ph¡p Perron (Ph÷ìng ph¡p h m i·u

háa d÷îi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6.4 H m ch­n t¤i mët iºm tr¶n bi¶n, kh¡i ni»m

iºm ch½nh quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6.5 T½nh gi£i ÷ñc cõa b i to¡n Dirichlet . . . . . . 28

2.6.6 i·u ki»n h¼nh c¦u ngo i . . . . . . . . . . . . . 30

2.7 Dung l֖ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

K¸t luªn 32

T i li»u tham kh£o 33

ii