Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–
ĐINH THỊ BÍCH NGÂN
LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng - Năm 2018
Công trình được hoàn thành tại
Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN
Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HẢI TRUNG
Phản biện 1: TS Lê Văn Dũng
Phản biện 2: TS Nguyễn Thành Chung
Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày
28 tháng 01 năm 2018
Có thể tìm hiểu luận văn tại
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương pháp sai phân và phương trình sai phân được ứng dụng nhiều
trong các lĩnh vực khoa học, kĩ thuật. Hệ phương trình sai phân được mở
rộng từ phương trình sai phân.
Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính
phương trình sai phân. Nó được ứng dụng ngày càng nhiều ở các lĩnh vực
khác nhau, nhất là trong kinh tế và khoa học kĩ thuật, trong sinh thái và
môi trường.
Bài toán ổn định hệ thống được nhiều nhà toán học nghiên cứu đặc biệt
là nhà toán học V. Liapunov và đến nay đã trở thành một hướng nghiên
cứu không thể thiếu trong lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân
và ứng dụng.
Với mong muốn nghiên cứu về lý thuyết ổn định của hệ phương trình
sai phân và các ứng dụng của nó cùng với sự gợi ý và hướng dẫn khoa học
từ TS Lê Hải Trung, tôi quyết định chọn đề tài: “Lý thuyết ổn định
của hệ phương trình sai phân” cho luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
• Hệ thống lại các kiến thức về lý thuyết ổn định của hệ phương trình
sai phân trong các tài liệu tham khảo khác nhau.
• Nghiên cứu về hệ phương trình sai phân, tính ổn định của hệ phương
trình sai phân.
• Ứng dụng lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân để nghiên
2
cứu về một loài với hai lớp tuổi, vật chủ và hệ thống kí sinh trùng, một mô
hình chu kỳ kinh doanh, mô hình của Nicholson – Bailey, nghiên cứu điển
hình của loài bọ bột cánh cứng.
3. Đối tượng nghiên cứu
Phương trình sai phân; Hệ phương trình sai phân; Lý thuyết ổn định
của hệ phương trình sai phân; Các ứng dụng của lý thuyết ổn định của hệ
phương trình sai phân.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết sai phân, phương trình, hệ phương trình sai phân
và tính ổn định của hệ phương trình sai phân.
5. Phương pháp nghiên cứu
Các kiến thức liên quan đến việc thực hiện luận văn thuộc các lĩnh vực:
Đại số tuyến tính, Giải tích, Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết
phương trình sai phân, Lý thuyết hệ phương trình sai phân, Lý thuyết ổn
định của hệ phương trình sai phân. . .
6. Tổng quan và cấu trúc luận văn
Luận văn có cấu trúc gồm hai chương:
Chương 1: Kiến thức cơ bản Trong chương này, tác giả trình bày
các kiến thức về sai phân hữu hạn của hàm số một biến thực, khái niệm và
phân loại phương trình sai phân, hệ phương trình sai phân tuyến tính.
Chương 2: Tính ổn định của hệ phương trình sai phân
Chương 2 tập trung trình bày lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai
phân và các ứng dụng của nó.
3
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức về khái niệm sai
phân hữu hạn của một hàm số biến số thực, khái niệm phương trình sai
phân, và các loại phương trình sai phân. Các kiến thức trong chương này
được tham khảo từ các tài liệu [5],[7], [9],[10].
1.1. Sai phân hữu hạn của hàm số một biến thực
Xét hàm số một biến thực f : R → R và h > 0
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi sai phân hữu hạn cấp một của hàm f tại x là
đại lượng
∆f(x) = f(x + h) − f(x).
Sai phân hữu hạn bậc n của f(x) là đại lượng
∆
n
f(x) = ∆
∆
n−1
f(x)
,(n ≥ 1).
Tính chất 1.1.2. Nếu c = const thì ∆c = 0.
Tính chất 1.1.3. ∆n
(x
n
) = n!h
n
; ∆m (x
n
) = 0 (m > n).
Tính chất 1.1.4. Nếu P(x) là đa thức bậc n thì ta có:
∆P = P(x + h) − P(x) = X
n
i=1
h
i
i!
· p
(i)
(x).
Tính chất 1.1.5. f(x + nh) = Pn
i=0 C
i
n∆i
f(x).
Tính chất 1.1.6. ∆n
f(x) = Pn
i=0(−1)iC
i
n
f(x + (n − i)h).
Tính chất 1.1.7. Giả sử f ∈ C
n
[a; b] và (x, x + nh) ⊂ θ(0; 1), khi
đó:
∆n
f(x)
h
n
= f
(n)
(x + θnh); θ ∈ (0; 1).
4
1.2. Phương trình sai phân
1.2.1. Các khái niệm cơ bản của phương trình sai phân
Định nghĩa 1.2.1. Biểu thức có dạng
F(t, f(t), ∆f(t), ..., ∆
n
f(t)) = 0 (1.2.1)
được gọi là phương trình sai phân.
Định nghĩa 1.2.2. Phương trình
G(t, f(t), f(t + h), ..., f(t + nh)) = 0 (1.2.2)
được gọi là phương trình sai phân cấp n (sau đây sẽ gọi là bài toán Cauchy
1.2.2).
Định nghĩa 1.2.3. Một hàm liên tục f(t) được gọi là nghiệm của phương
trình (1.2.2) trên tập Ω, nếu ta thay nó vào phương trình thì ta nhận được
đẳng thức đúng trên Ω.
Tiếp theo ta sẽ luôn giả sử h = 1. Khi đó phương trình (1.2.2) có dạng:
G(t, f(t), f(t + 1), ..., f(t + n)) = 0. (1.2.3)
Định nghĩa 1.2.4. Nghiệm rời rạc của phương trình (1.2.3) tương ứng
tại điểm t0 ∈ Z+ là chuỗi số f0, f1, ..., fk, ... sao cho:
G(t0 + k, fk, ..., fk+n) = 0 (1.2.4)
với k = 0, 1, 2...,, còn Z+ là tập các số nguyên dương.
Định nghĩa 1.2.5. Điểm (t0, f0, f1, ..., fn−1) ∈ Z+ × R
n
được gọi là
điểm duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy (1.2.2), nếu với bất kỳ nghiệm
y(t) của bài toán Cauchy thỏa mãn điều kiện đầu:
y(t0) = y0, y(t0 + 1) = y1, ..., y(t0 + n − 1) = yn−1
(f0, f1, ..., fn−1) 6= (y0, y1, ..., yn−1)
suy ra với mọi k > 1
(fk, fk+1, ..., fk+n−1) 6= (y1, yk+1, ..., yk+n−1).
5
Định nghĩa 1.2.6. Giả sử D là một tập con của không gian n + 1 chiều
R
n+1 và mỗi điểm của D đều là điểm tồn tại và duy nhất nghiệm của bài
toán Cauchy. (1.2.2). Hàm f(t) = f(t, C1, ..., Cn) được gọi là nghiệm tổng
quát của phương trình (1.2.2), nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:
1. Với mọi giá trị cho trước C1, ..., Cn, hàm đã cho là nghiệm của
phương trình (1.2.2).
2. Mọi nghiệm của bài toán Cauchy (1.2.2) với điều kiện đầu được lấy
từ D có thể nhận được từ nghiệm tổng quát một cách duy nhất.
1.2.2. Phương trình sai phân cấp một
Xét phương trình
∆f(t) = y(t), t ∈ Ω0 (1.2.5)
Biến đổi ta được
f(t) = C +
X
t−1
k=t0
y(k), C = f(t0). (1.2.6)
Công thức (1.2.6) chính là công thức nghiệm cho phương trình (1.2.5). Tiếp
theo, ta xét một dạng khác của phương trình sai phân cấp một:
f(t + 1) = p(t)f(t) + y(t), p(t) 6= 0, t ∈ Z
+
. (1.2.7)
Nghiệm tổng quát của phương trình trên có thể viết được dưới dạng
f(t) = Y
t−1
k=t0
p(k)[C +
X
t−1
k=t0
y(k).(
Y
k
m=t0
p(m))−1
. (1.2.8)
1.2.3. Hàm độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính. Định
thức Kazorati. Dấu hiệu nhận biết phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa 1.2.7. Định thức
K(t) =
ϕ1(t) ϕ2(t) ... ϕn(t)
ϕ1(t + 1) ϕ2(t + 1) ... ϕn(t + 1)
...
ϕ1(t + n − 1) ϕ2(t + n − 1) ... ϕn(t + n − 1)
(1.2.9)
được gọi là định thức Kazorati bậc n của các hàm ϕ1(t), ϕ2(t), .., ϕn(t)
6
Định lí 1.2.8. (Điều kiện cần để các hàm phụ thuộc tuyến tính). Nếu
các hàm ϕ1(t), ϕ2(t), .., ϕn(t) là phụ thuộc tuyến tính trên Ω thì định
thức Kazorati của chúng bằng không trên Ω.
1.2.4. Phương trình sai phân tuyến tính cấp n thuần nhất
Định nghĩa 1.2.9. Phương trình có dạng
f(t + n) + p1(t)f(t + n−1) + p2(t)f(t + n−2) + ... + pn(t)f(t) = y(t)
(1.2.10)
được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp n.
Phương trình
z(t+n)+p1(t)z(t+n−1)+p2(t)z(t+n−2)+...+pn(t)z(t) = 0 (1.2.11)
được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp n thuần nhất (TTN).
Định lí 1.2.10. (Tiêu chuẩn độc lập tuyến tính của các nghiệm TTN)
Các nghiệm z1(t), z2(t), ..., zn(t) của phương trình (1.2.11) là độc lập
tuyến tính trên Z
+ khi và chỉ khi định thức Kazorati của chúng khác
không trên Z
+
Định lí 1.2.11. (Neumann) Định thức Kazorati của bất kỳ n nghiệm
của phương trình (1.2.11) đều thỏa mãn phương trình
K(t + 1) = (−1)n
pn(t)K(t). (1.2.12)
Hệ quả 1.2.12. Nếu hệ số pn(t) 6= 0 thì định thức Kazorati của bất kỳ
các nghiệm của phương trình (1.2.11) hoặc đồng nhất bằng 0 trên Z
+
,
hoặc không bao giờ bằng 0.
Định lí 1.2.13. Các nghiệm z1(t), z2(t), ..., zn(t) của phương trình
(1.2.11) là độc lập tuyến tính trên Z
+ khi và chỉ khi định thức Kazorati
khác không tại mỗi điểm của Z
+.
Định nghĩa 1.2.14. Bất kỳ n nghiệm độc lập tuyến tính của TTN
(1.2.11) được gọi là hệ nghiệm cơ bản.
7
Định lí 1.2.15. (Về nghiệm tổng quát của TTN) Nếu z1(t), z2(t), ..., zn(t)
là hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1.2.11) thì nghiệm tổng quát của
phương trình này trong tập D = Z
+ × R
n
có thể viết được dưới dạng
z(t) = C1z1(t) + C2z2(t) + ... + Cnzn(t), với Ci
là các hằng số tùy ý.
1.2.5. Đồng nhất thức Abel đối với phương trình sai phân tuyến
tính cấp n
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp n sau:
Lz(t) = X
n
i=0
pi(t)z(t + n − i) = 0, p0(t) = 1. (1.2.13)
Giả sử K(t) là định thức Kazorati của hệ nghiệm này. Khi đó nghiệm zn(t)
sẽ được tính theo công thức sau:
zn(t) = X
t−1
k=0
∆n−1(t, k)
k
Q−1
m=0
(−1)n
pn(m)
K(k)K(k + 1) (1.2.14)
ở đây, ∆1(t, τ ) = z1(t) và:
∆n−1(t, τ ) =
z1(τ + 1) z2(τ + 1) ... zn−1(τ + 1)
z1(τ + 2) z2(τ + 2) ... zn−1(τ + 2)
...
z1(τ + n − 2)
z1(t)
z2(τ + n − 2)
z2(t)
...
zn−1(τ + n − 2)
zn−1(t)
(1.2.15)
Công thức (1.2.14) được gọi là đồng nhất thức Abel.
1.2.6. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Xét phương trình sau:
Lz(t) = z(t + n) + p1z(t + n − 1) + ... + pnz(t) = 0 (1.2.16)
với các hệ số pi ∈ R, i = 1, n, pn 6= 0, t ∈ Z
+. Nghiệm tổng quát của
phương trình này có thể viết được dưới dạng:
z(t) = X
n
i=1
Cizi(t)
8
ở đây, zi(t), i = 1, n là các nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình,
còn Ci
là các hằng số tùy ý.
Ta đi tìm nghiệm không tầm thường của phương trình dưới dạng z(t) =
λ
t
, trong đó λ là nghiệm của phương trình đặc trưng sau:
λ
n + p1λ
n−1 + ... + pn = 0. (1.2.17)
Khi đó, có 3 trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: Phương trình (1.2.17) có đúng n nghiệm thực λ1, λ2, ..., λn.
Khi đó phương trình (1.2.16) có nghiệm tổng quát là
z(t) = X
n
i=1
Ciλi
t
Trường hợp 2: Phương trình (1.2.17) ngoài nghiệm đơn còn có
nghiệm phức. Khi đó phương trình (1.2.16) có nghiệm tổng quát là
z1 = p1
t
cos ϕ1t; z2 = p1
t
sin ϕ1t
Trường hợp 3: Phương trình (1.2.17) có nghiệm bội λ0 là nghiệm
bội k. Khi đó λ0
t
, tλ0
t
, t2λ0
t
, ..., tk−1λ0
t
cũng là nghiệm của (1.2.11).
1.3. Hệ phương trình sai phân tuyến tính
1.3.1. Hệ Ô-tô-nôm
Định nghĩa 1.3.1. Hệ có dạng
f(n + 1) = Af(n), (1.3.1)
được gọi là hệ phương trình sai phân tuyến tính Ô-tô-nôm cấp k hoặc bất
biến theo thời gian, trong đó f(n) = (f1(n), f2(n), ..., fk(n))T ∈ R
k
,
A = (aij ) là ma trận thực cấp k × k không suy biến.
Ta chỉ ra rằng nghiệm của (1.3.1) được cho bởi:
y(n) = A
n
y(0). (1.3.2)
với y(0) = f(n0).
Định lí 1.3.2. (Cayley - Hamilton) (xem [9]) Cho A là một ma
trận bất kỳ cấp k × k. Khi đó, ma trận A thỏa mãn phương trình đặc
9
trưng của nó
p(A) = Y
k
j=1
(A − λjI) = 0.
Sự phát triển của thuật toán Putzer cho An
.
Cho A là ma trận cấp k × k. Khai triển của An
được viết dưới dạng:
A
n =
X
k
j=1
uj (n)M(j − 1) (1.3.3)
với
M(n) = Y
n
j=1
(A − λjI), (1.3.4)
và
u1(n) = λ
n
1
uj (n) =
n
P−1
i=0
λ
n−1−i
j uj−1(i), j = 2, 3, ..., k. (1.3.5)
Phương trình (1.3.4) và (1.3.5) cùng nhau tạo thành thuật toán Putzer.
1.3.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính
Cho hệ
x(n + 1) = Ax(n) (1.3.6)
với A(n) = (aij (n)) là một hàm ma trận cấp k × k. Hệ (1.3.6) được gọi
là hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất.
Hệ không thuần nhất được cho bởi
y(n + 1) = A(n)y(n) + g(n), (1.3.7)
trong đó g(n) ∈ R
k
.
Định lí 1.3.3. Với mọi x0 ∈ R
k
, n0 ∈ Z
+
, tồn tại duy nhất một
nghiệm x(n, n0, x0) của (1.3.6) với x(n0, n0, x0) = x0.
Cho Φ(n) là ma trận cấp k × k mà các cột là các nghiệm của (1.3.6),
Φ(n) thỏa mãn ma trận phương trình sai phân:
Φ(n + 1) = A(n)Φ(n). (1.3.8)
Định nghĩa 1.3.4. Nếu Φ(n) là ma trận không suy biến với mọi n > n0
và thỏa mãn (1.3.8) thì nó được gọi là ma trận cơ sở của hệ (1.3.6).
Định lí 1.3.5. Nếu Φ(n) là ma trận cơ sở và C là một ma trận không
suy biến bất kì thì Φ(n)C cũng là một ma trận cơ sở.
10
Định lí 1.3.6. Tồn tại nghiệm duy nhất Ψ(n) của ma trận (1.3.8) với
Ψ(n0) = I.
Định nghĩa 1.3.7. Cho Φ(n) là một ma trận cơ sở, vì vậy ma trận
Φ(n)Φ−1
(n0) cũng là một ma trận cơ sở. Ma trận cơ sở đặc biệt này được
kí hiệu bởi Φ(n, n0) và được gọi là ma trận chuyển tiếp trạng thái.
Hệ quả 1.3.8. Nghiệm duy nhất x(n, n0, x0) của (1.3.6) với x(n0, n0, x0) =
x0 được cho bởi công thức
x(n, n0, x0) = Φ(n, n0)x0. (1.3.9)
Bổ đề 1.3.9. (Công thức Abel) Với mọi n > n0 > 0
det Φ(n) = n
Y−1
i=n0
[det A(i)]!
det Φ(n0). (1.3.10)
Định lí 1.3.10. Hệ (1.3.6) có k nghiệm độc lập tuyến tính với mọi
n > n0.
Định lí 1.3.11. Nếu x1(n), x2(n) là hai nghiệm của (1.3.6) và c ∈ R
thì
(1) x1(n) + x2(n) cũng là nghiệm của (1.3.6).
(2) cx1(n) cũng là nghiệm của (1.3.6).
Định lí 1.3.12. Mọi nghiệm y(n) của (1.3.7) có thể viết dưới dạng
y(n) = Φ(n)c + yp(n) (1.3.11)
trong đó c là một vectơ hằng, yp(n) là một nghiệm riêng.
Bổ đề 1.3.13. Nghiệm riêng của (1.3.7) được cho bởi công thức
yp(n) = X
n−1
r=n0
Φ(n, r + 1)g(r)
với yp(n0) = 0.
Định lí 1.3.14. Nghiệm duy nhất của phương trình
y(n + 1) = A(n)y(n) + g(n) (1.3.12)
với điều kiện đầu y(n0) = y(n), được cho bởi:
y(n, n0, y0) = n
Y−1
i=n0
A(i)
!
y0 +
X
n−1
r=n0
n
Y−1
i=r+1
A(i)
!
g(r). (1.3.13)