Phân loại các nhóm p-nhóm cấp p5 bằng cách ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của otto schreier.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

PHÂN LOẠI CÁC NHÓM P- NHÓM CẤP 5 P BẰNG CÁCH ỨNG

DỤNG LÝ THUYẾT MỞ RỘNG NHÓM CỦA OTTO SCHREIER

Sinh viên thực hiện: Trương Thị Hiệp

Lớp: 09 ST

Giáo viên hướng dẫn: ThS. Nguyễn Viết Đức

Đà Nẵng, tháng 5/2013

1

PHỤ LỤC

PHỤ LỤC................................................................................................................1

LỜI MỞ ĐẦU........................................................................................................ 2

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN .............................................................................4

§1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA ...............................................................................4

§2. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ MỞ RỘNG NHÓM CỦA OTTO SCHREIER ..........9

2.1 Mở rộng nhóm theo một nhóm bất kỳ……………………………………9

2.2 Mở rộng nhóm theo tích trực tiếp ............................................................12

2.3 Mở rộng nhóm với các nhóm abel ...........................................................19

CHƯƠNG 2: VIỆC MỞ RỘNG NHÓM VÀ PHÂN LOẠI NHÓM CÁC P-NHÓM

CẤP 5 P ...........................................................................................................27

§1. CỘT VÀ MA TRẬN CỘT MODULO ........................................................27

§2. ĐẲNG CẤU NHÓM CỦA MỘT NHÓM ABEL ........................................30

2.1 Xác định thứ tự các đẳng cấu của p-nhóm abel........................................30

§3. CƠ SỞ ĐẶC BIỆT CỦA p-NHÓM.............................................................34

§4. PHÂN LOẠI CÁC NHÓM P-NHÓM CẤP P5

............................................43

KẾT LUẬN...........................................................................................................63

TÀI LIỆU THAM KHẢO .....................................................................................64

2

LỜI MỞ ĐẦU

Bài toán tìm và phân loại tất cả các nhóm có cấp cho trước là một bài toán khó

và đến nay vẫn còn là một bài toán mở. Để xây dựng một nhóm trừu tượng bậc hữu

hạn nhất định từ hai nhóm bất kỳ A và B, ta xây dựng thông qua một số phương trình

giữa các yếu tố bất biến của A , dạng phương trình phụ thuộc hoàn toàn vào nhóm B.

Như một ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của Otto Schreier, luận văn “ phân loại các

nhóm p-nhóm cấp 5

p bằng cách ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của Otto Schreier”

nhằm tìm hiểu về cách phân loại các nhóm không abel cấp 5

p

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành 2

chương , trong đó nội dung chính của luận văn được trình bày ở chương 2

Trong phần đầu của chương 1, chúng tôi trình bày lại một số định nghĩa, khái

niệm đặc trưng và cần thiết . Phần tiếp theo là một số định lý mở rộng nhóm của Otto

Schreier cần thiết làm cơ sở cho các phần sau

Trong chương 2, để đi đến cách phân loại các nhóm p-nhóm cấp 5

p , tôi đi vào

định nghĩa và một số tính chất của cột và ma trận cột modulo trong bài 1, tiếp theo sử

dụng tính chất của ma trận modulo đi đến phần mở rộng ở các nhóm abel. Ở bài 2, ta

áp dụng các kết quả đặc trưng về nhóm p-nhóm, xác định một số đặc tính của nhóm

đẳng cấu p-nhóm Abel. Sau đó xét tính lũy thừa của các giao hoán tử trong một nhóm

nguyên tố và cơ sở đặc biệt của p-nhóm ở bài 3, chuẩn bị cho sự phân loại các nhóm

không abel bậc 5

p ở bài 4.

Cuối cùng , cho phép tôi được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Thạc sĩ

Nguyễn Viết Đức, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Nhân đây, xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, các giảng viên Khoa Toán trường Đại học Sư

Phạm_Đại học Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học và giúp

đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn .

3

Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và được sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo

hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản thân và thời gian còn hạn chế nên luận văn khó

tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý tận tình của thầy cô và các

bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

Đà Nẵng, ngày 25 tháng 5 năm 2013

Trương Thị Hiệp

4

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN

§1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA

1.1Nhóm.

Cho G là tập không rỗng cùng với phép toán hai ngôi “.”. (G,.) được gọi là

nhóm nếu chúng thoả 3 tính chất sau:

(i) Với mọi x,y,z thuộc G thì (xy)z = x(yz).

(ii) Tồn tại e thuộc G sao cho ex = xe = x,xG.

(iii) Với mọi x G thì tồn tại y G sao cho xy = yx=e. Ta kí hiệu y là x –1

.

Để cho gọn ta có thể kí hiệu nhóm (G,.) là G. Nếu phép toán hai ngôi trong

nhóm G có tính giao hoán thì G được gọi là nhóm Abel

1.2 Nhóm con.

Cho G là nhóm, H là tập con khác rỗng của G. Nếu H cùng với phép toán cảm

sinh của phép toán trong G lập thành một nhóm thì H được gọi là nhóm con của nhóm

G. Ta kí hiệu H G.

1.3 Cấp của nhóm.

Cho G là nhóm. Khi đó cấp của nhóm G chính là lực lượng của G kí hiệu là G .

Nếu G hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn. Ngược lại G được gọi là nhóm vô

hạn.

1.4Nhóm con chuẩn tắc.

Cho G là nhóm và H là nhóm con của G. H được gọi là nhóm con chuẩn tắc

của G nếu xG, h H thì xhx -1

 H. Ta kí hiệu HG.

Định lý 1:

Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X, thì:

(i) Quy tắc cho tương ứng với cặp (xA,yA) lớp trái xyA là một ánh xạ từ

X A X A X A   .