Phân tích phi tuyến dao động tham số tấm có chiều dày thay đổi mặt trên nền đàn hồi Winkler bằng phương pháp ma trận độ cứng động lực

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan rằng luận văn này “Phân tích phi tuyến dao động tham số

của tấm có chiều dày thay đổi đặt trên nền đàn hồi Winkler bằng phương

pháp ma trận độ cứng động lực” là bài nghiên cứu của chính tôi.

Ngoài trừ những tài liệu tham khảo được trích dẫn trong luận văn này, tôi

cam đoan rằng toàn phần hay những phần nhỏ của luận văn này chưa từng được

công bố hoặc được sử dụng để nhận bằng cấp ở những nơi khác.

Không có sản phẩm/nghiên cứu nào của người khác được sử dụng trong

luận văn này mà không được trích dẫn theo đúng quy định.

Luận văn này chưa bao giờ được nộp để nhận bất kỳ bằng cấp nào tại các

trường đại học hoặc cơ sở đào tạo khác.

Thành phố Hồ Chí Minh, 2018

Phạm Văn Lâm

ii

LỜI CẢM ƠN

Chân thành cảm ơn cô PGS.TS. Nguyễn Thị Hiền Lương, và Ths. NCS. Huỳnh

Quốc Hùng đã hướng dẫn khoa học và giúp đỡ tận tình cho tôi hoàn thành luận án.

Chân thành cảm ơn quý thầy cô giảng viên, đặt biệt là thầy PGS.TS. Nguyễn

Trọng Phước đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ cho tôi trong thời gian làm luận văn.

Chân thành cảm ơn nhiều đến Trường Đại học Mở TP. Hồ Chí Minh, Khoa đào

tạo Sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành nhiệm vụ

Phạm Văn Lâm

iii

TÓM TẮT

Việc phân tích hiện tượng mất ổn định động và dao động tham số của kết cấu chịu

tải trọng động do cộng hưởng thông số có ý nghĩa quan trọng về lý thuyết và thực tiễn.

Trong luận văn này, ứng dụng phương pháp độ cứng động lực mở rộng để phân tích

mất ổn định động và đáp ứng dao động tham số phi tuyến của tấm chữ nhật có chiều

dày thay đổi đặt trên nền đàn hồi Pasternak chịu tải trọng động. Tác giả trình bày cách

thức thiết lập ma trận độ cứng động lực cho tấm chữ nhật có chiều dày thay đổi chịu

tải trọng động dựa theo lý thuyết tấm Von Kármán. Hệ phương trình vi phân bậc hai

với hệ số thay đổi tuần hoàn thuộc loại phương trình phi tuyến Mathieu-Hill mở rộng

được thiết lập để xác định hệ số lực tới hạn, hệ số tần số dao động, và các vùng mất ổn

định động và đáp ứng dao động thông số phi tuyến theo phương pháp Bolotin. Ảnh

hưởng các tham số của hệ thống đến vùng mất ổn định động và đặc tính đáp ứng dao

động phi tuyến của tấm được nghiên cứu và thảo luận.

Từ khóa: Dao động tham số, nền Pasternak, mất ổn định động phi tuyến, phương pháp

độ cứng động lực, tấm có chiều dày thay đổi.

ABSTRACT

The analysis of the phenomenon dynamic instability and parametric vibration of

structures subjected to dynamic loadings due to the resonance parameter is of both

theoretical and practical importance. In the present paper, the extended dynamic

stiffness method is presented for the dynamic instability and nonlinear responses

parametric vibrations analysis for rectangular plates of variable thickness on Pasternak

foundation subjected to dynamic load. The authors represent the way to establish the

dynamic stiffness matrices of rectangular plates of variable thickness subjected to

dynamic load based on von Karman’s plate theory. A set of second-order ordinary

differential nonlinear equations of extended Mathieu–Hill type with periodic

coefficients is formed to determine the dimensionless buckling load parameters, The

dimensionless free frequency parameter, and the regions of dynamic instability and

nonlinear responses parametric vibration based on Bolotin’s method. The effects of

various system parameters on the regions of dynamic instability and the nonlinear

response vibration characteristics of plates are investigated and discussed.

iv

Keywords: Parametric vibrations, Pasternak foundation, nonlinear dynamic

instability, dynamic stiffness method, plate of variable thickness.

v

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN........................................................................................................................i

LỜI CẢM ƠN.............................................................................................................................ii

TÓM TẮT .................................................................................................................................iii

MỤC LỤC..................................................................................................................................v

DANH MỤC HÌNH VẼ ...........................................................................................................vii

DANH MỤC BẢNG BIỂU.......................................................................................................ix

DANH MỤC KÝ HIỆU QUY ƯỚC..........................................................................................x

Chương 1: TỔNG QUAN VỀ ỔN ĐỊNH ĐỘNG CỦA KẾT CẤU TẤM VÀ PHƯƠNG

PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC..............................................................................1

1.1. Giới thiệu về ổn định động của kết cấu tấm........................................................................1

1.2. Tổng quan về ổn định động của kết cấu tấm.......................................................................6

1.2.1. Tấm đẳng hướng ..........................................................................................................6

1.2.2. Tấm composite ...........................................................................................................12

1.3. Giới thiệu phương pháp ma trận động cứng động lực.......................................................16

1.4. Sử dụng phương pháp ma trận độ cứng động lực khảo sát kết cấu tấm............................17

1.5. Kết luận .............................................................................................................................18

1.6. Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn...................................................................................19

1.6.1. Mục tiêu nghiên cứu...................................................................................................19

1.6.2. Ý nghĩa nghiên cứu ....................................................................................................19

1.6.3. Nhiệm vụ của nghiên cứu...........................................................................................20

1.6.4. Phạm vi nghiên cứu....................................................................................................20

1.7. Kết cấu luận văn ................................................................................................................21

Chương 2: PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG THAM SỐ CỦA TẤM CÓ CHIỀU DÀY THAY ĐỔI

ĐẶT TRÊN NỀN ĐÀN HỒI ...................................................................................................23

2.1. Lý thuyết về tấm chịu uốn .................................................................................................23

2.1.1. Các mô hình lý thuyết tấm .........................................................................................23

2.1.2. Lý thuyết tấm mỏng cổ điển Kirchhoff......................................................................24

2.1.2.1. Chuyển vị và biến dạng trong tấm......................................................................24

2.1.2.2. Ứng suất và nội lực trong tấm ............................................................................25

2.1.2.3. Tấm vừa chịu lực ngang vừa chịu lực tác dụng trong mặt trung bình................26

2.1.2.4. Xét đến lực quán tính..........................................................................................29

2.1.2.5. Lý thuyết tấm von Kárman (tấm có độ võng lớn) ..............................................30

2.1.2.5. Trường hợp tấm có chiều dày thay đổi đặt trên nền đàn hồi Pasternak..............31

2.1.2.7. Các điều kiện biên trên chu vi tấm .....................................................................31

2.2. Phân tích dao động tham số của tấm có chiều dày thay đổi đặt trên nền đàn hồi bằng

phương pháp ma trận độ cứng động lực ...................................................................................32

2.2.1. Mô hình phân tích và phương trình chuyển động ......................................................32

2.2.2. Phân tích dao động tham số và đáp ứng phi tuyến.....................................................33

vi

2.2.2.1. Phương pháp xác định nghiệm ...........................................................................33

2.2.2.2. Phương trình Mathieu-Hill mở rộng...................................................................34

2.2.2.3. Phân tích dao động tham số ................................................................................35

2.2.3. Xác định ma trận độ cứng động lực ...........................................................................35

Chương 3: KHẢO SÁT SỐ ỔN ĐỊNH TĨNH, DAO ĐỘNG VÀ DAO ĐỘNG THAM SỐ

CỦA TẤM................................................................................................................................42

3.1. Tóm tắt trình tự tính toán...................................................................................................42

3.2. Kết quả khảo sát số ổn định tĩnh và dao động tự do của tấm ............................................45

3.3. Kết quả khảo sát số dao động tham số của tấm.................................................................53

Chương 4: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ................................................................................62

4.1. Kết luận .............................................................................................................................62

4.2. Kiến nghị ...........................................................................................................................63

4.3. Hướng phát triển tiếp theo của nghiên cứu .......................................................................64

BÀI BÁO ĐÃ CÔNG BỐ ........................................................................................................65

TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................................66

PHỤ LỤC .................................................................................................................................75

vii

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1. Vùng bất ổn định động dạng cộng hưởng tham số đơn..............................................2

Hình 1.2. Vùng bất ổn định động dạng cộng hưởng tham số kết hợp........................................3

Hình 2.1. Mô hình tấm chữ nhật...............................................................................................23

Hình 2.2. Quan hệ giữa các góc xoay của mặt trung hoà và đạo hàm độ võng........................24

Hình 2.3. Phân bố theo bề dày h của các thành phần ứng suất.................................................25

Hình 2.4. Biểu diễn các thành phần nội lực của tấm khi chịu lực ngang. ................................26

Hình 2.5. Khảo sát cân bằng phân tố trong tấm. ......................................................................27

Hình 2.6. Trạng thái cân bằng phân tố trong tấm.....................................................................27

Hình 2.7. Độ võng của phân tố dxdy. .......................................................................................29

Hình 2.8. Mô hình tấm chịu tải trọng động. .............................................................................29

Hình 2.9. Điều kiện liên kết ở mép tấm....................................................................................31

Hình 2.10. Mô hình tấm và dạng tải trọng động điều hòa........................................................33

Hình 2.11. Mô hình, điều kiện biên chuyển vị và lực suy rộng của một dải phần tử tấm........39

Hình 2.12. Mô hình lắp ghép trực tiếp các ma trận độ cứng động lực của dải phần tử tấm.....40

Hình 3.1. Mô hình, chuyển vị suy rộng và lực suy rộng của từng dải phần tử tấm. ................42

Hình 3.2. Mô hình lắp ghép trực tiếp các ma trận độ cứng động lực của dải phần tử tấm.......43

Hình 3.3. Mô hình bốn điều kiện biên của tấm: SSSS; SCSC, CSCS, CCCC.........................45

Hình 3.4. Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông, liên kết

tựa đơn (SSSS) có chiều dày không đổi (s= 0).........................................................................45

Hình 3.5. Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông, liên kết

tựa đơn (SSSS) có chiều dày thay đổi (s= 0.2).........................................................................46

Hình 3.6. Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên

kết SCSC, chiều dày không đổi (s= 0). ....................................................................................46

Hình 3.7. Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên

kết SCSC, chiều dày thay đổi (s= 0.2)......................................................................................47

Hình 3.8. Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên

kết ngàm, chiều dày không đổi (s= 0). .....................................................................................47

Hình 3.9. Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên

kết ngàm, chiều dày thay đổi đổi (s= 0.2). ...............................................................................48

Hình 3.10. Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên

kết SSSS, chiều dày thay đổi đổi (s= -0.1), và 1=0, 2=0.......................................................49

Hình 3.11. Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên

kết SSSS, chiều dày thay đổi đổi (s= -0.1), và 1=50, 2=5.....................................................49

Hình 3.12. Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên

kết SSSS, chiều dày thay đổi đổi (s= -0.1), và 1=100, 2=10.................................................50

Hình 3.13. Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên

kết SSSS, chiều dày thay đổi đổi (s= -0.1), và 1=200, 2=10.................................................50

Hình 3.14. Mô hình bốn điều kiện biên của tấm: SSSS; SCSC, CSCS, CCCC.......................53

Hình 3.15. Tác động của việc thay đổi tải trọng tĩnh NXs lên các vùng mất ổn định động của

tấm vuông SSSS có s=0, 1=0, 2=0. .......................................................................................53

viii

Hình 3.16. Tác động của việc thay đổi hệ số nền đàn hồi (1, 2) lên vùng mất ổn định động

của tấm vuông liên kết tựa đơn, βs=0.3, (a) s=-0.1, và (b) s=0.1. ............................................55

Hình 3.17. Tác động của việc thay đổi hệ số nền đàn hồi (1, 2) lên vùng mất ổn định động

của tấm vuông liên kết SCSC, βs=0.3, (a) s=-0.1, và (b) s=0.1................................................55

Hình 3.18. Tác động của việc thay đổi hệ số nền đàn hồi (1, 2) lên vùng mất ổn định động

của tấm vuông liên kết CSCS, βs=0.3, (a) s=-0.1, và (b) s=0.1................................................56

Hình 3.19. Tác động của việc thay đổi hệ số nền đàn hồi (1, 2) lên vùng mất ổn định động

của tấm vuông liên kết ngàm, βs=0.3, (a) s=-0.1, và (b) s=0.1.................................................56

Hình 3.20. Tác động của việc thay đổi tải trọng động NXd lên đáp ứng dao động tham số của

tấm vuông liên kết CSCS, s=0.5, s=0.1, 1=100, 2=10; (a) d=0.2; (b) d=0.5....................57

Hình 3.21. Tác động của việc thay đổi tải trọng động NXd lên đáp ứng dao động tham số của

tấm vuông liên kết ngàm, s=0.5, s=0.1, 1=100, 2=10; (a) d=0.2; (b) d=0.5.....................58

Hình 3.22. Ảnh hưởng của việc thay đổi tải trọng tĩnh NXs lên đáp ứng dao động tham số của

tấm vuông liên kết tựa đơn, mode 1,2,3, d=0.5, s=0.1, 1=100, 2=10; (a) s=0.2; (b) s=0.5.

..................................................................................................................................................59

Hình 3.23. Ảnh hưởng của việc thay đổi tải trọng tĩnh NXs lên đáp ứng dao động tham số của

tấm vuông liên kết SCSC, mode 1,2,3, d=0.5, s=0.1, 1=100, 2=10; (a) s=0.2; (b) s=0.5.60

ix

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 3.1. So sánh các hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết tựa đơn có

chiều dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a) .........................................................................46

Bảng 3.2. So sánh hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết SCSC, có chiều

dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a)...................................................................................47

Bảng 3.3. So sánh hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết ngàm có chiều

dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a)...................................................................................48

Bảng 3.4. Giá trị hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết tựa đơn có chiều

dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a)...................................................................................50

Bảng 3.5. Giá trị hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết SCSC có chiều

dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a)...................................................................................51

Bảng 3.6. Giá trị hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết CSCS có chiều

dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a)...................................................................................51

Bảng 3.7. Giá trị hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết ngàm có chiều

dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a)...................................................................................52

Bảng 4.1. So sánh biên của vùng chính mất ổn định động tấm vuông liên kết tựa đơn với s=0,

1=0, 2=0, s=0 hoặc s=0.2. ..................................................................................................54

Bảng 4.2. So sánh biên của vùng chính mất ổn định động tấm vuông liên kết tựa đơn với s=0,

1=0, 2=0, s=0.35 hoặc s=0.6. .............................................................................................54

x

DANH MỤC KÝ HIỆU QUY ƯỚC

 - Tần số lực kích thích

T - Chu kỳ của tần số kích thích T = 2/

N(t) - Lực kích thích

Ns - Thành phần tĩnh của lực N(t)

Nd - Thành phần động của lực N(t)

i - Mode không gian

k - Mode thời gian

s - Hệ số tải trọng tĩnh

d - Hệ số tải trọng động

Ncr - Lực tới hạn ổn định tĩnh

Kij - Giá trị riêng của ma trận

Pij - Hệ số ma trận của tải trọng

qi - Tọa độ suy rộng (generalized coordinates)

cij - Hệ số cản

um - Hệ tọa độ trực chuẩn (nomal coordinates)

 - Tham số nhỏ (small parameter)

 - Hàm giải tích của gia tốc và chuyển vị

m - Hàm giải tích của vận tốc và chuyển vị

m - Hàm giải tích của chuyển vị

[M] - Ma trận khối lượng

[K] - Ma trận độ cứng đàn hồi của phần tử

[Kg] - Ma trận độ cứng hình học

A - Ma trận hàm dạng

r a b  / - Tỉ số kích thước tấm

a - Chiều dày kích thước tấm theo phương x

b - Bề rộng kích thước tấm theo phương y

b1, b2 - Chiều rộng của phần tử 1, 2 của tấm theo phương y

qz - Tải trọng phân bố vuông góc mặt trung bình tấm

w(x,y,t) - Chuyển vị ngang mặt trung bình tấm theo trục z (hàm độ võng)

u, v - Các thành phần chuyển vị tương ứng theo phương x, y.

x, y - Góc xoay của mặt phẳng trung gian của tấm

Mx, My, Mxy - Nội lực mô men uốn theo phương x, y và mô men xoắn xy

Qx, Qy - Nội lực cắt theo phương x,y

Nx , Ny, Nxy - Thành phần lực dọc theo phương x, y (lực màng)

E - Môđun đàn hồi của vật liệu

xi

v - Hệ số Poisson’s của vật liệu

 - Khối lượng riêng của tấm

Xm, Yn - Hàm riêng của dầm

Zp, Sq - Hàm riêng của dầm

{P} - Vector nội lực suy rộng

{} - Vector chuyển vị suy rộng

{C} - Vector hằng số

m - Tần số dao động tự nhiên mode m

[K(,N)] - Ma trận độ cứng động lực

h0 - Chiều dày tấm tại tọa độ x=0

h(x,y) - Chiều dày của tấm thay đổi theo phương x,y

0 h x h s x ( ) [1 ( )]    - Chiều dày của tấm thay đổi theo phương trục x

3 H x h s h s x ( ) ( ) ; ( ) 1+s ( )    - Hàm số theo biến x

s - Hệ số thay đổi chiều dày tấm

m,n - Số nửa bước sóng hình sine (the number of half-sine waves) dọc theo trục x, y

3

0

0 2

12(1 )

Eh D







- Độ cứng chống uốn của tấm tại tọa độ x=0

3

2

( , )

12(1 )

Eh x y D







- Độ cứng chống uốn của tấm

J1, J2, J3 - Các hàm được xác định theo phương trình (2.49)

i=(-1)^0.5

- Số phức

Yni, 

ni - Chuyển vị suy rộng dải nút

Qyi , Myi - Lực (mô men và lực cắt) suy rộng dải nút dọc theo trục y

1 1 1 1 2 2 2 2 cosh( ); sinh( ); cos( ); sin( ) h h c rb s rb c r b s r b    

g1, g2, g3, g4 - Được xác định theo phương trình (2.69)

t1, t2, t3, t4 - Được xác định theo phương trình (2.68)

m - Tần số dao động tự do mode thứ m của tấm



m

- Tham số tần số dao động không thứ nguyên của tấm

w(x,y,t) - Độ võng của tấm

W(X,Y,) - Độ võng của tấm không thứ nguyên

 - Hàm ứng suất

F - Hàm ứng suất không thứ nguyên

t - Thời gian

 - Thời gian không thứ nguyên

K1 - Độ cứng nền Winkler

K2 - Độ cứng chống cắt nền Pasternak

xii

1 - Hệ số độ cứng nền Winkler

2 - Hệ số độ cứng chống cắt nền Pasternak

 - Tần số lực kích thích không thứ nguyên

m=m(1-s)

0.5

- Tần số dao động riêng của tấm chịu tải tĩnh NXs

m - tần số dao động tự do của tấm.

 (=a

2

(h0/D0)

1/2) - Tần số kích thích của tải trọng.

xiii

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

DSM : Dynamic Stiffness Method

FEM: Finite Element Methoad

FDM: Finite Different Methoad

RHSDT: Refined higher order shear deformation theory:

IHB: Incremental harmonic balance method

1

Chương 1: TỔNG QUAN VỀ ỔN ĐỊNH ĐỘNG CỦA KẾT CẤU

TẤM VÀ PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC

1.1. Giới thiệu về ổn định động của kết cấu tấm

Kết cấu tấm được sử dụng rất phổ biến trong thực tiễn các ngành công nghiệp, dân

dụng, xây dựng, cơ khí, xe, hàng không vũ trụ,...Một trong những kết cấu được sử

dụng phổ biến trên thế giới là kết cấu tấm chữ nhật. Về kỹ thuật, chỉ đơn thuần là đảm

bảo tấm chữ nhật chịu được tải trọng không đổi được chứng minh là không đủ. Do đó,

trong kỹ thuật có thể xét đến quan hệ với biên độ chuyển vị, biến dạng và ứng suất lớn

được gây ra bởi lực động điều hòa hoặc lực ngẫu nhiên. Kết cấu tấm chịu tải trọng

điều hòa trong mặt phẳng dọc theo biên (periodic in-plane loads) và trở thành bất ổn

định động và dao động tham số (dynamic instability and parametric oscillation) với sự

kết hợp biên độ lực, tần số nhiễu loạn và tần số dao động ngang của kết cấu. Nghiên

cứu ứng xử ổn định tĩnh, ổn định động và dao động tham số của kết cấu tấm chịu các

dạng tải trọng khác nhau là rất cần thiết trong thiết kế kết cấu.

Ổn định của kết cấu chịu tải trọng tác dụng động, trong đó cần xét đến ảnh hưởng

của gia tốc chuyển động thông qua các lực quán tính khi thiết lập các phương trình ổn

định, được gọi là ổn định động của kết cấu. Vấn đề ổn định động bao gồm việc xét đến

ứng xử ổn định tĩnh và ứng xử dao động tham số.

Dao động phát sinh trong bài toán ổn định động thuộc thể loại dao động có tham

số, mang tính chất riêng biệt. Khác với dao động tự do, dao động này xảy ra trong thời

kỳ có tác động của nguyên nhân bên ngoài thay đổi theo thời gian. Cũng khác với dao

động cưỡng bức đã quen biết vì sự tác động của nguyên nhân bên ngoài không phải là

nguồn tác động trực tiếp.

Dao động tham số là dao động được duy trì bởi các nguyên nhân bên ngoài, gián

tiếp gây ra sự thay đổi các thông số của hệ theo thời gian, được mô tả bằng phương

trình vi phân có hệ số thay đổi (thường là thay đổi tuần hoàn) và nằm ở vế trái của

phương trình. Tùy theo các đặc trưng của dao động tham số, hệ có thể ổn định động

hoặc bất ổn định động.

Giới thiệu cơ bản về bất ổn định động của hệ kết cấu được tác giả tham khảo từ H.

Nguyen (1987): Khi tấm chữ nhật chịu tác dụng tải trọng nén trong mặt trung bình

thay đổi điều hòa theo thời gian với tần số của lực kích thích : N(t)= Ns + Ndcos(t),