Phương pháp phương trình đạo hàm riêng trong mô hình hóa hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

LÊ VIỆT ĐỨC

PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

TRONG MÔ HÌNH HÓA HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠ

Chuyên ngành: Khoa học máy tính

Mã số: 60.48.01

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS ĐẶNG QUANG Á

Thái Nguyên 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn “ Phƣơng pháp phƣơng trình đạo hàm riêng

trong mô hình hóa hình học” là công trình nghiên cứu củ

.TS Đặng Quang Á. Kết quả đạt đƣợc trong luận văn là sản phẩm của

riêng cá nhân tôi, không sao chép lại của ngƣời khác. Luận văn là kết quả của quá

trình học tập, nghiên cứu và làm việc nghiêm túc trong suốt hơn hai năm học cao

học. Trong toàn bộ nội dung của luận văn, những điều đƣợc trình bày hoặc là kết

quả nghiên cứu của cá nhân hoặc là kết quả tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu khác.

Các thông tin tổng hợp hay các kết quả lấy từ nhiều nguồn tài liệu khác thì đƣợc

trích dẫn một cách đầy đủ và hợp lý. Tất cả các tài liệu tham khảo đều có xuất xứ rõ

ràng và đƣợc trích dẫn hợp pháp.

Các số liệu và thông tin sử dụng trong luận văn này là trung thực.

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2011

Ngƣời cam đoan

Lê Việt Đức

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2

ii

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i

MỤC LỤC.................................................................................................................. ii

DANH MỤC HÌNH VẼ..............................................................................................v

MỞ ĐẦU.....................................................................................................................1

Chƣơng I......................................................................................................................4

CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC...............................................................4

1.1 Hình học đƣờng cong.........................................................................................4

1.1.1 Biểu diễn đƣờng cong. ................................................................................4

1.1.2 Đặc tính của đƣờng cong.............................................................................5

1.2 Hình học mặt cong.............................................................................................8

1.2.1 Phƣơng pháp biểu diễn mặt cong:...............................................................8

1.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong......................................................9

1.2.3 Độ cong. ....................................................................................................11

1.3 Phép biến đổi toạ độ. .......................................................................................12

1.3.1 Phép biến đổi toạ độ 2D. ...........................................................................12

1.3.2 Phép biến đổi toạ độ 3D. ...........................................................................14

1.3.3 Phép ánh xạ...................................................................................................15

1.3.4 Khung toạ độ.................................................................................................16

Chƣơng II ..................................................................................................................19

GIỚI THIỆU PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH

HỌC ..........................................................................................................................19

2.1. Tổng quan .......................................................................................................19

2.1.1. Các kỹ thuật tạo bề mặt phổ biến trong thiết kế hình học........................19

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3

iii

2.1.2. Phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng ........................................................22

2.2. Các bề mặt hình học PDE...............................................................................23

2.3. Các bề mặt PDE dạng ẩn. ...............................................................................25

2.4. Các bề mặt PDE dạng tham số. ......................................................................26

2.4.1. Phƣơng pháp Bloor- Wilson PDE. ...........................................................27

2.4.2. Hiệu chỉnh phƣơng pháp Bloor-wilson PDE. ..........................................31

2.4.3. Các bề mặt PDE tham số thu đƣợc dựa trên các mô hình vật lý..............32

2.5. Ứng dụng của các bề mặt PDE.......................................................................33

2.5.1. Các thế hệ bề mặt. ....................................................................................34

2.5.2. Xử lý bề mặt. ............................................................................................34

2.5.3. Phân tích và tối ƣu hóa thiết kế. ...............................................................35

2.5.4. Các ứng dụng khác. ..................................................................................36

Chƣơng III.................................................................................................................38

CÁC PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT

KẾ VÀ MÔ HÌNH HÓA HÌNH HỌC......................................................................38

3.1 Tổng quan về GPDE (Geometric partial differential equation). .....................38

3.1.1 Định nghĩa. ................................................................................................38

3.1.2. Khái quát về GPDE..................................................................................38

3.1.3. Nền tảng toán học của GPDE...................................................................39

3.2. Cấu trúc của GPDE.........................................................................................43

3.2.1 Xây dựng GPDE........................................................................................43

3.2.2. Một số các đƣờng thƣờng đƣợc sử dụng để xây dựng GPDE: ................46

3.3. Các giải pháp số cho việc xây dựng GPDE....................................................46

3.3.1. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (FEM)......................................................47

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4

iv

3.3.2. Phƣơng pháp sai phân hữu hạn (FDM)....................................................48

3.3.3. Phƣơng pháp tập mức (LSM-Level set method)......................................49

...............................................................................................................51

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................52

PHỤ LỤC........................................................................................................ 54

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5

v

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 : Tham số hoá đƣờng tròn đơn vị.................................................................4

Hình 1.2 : Vectơ pháp tuyến chính và đƣờng tròn mật tiếp........................................7

Hình 1.3 : Hình học mặt cong .....................................................................................9

Hình 1.4 - Đƣờng cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến.................................9

Hình 1.5 - Phép biến đổi toạ độ 2D...........................................................................13

Hình 1.6 - Phép biến đổi toạ độ dƣới hình thức hệ toạ độ chuyển động...................17

Hình 2.1. Các đƣờng cong biên, Hình 2.2. Bề mặt PDE tƣơng ứng.........................28

Hình 2.3: Mặt PDE tƣơng ứng với một vỏ sò...........................................................29

Hình 2.4: Mặt PDE tƣơng ứng với một chai Klein..................................................29

Hình 2.5 Mặt PDE tƣơng ứng với mặt Werner Boy .................................................30

Hình 2.6 Các mặt PDE tƣơng ứng với bề mặt dạng ống xoắn vào nhau. .................30

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6