bat dang thuc

TỔNG HỢP BẤT ĐẲNG THỨC THÔNG DỤNG

I. BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN

1. Định nghĩa hàm lồi

Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a; b) nếu 1 2 1 2 x x f(x ) f(x ) f

2 2

æ ö çç

+ + ÷÷÷£

çè ø÷

với 1 2 " x , x (a; b) Î thì f(x) được

gọi là hàm lồi trên khoảng (a; b) (ngược lại là hàm lõm).

Đẳng thức xảy ra khi x1 = x2.

2. Định lý

Nếu đồ thị hàm số y = f(x) lõm trên khoảng (a; b) thì hàm số f(x) lồi trên khoảng (a; b).

Chứng minh:

Giả sử đồ thị y = f(x) lõm trên (a; b). Gọi A(x1; f(x1)), B(x2; f(x2)) và 1 2 1 2 x x x x M ; f

2 2

æ æ öö ç ç

è è øø

+ + ÷÷÷÷÷÷÷÷. Vẽ đường

thẳng 1 2 x x

x

2

+

= cắt AB tại trung điểm I. Dễ thấy yM < yI khi A khác B và yM = yI khi A trùng B.

Suy ra 1 2 1 2 x x f(x ) f(x ) f

2 2

æ ö çç

+ + ÷÷÷£

çè ø÷

. Đẳng thức xảy ra khi x1 = x2.

Vậy nếu / / f (x) 0 > mọi x thuộc (a; b) thì f(x) là hàm lồi trên (a; b), ngược lại / / f (x) 0 < thì f(x) lõm.

3. Định lý Jensen

Nếu hàm số f(x) lõm trên khoảng (a; b) thì 1 2 n 1 2 n x x ... x f(x ) f(x ) ... f(x ) f

n n

æ ö çç

+ + + + + + ÷÷÷£

çè ø÷

với mọi xk

thuộc khoảng (a; b) (k = 1, 2,…, n). Đẳng thức xảy ra khi x1 = x2 = … = xn.

Chứng minh:

+ Với n = 2: định lý đúng (do định nghĩa).

+ Giả sử định lý đúng với n = k, ta có 1 2 k 1 2 k x x ... x f(x ) f(x ) ... f(x ) f

k k

æ ö çç

+ + + + + + ÷÷÷£

çè ø÷

(*).

+ Với n = k + 1:

– Trường hợp k lẻ, đặt k 1

m

2

+

= :

1 m m 1 k 1

1 2 k 1

x ... x x ... x

f f

x x ... x m m

k 1 2

+ +

+ æ ö ç

çççè ø

+ + +

+

÷÷÷÷

=

æ ö çç

çç

ççç

ççè ø

+ +

+

+ + ÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷

1 m m 1 k 1

(*)

1 2 k 1

x ... x x ... x f f

m m f(x ) f(x ) ... f(x )

2 k 1

+ +

+

æ ö çç

çè ø

+ + ÷÷÷÷

+

æ ö ççççè ø

+ + ÷÷÷÷ + + +

£ £

+

.

Suy ra định lý đúng cho k lẻ (1).

– Trường hợp k chẵn, chứng minh tương tự (1) ta được:

1 2 k 1 k 2 1 2 k 1 k 2 x x ... x x f(x ) f(x ) ... f(x ) f(x )

f

k 2 k 2

æ ö

+ + + + ç

ç

+ + + + + + + + ÷÷÷£

ççè ø + + ÷

(2).