Mô đun cohen - macaulay dãy

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

----------------

NGUYỄN THỊ NHUNG

MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY

Chuyên ngành : Đại số và Lý thguyết số

Mã số : 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS. TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG

THÁI NGUYÊN - 2010

www.VNMATH.com

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

----------------

NGUYỄN THỊ NHUNG

MÔĐUN COHEN - MACAULAY DÃY

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2010

www.VNMATH.com

Môc lôc

Lêi nãi ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ 5

1.1 Lý thuyÕt béi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 §èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 M«®un Cohen - Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 dd- D·y, läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt 10

2.1 C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña dd - d·y . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu vµ hÖ tham sè tèt . . . . . . . . 12

3 M«®un Cohen - Macaulay d·y 20

3.1 M«®un Cohen - Macaulay d·y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 §Æc tr­ng cña m«®un Cohen - Macaulay d·y . . . . . . . . . . 26

KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

www.VNMATH.com

2

Lêi nãi ®Çu

Nghiªn cøu cÊu tróc cña m«®un th«ng qua nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt cña

hµm ®é dµi x¸c ®Þnh bëi ®é dµi m«®un th­¬ng qua mét hÖ tham sè nµo ®ã lµ

ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu quan träng trong §¹i sè giao ho¸n. Tõ nh÷ng n¨m

50 cña thÕ kû tr­íc, Serre ®· chØ ra cã thÓ dïng phøc Koszul ®Ó tÝnh béi cña

mét m«®un ®èi víi mét hÖ tham sè, tõ ®ã ®­a ra mèi liªn hÖ gi÷a hµm ®é

dµi, sè béi víi ®é dµi cña c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu Koszul. C¸c mèi liªn hÖ

®ã ®­îc tiÕp tôc nghiªn cøu trong c¸c c«ng tr×nh cña Auslander-Buchsbaum

vµ c¸c t¸c gi¶ kh¸c, dÉn ®Õn nh÷ng kÕt qu¶ mµ ngµy nay trë thµnh c¬ b¶n

trong §¹i sè giao ho¸n. Ta lu«n xÐt (R, m) lµ vµnh giao ho¸n, ®Þa ph­¬ng,

Noether víi i®ªan cùc ®¹i m, M lµ mét R- m«®un h÷u h¹n sinh cã chiÒu

dim M = d. Ký hiÖu x = x1, x2, . . . , xd ∈ m lµ mét hÖ tham sè cña M. Khi

®ã ta lu«n cã l(M/xM) ≥ e(x, M), trong ®ã l(∗) lµ hµm ®é dµi, e(x, M) lµ

sè béi cña M ®èi víi hÖ tham sè x. Khi dÊu b»ng x¶y ra th× M ®­îc gäi lµ

m«®un Cohen-Macaulay. Cã thÓ nãi m«®un Cohen-Macaulay lµ mét trong

nh÷ng cÊu tróc ®­îc nghiªn cøu kü vµ cã nhiÒu øng dông nhÊt trong §¹i sè

giao ho¸n.

Mét më réng tù nhiªn cña m«®un Cohen - Macaulay lµ m«®un Cohen￾Macaulay d·y. TÝnh Cohen-Macaulay d·y lÇn ®Çu tiªn ®­îc giíi thiÖu bëi

Stanley cho c¸c m«®un ph©n bËc h÷u h¹n sinh. Sau ®ã N.T. C­êng, L.T. Nhµn

[6] vµ P. Schenzel [9] ®· nghiªn cøu líp m«®un nµy trªn vµnh ®Þa ph­¬ng. Ta

gäi M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y nÕu tån t¹i mét läc D : D0 ⊂ D1 ⊂

. . . ⊂ Dt = M c¸c m«®un con cña M sao cho l(D0) < ∞, mçi th­¬ng

Di/Di−1 lµ Cohen-Macaulay vµ

0 < dim(D1/D0) < dim(D2/D1) < . . . < dim(Dt/Dt−1) = d.

NÕu M lµ m«®un Cohen-Macaulay th× M còng lµ m«®un Cohen-Macaulay

d·y víi läc 0 = D0 ⊂ D1 = M. Mét läc D cña M ®­îc gäi lµ läc chiÒu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

www.VNMATH.com