Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Phương pháp phương trình tích phân biên giải các bài toán biên của phương trình điều hòa và song điều hòa
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN ĐỨC ANH
PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG
TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN GIẢI
CÁC BÀI TOÁN BIÊN CỦA
PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HÒA VÀ
SONG ĐIỀU HÒA
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2013
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN ĐỨC ANH
PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG
TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN GIẢI
CÁC BÀI TOÁN BIÊN CỦA
PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HÒA VÀ
SONG ĐIỀU HÒA
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Giáo viên hướng dẫn:
TS NGUYỄN VĂN NGỌC
Thái Nguyên - 2013
Mục lục
Mở đầu 3
1 KIẾN THỨC BỔ TRỢ 5
1.1 Các không gian hàm khả vi và khả tổng . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Hàm liên tục và hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Các không gian hàm khả tổng . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Không gian Sobolev cấp nguyên dương . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev . . . . . . . . 7
1.2.2 Không gian Sobolev Hk
(Q) . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Khái niệm về vết của hàm số trên một mặt . . . . . 7
1.2.4 Không gian Hk
o
(Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Không gian Sobolev cấp thực (Sobolev - Slobodeskii) . . . . 8
1.3.1 Không gian Hs
(R
n
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Không gian Hs
o
(Ω) và không gian Hs
(Ω) . . . . . . . 11
1.4 Các không gian Sobolev đối ngẫu và định lý nhúng . . . . . 12
1.4.1 Các không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN
ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HÒA TRONG MẶT
PHẲNG 14
2.1 Phương trình điều hòa và các công thức Green . . . . . . . 14
2.1.1 Phương trình điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 Các công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4 Một số tính chất của hàm điều hòa . . . . . . . . . . 16
1
2.2 Hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Hàm cơ bản và hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Biểu diễn tích phân của hàm điều hòa . . . . . . . . 19
2.3 Phát biểu bài toán biên của phương trình điều hòa trong
miền bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Công thức biểu diễn hàm điều hòa trên mặt phẳng và các
điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Phương pháp phương trình tích phân biên . . . . . . . . . . 23
2.5.1 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.2 Bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.3 Bài toán hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Bài toán biên của phương trình điều hòa trong miền ngoài . 24
2.6.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.2 Phương trình tích phân biên . . . . . . . . . . . . . 25
3 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN
ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA 26
3.1 Phát biểu bài toán hỗn hợp đối với phương trình song điều
hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.1 Phương trình song điều hòa . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.2 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Hệ phương trình tích phân biên . . . . . . . . . . . . . . . 30
Kết luận 42
Tài liệu tham khảo 43
2