Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

HOÀNG THỊ HOÀNG ANH

BẤT ĐẲNG THỨC

TRONG LỚP CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC

VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

HOÀNG THỊ HOÀNG ANH

BẤT ĐẲNG THỨC

TRONG LỚP CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC

VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu

THÁI NGUYÊN - 2018

ii

Mục lục

MỞ ĐẦU iv

Chương 1. Một số tính chất của các hàm lượng giác và lượng giác ngược 1

1.1 Đồng nhất thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm sin và cosin . . 1

1.1.2 Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm số tang và cotang 5

1.2 Tính chất của các hàm lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . . . 9

Chương 2. Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác

ngược 13

2.1 Bất đẳng thức đại số sinh bởi các hàm lượng giác . . . . . . . . . 13

2.1.1 Bất đẳng thức sinh bởi hàm cosin . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2 Bất đẳng thức sinh bởi hàm sin . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Bất đẳng thức đại số sinh bởi các hàm lượng giác ngược . . . . . . 19

2.2.1 Một số dạng bất đẳng thức giữa lớp hàm arcsin và arccosin 19

2.2.2 Một số dạng bất đẳng thức giữa lớp hàm arctan và arccotan 23

Chương 3. Một số dạng toán liên quan 28

3.1 Các bài toán cực trị trong lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Phương pháp lượng giác trong đại số và hình học . . . . . . . . . 35

3.2.1 Phương pháp lượng giác trong đẳng thức . . . . . . . . . 35

3.2.2 Phương pháp lượng giác trong bất đẳng thức . . . . . . . . 41

3.2.3 Phương pháp lượng giác trong phương trình, bất phương

trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.4 Phương pháp lượng giác trong hình học . . . . . . . . . . 50

3.3 Một số dạng toán liên quan từ các đề thi Olympic . . . . . . . . . 60

iii

KẾT LUẬN 66

TÀI LIỆU THAM KHẢO 67

iv

MỞ ĐẦU

Chuyên đề lượng giác là một trong những chuyên đề quan trọng ở bậc trung học

phổ thông. Tuy nhiên, do giảm tải về nội dung mà các vấn đề sâu sắc liên quan

đến lượng giác ngược không còn được đề cập trong sách giáo khoa.

Lượng giác không chỉ là đối tượng nghiên cứu mà còn là công cụ đắc lực trong

nhiều lĩnh vực khác của toán học. Một trong những phương pháp được sử dụng

trong đại số là khảo sát các tính chất của đa thức lượng giác để áp dụng trong các

bài toán ước lượng đánh giá đa thức và phân thức hữu tỷ, các tính toán liên quan

đến đạo hàm và tích phân của biểu thức đại số. . .

Trong các kì thi học sinh giỏi toán các cấp, Olympic Toán sinh viên, các bài toán

liên quan tới áp dụng lượng giác để khảo sát bất đẳng thức và bài toán cực trị liên

quan thường xuyên được đề cập. Những dạng toán này thường được xem là thuộc

loại khó, nhiều dạng toán cần tới phần kiến thức về nội suy đa thức lại không nằm

trong chương trình chính thức của giáo trình Đại số và Giải tích bậc trung học phổ

thông hiện hành.

Với mong muốn cung cấp thêm tài liệu tổng hợp về chuyên đề lượng giác cho

giáo viên và học sinh giỏi tôi chọn đề tài luận văn ”Bất đẳng thức trong lớp các

hàm lượng giác và lượng giác ngược”.

Luận văn nhằm trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong

đa thức lượng giác và xét các ứng dụng liên quan đến các bài toán cực trị, khảo sát

phương trình, bất phương trình. . . . Để hoàn thành nội dung luận văn, tác giả có sử

dụng các tài liệu tham khảo [1]-[6].

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và 3 chương.

Chương 1. Một số tính chất của các hàm lượng giác và lượng giác ngược.

Chương này trình bày các tính chất cơ bản của các hàm lượng giác và lượng

giác ngược. Xét các ví dụ áp dụng liên quan.

v

Chương 2. Bất đẳng thức trong đa thức lượng giác và lượng giác ngược.

Chương này trình bày các bất đẳng thức đại số sinh bởi các hàm lượng giác,

lượng giác ngược và các dạng toán liên quan.

Chương 3. Một số dạng toán liên quan.

Xét một số dạng toán về phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, cực trị

trong đại số và một số bài tập áp dụng lượng giác trong các bài toán hình học. Tiếp

theo, chương này trình bày hệ thống các bài tập giải các đề thi HSG quốc gia và

Olympic liên quan.

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Nhà giáo nhân dân,

GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và

sâu sắc tới GS - Người thầy rất nghiêm khắc, tận tâm trong công việc và đã truyền

thụ nhiều kiến thức quý báu cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học cho tác

giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu đề tài.

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, khoa Toán

- Tin của trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, cùng các thầy cô giáo

đã tham giảng dạy và hướng dẫn khoa học cho lớp Cao học toán K10C.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, tập thể giáo viên toán trường

THPT Lê Văn Thịnh, tỉnh Bắc Ninh và gia đình đã tạo điều kiện cho tác giả có cơ

hội học tập và nghiên cứu.

Tác giả.

1

Chương 1. Một số tính chất của các hàm

lượng giác và lượng giác ngược

Trong chương này trình bày các tính chất cơ bản của các hàm lượng giác và lượng

giác ngược là cơ sở cho các bài toán trong các chương tiếp theo.

1.1 Đồng nhất thức lượng giác

1.1.1 Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm sin và cosin

Ta có công thức Euler

e

iα = cosα +isinα,α ∈ R.

Khi đó







cosα =

e

iα +e

−iα

2

sinα =

e

iα −e

−iα

2i

.

Từ đó, ta suy ra cos(iα) = e

α +e

−α

2

. Như vậy hàm số cost với t = iα là biểu thức

có dạng 1

2



a+

1

a



, trong đó a = e

α

, cho nên, về mặt hình thức ta sẽ có nhiều

biến đổi thu được từ các công thức liên quan đến biến x ∈/ [−1; 1] giống như hàm

số cost.

Ví dụ 1.1. Hệ thức đại số ứng với công thức

cos 2t = 2 cos2

t −1,

chính là công thức

1

2



a

2 +

1

a

2



= 2



1

2



a+

1

a

2

−1.