Lớp các hàm đơn điệu từng khúc và các bài toán cực trị liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NÔNG TRUNG HIẾU

LỚP CÁC HÀM ĐƠN ĐIỆU TỪNG KHÚC

VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NÔNG TRUNG HIẾU

LỚP CÁC HÀM ĐƠN ĐIỆU TỪNG KHÚC

VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học

GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

i

Mục lục

Các kí hiệu và viết tắt ii

Mở đầu 1

1 Một số kiến thức bổ trợ về hàm số 3

1.1 Lớp hàm đồng biến, nghịch biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Lớp hàm tựa đồng biến, tựa nghịch biến . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Phép đơn điệu hoá hàm số và bài toán cực trị 23

2.1 Phương pháp xây dựng các hàm đơn điệu từ các hàm đã biết . . . 23

2.2 Một số dạng toán cực trị với bộ điểm biến thiên . . . . . . . . . . 30

2.2.1 Các hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2 Một số lớp hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.3 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Một số áp dụng của hàm đơn điệu trong đại số và lượng giác 42

3.1 Chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . . . . . . . . 48

3.3 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình và hệ

phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Kết luận 63

Tài liệu tham khảo 64

ii

Các kí hiệu và viết tắt

Trong luận văn này có sử dụng các kí hiệu sau

R : Tập hợp các số thực.

R+ = [0, +∞) : Tập hợp các số thực không âm.

Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}: Tập hợp các số nguyên.

N = {1, 2, 3, ...}: Tập hợp các số tự nhiên.

D hoặc Df : Tập xác định của hàm số f.

I(a, b): Tập con của R nhằm ngầm định một trong bốn tập hợp

(a, b), [a, b),(a, b], [a, b].

max f(x): Giá trị lớn nhất của hàm số f(x).

min f(x): Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x).

∀ : Với mọi.

C

k

n

: Tổ hợp chập k của n phần tử với k, n ∈ Z, 0 6 k 6 n.

AM-GM: Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân.

HSG: Học sinh giỏi.

1

Mở đầu

Trong chương trình toán học bậc trung học phổ thông, học sinh đã được học

khái niệm hàm số và xét đến các tính chất cơ bản của hàm số như tính đơn

điệu, tính đồng biến nghịch biến, tính liên tục và gián đoạn, tính lồi lõm, tính

tuần hoàn, tính chẵn lẻ,...

Phần lớn học sinh bậc phổ thông đã được làm quen với các định nghĩa, các

tính chất đơn giản của hàm số như xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

để chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

số, giải và biện luận phương trình, hệ phương trình mà chưa nghiên cứu sâu về

các vấn đề trên. Trong luận văn này, tác giả được thầy hướng dẫn giao nhiệm

vụ khảo sát lớp hàm đơn điệu từng khúc và các bài toán cực trị liên quan. Với

mong muốn của tác giả sẽ đóng góp một phần nhỏ trong việc giảng dạy toán ở

bậc trung học phổ thông, đặc biệt là việc bồi dưỡng cho học sinh giỏi toán.

Luận văn chia làm ba chương.

Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ về hàm số.

Trong chương 1, luận văn trình bày các khái niệm về hàm đơn điệu, hàm tựa

đơn điệu, cực trị của hàm số và ví dụ minh họa cho khái niệm hàm đơn điệu.

Chương 2. Phép đơn điệu hóa hàm số và bài toán cực trị.

Chương 2 trình bày phương pháp xây dựng hàm đơn điệu và bài toán cực

trị với bộ điểm biến thiên của một số nhóm hàm số cụ thể như: Các hàm số sơ

cấp, hàm tuần hoàn, tổ hợp.

Chương 3. Một số áp dụng của hàm đơn điệu trong đại số và lượng giác.

Trong chương này, tác giả nêu ra một số ứng dụng quan trọng của hàm đơn

điệu thường dùng trong chương trình toán phổ thông như: Chứng minh bất đẳng

thức, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, giải phương trình và

hệ phương trình.

2

Trong thời gian thực hiện đề tài này, tác giả đã nhận được sự chỉ dẫn tận

tình chu đáo của thầy - GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Thông qua luận văn này,

tác giả xin chân thành cảm ơn và trân trọng những công lao mà thầy Nguyễn

Văn Mậu đã giúp đỡ hoàn thành đề tài này.

Tác giả chân thành biêt ơn các thầy cô trong Ban giám hiệu, Phòng Đào

tạo, khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên; Sở Giáo

dục và Đào tạo Lạng Sơn; Ban giám hiệu và các thầy cô trong tổ Toán Trường

THPT Việt Bắc đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập

và làm đề tài.

Thái Nguyên, ngày 8 tháng 4 năm 2014.

Tác giả