Môđun Cohen - Macaulay chính tắc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MÔĐUN COHEN – MACAULAY CHÍNH TẮC

PHẠM ANH TUẤN

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

THÁI NGUYÊN 2014

Môc lôc

Lêi nãi ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 Vµnh vµ m«®un Cohen-Macaulay 4

1.1 ChiÒu Krull cña m«®un h÷u h¹n sinh . . . . . . . . . . . 4

1.2 §a thøc Hilbert - Samuel . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 D·y chÝnh quy vµ ®é s©u cña m«®un h÷u h¹n sinh . . . . 11

1.4 Vµnh vµ m«®un Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . 18

2 M«®un Cohen-Macaulay chÝnh t¾c 24

2.1 BiÓu diÔn thø cÊp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 D·y läc chÝnh quy chÆt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 M«®un Cohen-Macaulay chÝnh t¾c . . . . . . . . . . . . . 32

KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1

2

PHẦN MỞ ĐẦU

Trong suốt luận văn này, luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether với

iđêan tối đại duy nhất m. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull

dim M = d. Chú ý rằng độ sâu của M không vượt quá chiều của nó, tức là ta luôn

có depth M ≤ dim M. Nếu depth M = dim M thì ta nói M là môđun Cohen￾Macaulay. Vành R được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là R-môđun

Cohen-Macaulay.

Lớp môđun Cohen-Macaulay chính tắc là một mở rộng của lớp môđun

Cohen-Macaulay, được giới thiệu bởi P. Schenzel trong một bài báo đăng trên

Tạp chí Đại số năm 2004. Giả sử R là vành thương của vành Gorenstein. Ta nói

rằng M là môđun Cohen-Macaulay chính tắc nếu môđun chính tắc K(M) của M

là Cohen-Macaulay. Chú ý rằng nếu M là Cohen-Macaulay thì M là môđun

Cohen-Macaulay chính tắc, nhưng chiều ngược lại không đúng. Năm 2004, P.

Schenzel đã chứng minh rằng nếu R là miền nguyên thì R là vành Cohen￾Macaulay chính tắc nếu và chỉ nếu R có một Macaulay hóa song hữu tỷ, tức là

tồn tại một vành trung gian S giữa R và trường các thương Q(R) của R sao cho S

là R-môđun hữu hạn sinh và S là vành Cohen-Macaulay. Năm 2012, trong một

bài báo đăng trên Tạp chí Đại số, M. Brodmann và Lê Thanh Nhàn đã đưa ra

một số đặc trưng quan trọng của lớp môđun Cohen-Macaulay chính tắc.

Mục đích của luận văn là trình bày lại các kết quả về môđun Cohen￾Macaulay chính tắc trong bài báo trên của M. Brodmann và Lê Thanh Nhàn.

Luận văn gồm 2 chương. Chương 1 trình bày lại các khái niệm và các kết

quả quan trọng về vành và môđun Cohen-Macaulay. Chương 2 là nội dung

chính của luận văn, trình bày các kết quả về mô đun Cohen-Macaulay chính tắc.

3

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của Cô giáo tôi,

PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Cô và gia đình.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Khoa Toán và Khoa Sau đại học, trường

Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, nơi tôi đã theo học chương trình thạc

sĩ toán học, chuyên ngành Đại số và Lí thuyết số.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô giáo phụ trách Khoa Sau đại

học, TS Ma Thị Ngọc Mai, và Thầy giáo trợ lí Sau đại học của Khoa Toán, TS.

Trần Nguyên An, đã quan tâm lo lắng cho tôi trong suốt thời gian học tập tại

Trường.

Tôi xin cảm ơn Bố mẹ tôi đã luôn động viên tôi, để tôi có đủ nghị lực

hoàn thành chương trình và luận văn thạc sĩ.