Phân lớp đối đồng điều các Ann-hàm tử và các Ann-phạm trù bện

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

− − − − − − − − −

ĐẶNG ĐÌNH HANH

PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC

ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 62. 46. 05. 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

− − − − − − − − −

ĐẶNG ĐÌNH HANH

PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC

ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 62. 46. 05. 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. NGUYỄN TIẾN QUANG

Hà Nội - 2011

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết chung với

các đồng tác giả. Kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí

của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các số liệu, các kết quả được trình

bày trong trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất

kỳ công trình nào khác.

Tác giả

Đặng Đình Hanh

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Tiến

Quang. Thầy đã dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ khi tác

giả đang là sinh viên. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và

lòng tin tưởng của Thầy dành cho tác giả luôn là động lực lớn giúp tác giả tự

tin và say mê trong nghiên cứu. Qua đây tác giả xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc

và lòng quý mến đối với Thầy.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô và các bạn đồng nghiệp trong Bộ

môn Đại số và Lý thuyết số, các thầy cô và các bạn đồng nghiệp trong khoa

Toán -Tin đã tạo một môi trường công tác và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả

hoàn thành luận án này.

Tác giả xin cảm ơn Ths. Nguyễn Thu Thủy về những sự giúp đỡ chân thành.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà

Nội, Phòng Sau đại học và BCN khoa Toán - Tin đã tạo những điều kiện thuận

lợi trong quá trình tác giả học tập, công tác và hoàn thành luận án này.

Tác giả xin chân thành cảm ơn GS. TS. Nguyễn Quốc Thắng, GS. TS. Lê

Văn Thuyết, PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn và hai thầy/cô phản biện độc lập

về những góp ý bổ ích để luận án được hoàn thiện hơn.

Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến ông bà, bố mẹ, anh chị

em hai bên nội ngoại, cùng vợ. Gia đình là nguồn động viên và động lực to lớn

đối với tác giả.

Tác giả

1

Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Bảng thuật ngữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Sơ đồ liên hệ giữa các chương, mục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15

1.1 Phạm trù monoidal bện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.1 ⊗-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.2 Phạm trù monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.3 Hàm tử monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1.4 Mũi tên hàm tử monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1.5 Phạm trù monoidal bện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 Gr-phạm trù và P ic-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Ann-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù . . . . . . . . . . . . 21

1.3.2 Định nghĩa Ann-hàm tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.3 Ann-phạm trù thu gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4 Đối đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4.1 Nhóm đối đồng điều Mac Lane của các vành . . . . . . . . 32

1.4.2 Nhóm đối đồng điều Hochschild của các đại số . . . . . . . 35

2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ANN-PHẠM TRÙ VÀ ANN￾HÀM TỬ 37

2.1 Phân lớp đối đồng điều của các Ann-hàm tử . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.1 Tiêu chuẩn tương đương của một Ann-hàm tử . . . . . . . 37

2.1.2 Ann–hàm tử kiểu (p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.3 Ann-hàm tử và các nhóm đối đồng điều chiều thấp của

vành theo nghĩa Mac Lane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2

2.1.4 Ann-hàm tử và đối đồng điều Hochschild . . . . . . . . . . 45

2.1.5 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2 Đối ngẫu của Ann-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3 Mối liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù . . . . . . . . . 66

3 ANN-PHẠM TRÙ BỆN 72

3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù bện . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2 Tính phụ thuộc trong hệ tiên đề của Ann-phạm trù bện . . . . . . 76

3.3 Mối liên hệ với phạm trù có tính phân phối của M. L. Laplaza . . 79

3.4 Mối liên hệ với phạm trù tựa vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4 PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-PHẠM TRÙ

BỆN 86

4.1 Ann-hàm tử bện và phép chuyển cấu trúc. Ann-phạm trù bện thu

gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2 Phân lớp các Ann-hàm tử bện kiểu (p, q) . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3 Các định lý phân lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN

ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

CHỈ MỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3

MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài

Khái niệm phạm trù monoidal hay tensor phạm trù được đề xuất bởi S. Mac

Lane [29], J. Bénabou [51] vào năm 1963. Mỗi phạm trù monoidal là một tựa vị

nhóm, trong đó tập nền C được thay thế bởi một phạm trù và phép toán nhân

m : C × C → C được thay thế bởi một hàm tử. Trong [29], S. Mac Lane đã đưa

ra điều kiện đủ cho tính khớp của các ràng buộc tự nhiên của một phạm trù

monoidal; và điều kiện đủ cho tính khớp của lớp phạm trù monoidal đối xứng,

tức là một phạm trù monoidal có thêm ràng buộc giao hoán. Bài toán khớp cho

lớp phạm trù monoidal thường được suy ra từ một kết quả mạnh hơn: mỗi phạm

trù monoidal đều tương đương với một phạm trù monoidal chặt chẽ, tức là một

phạm trù monoidal có các ràng buộc đều là những phép đồng nhất. Kết quả này

đã được chứng minh bởi một vài tác giả như N. D. Thuận [50], C. Kassel [23],

P. Schauenburg [48].

Việc xem xét các mối liên hệ phụ thuộc của một số tiên đề trong hệ tiên đề

của một phạm trù monoidal đối xứng đã được G. M. Kelly trình bày trong [26].

Sau này, S. Kasangian và F. Rossi đã xem xét thêm một số mối liên hệ về tính

đối xứng trong một phạm trù monoidal [24].

Phạm trù monoidal được "mịn hóa" để trở thành phạm trù với cấu trúc

nhóm, khi bổ sung thêm khái niệm vật khả nghịch (Xem M. L. Laplaza [28], N.

Saavedra Rivano [54]). Bây giờ, nếu phạm trù nền là một groupoid (nghĩa là mọi

mũi tên đều đẳng cấu) thì ta được khái niệm monoidal category group-like (xem

A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall [16]), hay Gr-category (xem H. X. Sính [55]), hay

nhóm phạm trù [6, 7, 8, 17], hoặc 2-nhóm [4, 12, 19] theo cách gọi gần đây. Các

Gr-phạm trù đã được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều nhóm H3

(G, A) (xem

[55]). Trong trường hợp nhóm phạm trù có thêm ràng buộc giao hoán, chúng ta

thu được khái niệm phạm trù Picard (Pic-phạm trù ) [55], hay nhóm phạm trù

đối xứng [5] hoặc 2-nhóm đối xứng [12, 19].

Tâm của phạm trù monoidal được giới thiệu bởi A. Joyal và R. Street, như là

sự khái quát hóa của khái niệm tâm của một vị nhóm. Tâm của một phạm trù

monoidal cung cấp một cấu trúc bện tự nhiên và tầm thường, đó là một tensor

phạm trù bện hay một phạm trù monoidal bện và nói chung không đối xứng. Sau

đó, tâm của phạm trù xuất hiện như một công cụ để nghiên cứu nhóm phạm

4

trù [6] và nhóm phạm trù phân bậc [17]. Trong [11], A. Davydov đã nghiên cứu

về tâm đầy của một đại số trong phạm trù tâm của một phạm trù monoidal và

đã thiết lập bất biến Morita của xây dựng này bằng cách mở rộng nó đến các

phạm trù môđun. Tâm của phạm trù monoidal cũng xuất hiện trong bài toán

đối ngẫu của các phạm trù monoidal được đưa ra bởi S. Majid [32, 33].

Trong [20], A. Joyal và R. Street đã phân lớp các nhóm phạm trù bện bởi

phạm trù các hàm quadratic (dựa trên một kết quả của S. Eilenberg và S. Mac

Lane về sự biểu diễn hàm quadratic bởi nhóm đối đồng điều aben H3

ab(G, A)

[13, 14]). Trước đó, trường hợp nhóm phạm trù đối xứng (hay phạm trù Picard)

đã được phân lớp bởi H. X. Sính [55].

Tình huống tổng quát hơn đối với các nhóm phạm trù Picard được đưa ra

bởi A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall với tên gọi nhóm phạm trù phân bậc [16] (sau

này, A. Cegarra và E. Khmaladze gọi là phạm trù Picard phân bậc [10]). Các

định lý phân lớp đồng luân cho các nhóm phạm trù phân bậc, các nhóm phạm

trù bện phân bậc, và trường hợp riêng của nó, các phạm trù Picard phân bậc đã

được trình bày theo thứ tự trong [17], [9], [10]. Từ mỗi phạm trù như vậy xuất

hiện một 3-đối chu trình theo một nghĩa nào đó mà mỗi lớp tương đẳng của các

phạm trù cùng loại là tương ứng với một lớp đối đồng điều chiều 3.

Các lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đã thu hút được sự quan tâm

của nhiều tác giả. Năm 1972, M. L. Laplaza [27] đã nghiên cứu về lớp phạm trù

có tính phân phối. Kết quả chính của [27] là chứng minh định lý khớp cho lớp

phạm trù này. Sau đó, trong [16], A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall đã đưa ra khái

niệm phạm trù tựa vành với chủ ý là đưa ra một hệ tiên đề mới gọn hơn của M.

L. Laplaza [27]. Hai khái niệm này là những hình thức hóa của phạm trù các

môđun trên một vành giao hoán.

Năm 1994, M. Kapranov và V. Voevodsky [25] đã bỏ đi những đòi hỏi trong hệ

tiên đề của M. L. Laplaza có liên quan đến ràng buộc giao hoán của phép nhân

và đưa ra tên gọi phạm trù vành cho lớp phạm trù này. Họ đã sử dụng phạm trù

của các không gian vectơ trên một trường K, cùng với tích tenxơ và tổng trực

tiếp để định nghĩa các 2-không gian vectơ trên K. Các phạm trù vành đã được

sử dụng như một công cụ để nghiên cứu các phương trình Zamolodchikov [25].

Để có được những mô tả về cấu trúc, cũng như để có thể phân lớp đối đồng

điều, N. T. Quang đã đưa ra khái niệm Ann-phạm trù [36], như một phạm trù

hóa khái niệm vành, với những đòi hỏi về tính khả nghịch của các vật và của các

mũi tên của phạm trù nền, tương tự như trường hợp của nhóm phạm trù (xem

5

[6, 54, 55]). Những đòi hỏi bổ sung này cũng không phải quá đặc biệt, bởi vì nếu

P là một phạm trù Picard thì phạm trù End(P) các Pic-hàm tử trên P là một

Ann-phạm trù (xem N. T. Quang [45]), điều này đã được nhắc lại trong [19].

Mặt khác, mỗi Ann-phạm trù mạnh là một phạm trù vành [35]. Năm 2008, N.

T. Quang đã chứng minh được rằng mỗi lớp tương đẳng các Ann-phạm trù hoàn

toàn được xác định bởi ba bất biến: vành R, R−song môđun M và một phần tử

thuộc nhóm đối đồng điều Mac Lane H3

MaL(R, M) (xem [38]). Trường hợp chính

quy (ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện cX,X = id đối với mọi vật X) đã

được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều Shukla H3

Sh(R, M) (xem [2]). Từ các kết

quả phân lớp của các Ann-phạm trù chính quy, Trần Phương Dung đã giải bài

toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù chính

quy [1]. Mỗi Ann-phạm trù được xem như một one-object của Gpd-categories

trong luận án của M. Dupont [12], hay như một one-point enrichments of SPC

của V. Schmitt [49].

Năm 2006, M. Jibladze và T. Pirashvili [22] đã đưa ra khái niệm vành phạm

trù với những sự sửa đổi từ hệ tiên đề của một Ann-phạm trù. Tuy nhiên, mối

liên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạm trù và vành phạm trù như thế nào?

Hai lớp này có trùng nhau không, lớp này chứa lớp kia hay chúng chỉ giao nhau

một phần? Một vành phạm trù còn được gọi là một 2-vành theo cách gọi trong

[12, 19]. Năm 2010, các tác giả F. Huang, S. H. Chen, W. Chen và Z. J. Zheng đã

định nghĩa các 2-môđun trên các 2-vành và đưa ra sự biểu diễn của các 2-vành

[19].

Bên cạnh những kết quả đã có về Ann-phạm trù, chúng tôi thấy rằng vẫn còn

có những vấn đề liên quan tới Ann-phạm trù cần được nghiên cứu như: bài toán

tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù trong trường hợp

tổng quát, mối liên hệ giữa Ann-phạm trù và vành phạm trù, tính bện trong lớp

Ann-phạm trù,... Vì vậy, chúng tôi viết luận án với tiêu đề: "Phân lớp đối đồng

điều các Ann-hàm tử và các Ann-phạm trù bện" để giải quyết những vấn đề nêu

trên.

II. Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận án bao gồm: sử dụng đối đồng điều vành của

Mac Lane để nghiên cứu các Ann-hàm tử, xây dựng Ann-phạm trù cảm sinh

bởi một Ann-hàm tử và xem xét mối liên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạm

trù và vành phạm trù; đưa ra định nghĩa Ann-phạm trù bện và một trường hợp

6

riêng của nó là Ann-phạm trù đối xứng, đưa ra các ví dụ, xem xét mối liên hệ

giữa Ann-phạm trù đối xứng với các phạm trù có tính phân phối và phạm trù

tựa vành, xây dựng phạm trù thu gọn cho lớp Ann-phạm trù bện và tiến hành

phân lớp các Ann-phạm trù bện.

III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án bao gồm: Ann-phạm trù, Ann-hàm tử và

tính bện (và một trường hợp riêng của nó là tính giao hoán) trong lớp Ann-phạm

trù.

Phạm vi nghiên cứu của luận án là những bài toán thường gặp của lý thuyết

phạm trù với cấu trúc, đó là bài toán phân lớp, xây dựng các ví dụ cụ thể,

nghiên cứu các tính chất, các mối liên hệ phụ thuộc của các tiên đề và mối liên

hệ giữa những lớp phạm trù có cấu trúc tương tự nhau.

IV. Phương pháp nghiên cứu

Ngoài những phương pháp nghiên cứu lý thuyết truyền thống, trong luận án

này chúng tôi sử dụng triệt để phương pháp biểu đồ của lý thuyết phạm trù

để chứng minh các biểu đồ giao hoán, thay cho các biến đổi đẳng thức trừu tượng.

V. Những đóng góp mới của luận án

Luận án đã đóng góp một số kết quả mới về Ann-phạm trù. Kết quả chính

đầu tiên là sử dụng các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane để tiến hành

giải bài toán tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử (Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.9).

Kết quả chính thứ hai của luận án là xây dựng Ann-phạm trù đối ngẫu của

một Ann-hàm tử (Định lý 2.2.10). Đây là một phép dựng mới ngoài phép dựng

Ann-phạm trù của một đồng cấu chính quy trong bài toán mở rộng vành. Kết

quả tiếp theo của luận án là Định lý 2.3.3. Định lý đã chỉ ra rằng các Ann-phạm

trù là chứa trong các vành phạm trù. Ngược lại, mỗi vành phạm trù khi bổ sung

thêm một tiên đề về sự tương thích với các ràng buộc đơn vị sẽ trở thành một

Ann-phạm trù (Định lý 2.3.4).

Những đóng góp tiếp theo của luận án có liên quan đến tính bện trong lớp

Ann-phạm trù. Định lý 3.1.6 chỉ ra: Tâm của một Ann-phạm trù là một Ann￾phạm trù bện và nói chung không đối xứng, đây là một kết quả tiếp nối các kết

quả về tâm của một phạm trù monoidal đã được đưa ra trong [21]. Trên cơ sở

xem xét mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng với các phạm trù có tính phân

7

phối và phạm trù tựa vành, luận án đã chỉ ra sự tương đương của hai hệ tiên đề:

phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành (Mệnh đề 3.13), một khẳng

định được A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall đưa ra nhưng không có chứng minh [16].

Trong chương 4 của luận án, trước hết chúng tôi chứng minh sự tương đẳng

của mỗi Ann-phạm trù bện với một Ann-phạm trù bện kiểu (R, M) (Mệnh đề

4.1.6, Mệnh đề 4.1.7). Từ đây, kết hợp với các kết quả về sự tồn tại và phân lớp

các Ann-hàm tử bện (Định lý 4.2.6), chúng tôi đưa ra và chứng minh các định

lý phân lớp cho các Ann-phạm trù bện (Định lý 4.3.1, Định lý 4.3.2). Những

kết quả này cùng kiểu với những kết quả về sự phân lớp các nhóm phạm trù

bện phân bậc, và một trường hợp riêng của nó là phạm trù Picard phân bậc, đã

được A. Cegarra và E. Khmaladze đưa ra năm 2007 ([9, 10]).

VI. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án

Bên cạnh những công trình nghiên cứu về những lớp phạm trù có hai cấu trúc

monoidal đã được đưa ra bởi M. L. Laplaza, A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall, N.

T. Quang, M. M. Kapranov và V. A. Voevodsky, M. Jibladze và T. Pirashvili,

V. Schmitt, M. Dupont, ... luận án đã làm phong phú thêm những kết quả cho

lớp phạm trù này. Đồng thời, luận án đã nghiên cứu về tính bện trong lớp Ann￾phạm trù, điều này trước đây chỉ thực hiện cho lớp phạm trù có một cấu trúc

monoidal. Các kết quả mà luận án đạt được bổ sung thêm các kết quả đã có về

việc chuyển các kết quả của lý thuyết đại số thuần túy lên lý thuyết phạm trù,

góp phần phát triển lý thuyết phạm trù nói riêng cũng như sự phát triển chung

của Toán học hiện đại.

VII. Bố cục của luận án

Ngoài các phần lời cam đoan, lời cảm ơn, một số ký hiệu dùng trong luận

án, mở đầu, kết luận, các công trình có liên quan đến luận án, mục lục, tài liệu

tham khảo và bản danh mục các từ khóa, luận án gồm bốn chương sau.

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trình bày về một số kiến thức và

một số kết quả có liên quan đến luận án, bao gồm: Phạm trù monoidal bện,

phạm trù monoidal đối xứng, Gr-phạm trù, P ic-phạm trù, Ann-phạm trù. Phần

cuối của chương 1 trình bày về hai lớp đối đồng điều: đối đồng điều vành của

Mac Lane và đối đồng điều đại số của Hochschild, để sử dụng cho những kết

quả phân lớp ở chương 2 và chương 4.