Phương trình và bất phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác ngược.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHẠM HỮU QUYỀN

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM

TRONG LỚP HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số : 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu

Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Phản biện 2: GS.TS. Lê Văn Thuyết

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn

tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 27

tháng 6 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Phương trình hàm và bất phương trình hàm là một chuyên đề

quan trọng trong giải tích, đặc biệt là trong chương trình chuyên toán

Trung Học Phổ Thông (THPT). Các đề thi học sinh giỏi Quốc gia,

Olympic Quốc tế cũng thường xuất hiện bài toán sử dụng các tính

chất của hàm lượng giác và lượng giác ngược, đó là những bài toán

khó và khá mới mẻ với học sinh THPT. Những cuốn sách tham khảo

cho học sinh về lĩnh vực này là không nhiều. Đặc biệt là trong các tài

liệu sách giáo khoa dành cho THPT thì hàm lượng giác ngược chưa

được trình bày một cách hệ thống và đầy đủ.

Xuất phát từ thực tế đó, với sự hướng dẫn của GS. TSKH

Nguyễn Văn Mậu, tôi chọn đề tài “ Phương trình và bất phương

trình hàm trong lớp hàm lượng giác ngược” làm đề tài luận văn

thạc sĩ của mình. Ngoài những kiến thức lý thuyết cơ bản, luận văn

còn có thêm một số bài tập về phương trình và bất phương trình,

đồng thời đưa vào các bài toán sử dụng tính chất hàm lượng giác

ngược.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài: “Phương trình và bất phương trình hàm trong lớp

hàm lượng giác ngược” nhằm cung cấp thêm cho các em học sinh

THPT, đặc biệt là các em học sinh khá, giỏi một tài liệu tham khảo

về phương trình và bất phương trình hàm.

2

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Phương trình hàm lượng giác

ngược và bất phương trình hàm lượng giác ngược.

3.2 Phạm vi nghiên cứu: Các tính chất của hàm lượng giác ngược

và các bài toán liên quan trong lĩnh vực phương trình và bất phương trình

hàm

4. Phương pháp nghiên cứu

Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu ( sách, báo và

các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài luận văn ) để thu thập

thông tin nhằm hệ thống lại các vấn đề một cách lôgic, tìm hiểu các bài

toán, các ví dụ minh họa.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn phương trình

và bất phương trình hàm.

Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy.

6. Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở đầu và kết luận,

luận văn được chia thành ba chương :

Chương 1: Hàm lượng giác ngược và các hệ thức liên quan

Chương này trình bày một số tính chất của hàm số, các tính

chất của hàm lượng giác ngược, các đẳng thức hàm sinh bởi hàm

lượng giác ngược

3

Chương 2: Một số dạng phương trình hàm trong lớp lượng

giác ngược

Chương này trình bày các phương trình hàm sinh bởi hàm

arcsin, arccos, arctan và arccot

Chương 3: Bất phương trình hàm trong hàm lượng giác

ngược

Chương này trình bày các bất phương trình hàm cơ bản, các

bất phương trình hàm cơ bản trong lớp hàm lượng giác ngược và một

số dạng toán liên quan đến bất phương trình hàm.

4

CHƯƠNG 1

HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC VÀ CÁC

HỆ THỨC LIÊN QUAN

1.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Xét hàm số f x( ) với tập xác định Df à ° và tập giá trị

R f ( ) Ã °

Định nghĩa 1.1. Nếu với mỗi phần tử y thuộc miền giá trị T,

tồn tại duy nhất 1 giá trị xŒX sao cho y = f x( ) thì f được gọi là

đơn ánh

Định nghĩa 1.2. Hàm f x( ) được gọi là hàm chẵn trên M,

M Ã D f

(gọi tắt là hàm chẵn trên M) nếu "xŒM fi - Œx M và

f (- x) = f x( )," Œx M

Định nghĩa 1.3. Hàm f x( ) được gọi là hàm số lẻ trên M,

M Ã D f

(gọi tắt là hàm lẻ trên M) nếu "xŒM fi - Œx M và

f (- x) = - f x( )," Œx M

Định nghĩa 1.4. Cho hàm số f x( ) và tập M( M Ã D f

).

Hàm f x( ) được gọi là hàm tuần hoàn trên tập M nếu tồn tại số

dương a sao cho

5

( ) ( ),

x M x M

f x f x x M

a

a

Ï" Œ fi ± Œ Ì

Ó + = " Œ

(1.1)

Số a dương nhỏ nhất thỏa mãn (1.1) được gọi là chu kỳ cơ sở

của hàm tuần hoàn f(x).

Định nghĩa 1.5. Cho hàm số f x( ) và tập M( M Ã D f

). Hàm

f x( ) được gọi là hàm phản tuần hoàn trên tập M nếu tồn tại số

dương a sao cho:

( ) ( ),

x M x M

f x f x x M

a

a

Ï" Œ fi ± Œ Ì

Ó + = - " Œ

(1.2)

Số a nhỏ nhất thỏa mãn (1.2) được gọi là chu kỳ cơ sở của

hàm phản tuần hoàn f x( ) .

Định nghĩa 1.6. Hàm f x( ) được gọi là hàm tuần hoàn nhân

tính chu kỳ a trên M nếu M Ã D f

và

a Œ - ° \{0; 1;1}

1

( ) ( ),

x M x M

f x f x x M

a

a

±

Ï" Œ fi Œ Ì

Ó = " Œ

(1.3)

Số a dương nhỏ nhất thỏa mãn (1.3) được gọi là chu kỳ cơ sở

của hàm tuần hoàn nhân tính f x( ) .

Định nghĩa 1.7. Hàm f x( ) được gọi là hàm phản tuần hoàn

nhân tính chu kỳ a trên M nếu M Ã D f

và

6

1

( ) ( ),

x M x M

f x f x x M

a

a

±

Ï" Œ fi Œ Ì

Ó = - " Œ

(1.4)

Số a nhỏ nhất thỏa mãn (1.4) được gọi là chu kỳ cơ sở của

hàm phản tuần hoàn nhân tính f x( )

Định nghĩa 1.8. Hàm số g gọi là hàm số ngược của hàm số f

và ký hiệu là 1

f

-

nếu:

f (g(x x )) = với mọi x thuộc miền xác định của g

g( f (x x )) = với mọi x thuộc miền xác định của f

Mọi hàm số đơn ánh đều có hàm ngược. Mọi hàm số đơn điệu

nghiêm ngặt đều có hàm ngược

Định nghĩa 1.9. Tập A Ã ° được gọi là trù mật trong ° , ký

hiệu A = ° nếu "x, y Œ < °, ( ) x y luôn tồn tại a Œ A,sao cho

x y < < a

Định nghĩa 1.10. Tập A Ã ° được gọi là trù mật trong ° , ký

hiệu A = ° nếu " Œx ° tồn tại dãy số ( )

n

a Æ x khi n Æ •

1.2.CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

Định lý 1.1. Giả sử hàm y = f(x) xác định, đồng biến (đơn điệu

tăng thực sự) hoặc nghịch biến (đơn điệu giảm thực sự) và liên tục

trong một khoảng X nào đó. Khi đó trong khoảng tập các giá trị Y

tương ứng của hàm đó, tồn tại hàm ngược (đơn trị) x = g(y) và cũng

là hàm đồng biến hoặc nghịch biến và liên tục trong khoảng đó.