Phân loại các nhóm p-nhóm cấp p4 bằng cách ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của otto schreier.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

---------

Đề tài:

PHÂN LOẠI CÁC p-NHÓM CẤP p4

BẰNG CÁCH ỨNG DỤNG

LÝ THUYẾT MỞ RỘNG NHÓM CỦA

OTTO SCHREIER

Giáo viên hướng dẫn : ThS. Nguyễn Viết Đức

Sinh viên thực hiện : Lê Thị Hòa

Chuyên ngành : Sư phạm Toán

Lớp : 09ST

Đà Nẵng, 05/2013

MỤC LỤC

Trang

LỜI MỞ ĐẦU............................................................................................................1

CHƯƠNG 1:CƠ SỞ LÝ LUẬN...............................................................................2

§1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM .........................................................................................2

1.1. Nhóm:...................................................................................................................2

1.2. Nhóm con :...........................................................................................................2

1.3. Nhóm con chuẩn tắc:............................................................................................2

1.3.1. Định nghĩa:........................................................................................................2

1.3.2. Định lý:..............................................................................................................3

1.4. Nhóm xyclic:........................................................................................................3

1.5.p-nhóm: .................................................................................................................3

1.6. Nhóm con giao hoán tử:.......................................................................................4

1.6.1. Định nghĩa:........................................................................................................4

1.6.2. Tính chất: ..........................................................................................................4

1.6.3. Định lý:..............................................................................................................4

1.7. Đồng cấu: .............................................................................................................4

1.7.1. Định nghĩa:........................................................................................................4

1.7.2. Tính chất:

f G H : 

là một đồng cấu nhóm thì..............................................5

1.8. Đồng dư:...............................................................................................................5

§2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT............................................................................................6

2.1. Mở rộng của một nhóm theo nhóm bất kì:...........................................................6

2.2. Mở rộng của một nhóm theo tích trực tiếp: .........................................................9

2.3. Mở rộng của một nhóm với nhóm Abel:............................................................16

CHƯƠNG 2: PHÂN LOẠI CÁC p-NHÓM BẬC

4

p ..........................................23

§1: Một số định nghĩa và định lý liên quan: .............................................................23

I. Một số định nghĩa: .................................................................................................23

1. Mod

M

ma trận cột..............................................................................................23

2. Mod

M

ma trận....................................................................................................23

3.Mod

M

ma trận chính quy....................................................................................23

4. Mod

M

ma trận đơn vị.........................................................................................24

5. Ma trận thực chính quy .........................................................................................24

II. Một số định lý:......................................................................................................24

1. Định lý 1 (Định lý Schreier): ................................................................................24

2. Định lý 2:...............................................................................................................25

3. Định lý 3:...............................................................................................................26

4. Định lý 4:...............................................................................................................26

5. Định lý 5:...............................................................................................................27

§2: PHÂN LOẠI .......................................................................................................30

1. Nhóm

A

từ loại

p , B A

từ loại

 

n n n

s

p , p ,..., p

: ............................................31

2. Nhóm

A

từ loại

p, p, B A

từ loại

 

n n 1 2 p , p 1 2 ( ) n n  . ..................................34

3. Phân loại các nhóm không Abel bậc

4

p

: .............................................................38

KẾT LUẬN..............................................................................................................40

TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................41

1

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH: Lê Thị Hòa

LỜI MỞ ĐẦU

Bài toán tìm và phân loại tất cả các nhóm có cấp cho trước là một bài toán

khó và đến nay vẫn còn là một bài toán mở. Để xây dựng một nhóm trừu tượng bậc

hữu hạn nhất định từ hai nhóm bất kỳ

A

và

B

, ta xây dựng thông qua một số

phương trình giữa các phần tử bất biến của

A

, dạng phương trình phụ thuộc hoàn

toàn vào nhóm

B

. Như một ứng dụng lý thuyết mở rộng nhóm của Otto Schreier,

bài khóa luận“ phân loại các nhóm p-nhóm cấp

4

p

bằng cách ứng dụng lý thuyết

mở rộng nhóm của Otto Schreier” nhằm tìm hiểu về cách phân loại các nhóm

không abel cấp

4

p .

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phần nội dung được chia

thành 2 chương , trong đó nội dung chính được trình bày ở chương 2.

Chương 1 trình bày lại một số định nghĩa, khái niệm đặc trưng và cần thiết

trong §1. Một số định lý mở rộng nhóm của Otto Schreier cần thiết làm cơ sở cho

các phần sau trong §2.

Chương 2 §1 định nghĩa và một số tính chất của cột và ma trận cột modulo,

tiếp theo là một số định lý liên quan, §2 là phần phân loại các p-nhóm cấp

4

p .

Cuối cùng, xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thạc sĩ Nguyễn Viết

Đức, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này. Xin cảm

ơn Ban Giám Hiệu, các giảng viên Khoa Toán trường Đại học Sư Phạm - Đại học

Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học và giúp đỡ tôi trong

quá trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận.

Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và được sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo

hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản thân và thời gian còn hạn chế nên khó tránh

khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý tận tình của thầy cô và

các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn.