Lý thuyết chia hết và chia có dư.doc

1 Hà Văn Tùng

CÁC BÀI TẬP

I. QUAN HỆ CHIA HẾT:

1. BÀI 1:

Chứng minh rằng trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2.

Giải

Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1

Lấy a chia cho 2 ta được: a = 2.q + r với 0 ≤ r < 2.

+ Với r = 0 thì a = 2.q 2

+ Với r = 1 thì a + 1 = 2.q + 1 + 1 = 2.q + 2 = 2( q + 1)  2

Vậy trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2.

2. BÀI 2:

Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3.

Giải

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1 , a +2

Lấy a chia cho 3 ta được: a = 2.q + r với 0 ≤ r < 3.

+ Với r = 0 thì a = 3.q  3

+ Với r = 1 thì a = 3.q + 1 . Khi đó : a + 2 = 3.q + 3 3

+ Với r = 2 thì a = 3.q + 2 . Khi đó a + 1 = 3.q + 3 3

Vậy trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3.

3. BÀI 3:

Chứng minh rằng trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho n.

Giải

Gọi n số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1 , a +2 …a( n-1)

Lấy a chia cho n ta được: a = n.q + r với 0 ≤ r < n.

+ Với r = 0 thì a = n.q  n

+ Với r = 1 thì a = n.q + 1  n . Khi đó : a+ (n-1) = n.q + 1 + (n-1) = n.q + n  n

+ Với r = 2 thì a = n.q + 2  n. Khi đó a + (n-2) = n.q + 2 + (n+-2) = n.q + n  n

+ Với r = n-1 thì a = n.q + n - 1 n . Khi đó a + 1 = n.q + n-1 +1= n.q + n  n

Vậy trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho n.

*Một số phương pháp chứng minh chia hết

4. BÀI 4

Tính chất 8:

CMR tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6

Giải

Giả sử ta gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1, a + 2

Theo đề bài : A = a( a +1) ( a + 2)  6

Ta có : 6 = 3x2 mà ( 3, 2) =1

- A  2 vì trong A số tự nhiên liên tiếp có một số tự nhiên chia hết cho 2

- A  3 vì trong A số tự nhiên liên tiếp có một số tự nhiên chia hết cho 3

Vậy A  6

5. BÀI 5

CMR tích của ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 8

Giải

Giả sử hai số tự nhiên chẵn liên tiếp là: 2k , 2k + 2.