Bất đẳng thức trong lớp các hàm phân thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƢƠNG THỊ KIM NGỌC

BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP

CÁC HÀM PHÂN THỨC

Chuyên ngành : Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Đà Nẵng - Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Phản biện 1: TS. LÊ HOÀNG TRÍ

Phản biện 2: TS. HOÀNG QUANG TUYẾN

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ

khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 12 năm 2013.

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài.

Trong toán học, bất đẳng thức có vị trí đặc biệt, không chỉ là những đối tượng

để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như một công cụ đắc lực ứng dụng vào nhiều

lĩnh vực khác nhau.

Đối với chương trình toán ở phổ thông, bất đẳng thức là một chuyên đề khó,

và khó hơn cả với những học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi. Việc giải các

bài toán bất đẳng thức đòi hỏi phải vận dụng kiến thức một cách hợp lý, có tính

sáng tạo, người học cần linh hoạt sử dụng các kỹ thuật để đưa bài toán đến kết

quả nhanh nhất. Học sinh thường gặp khó khăn trong việc định hướng cách giải

các bài toán bất đẳng thức. Do đó, việc phân loại và đưa ra phương pháp giải cụ

thể cho từng dạng là vấn đề chúng ta cần quan tâm. Với ý tưởng này, tôi chọn

cho mình đề tài " Bất đẳng thức trong lớp các hàm phân thức".

Đề tài sẽ đưa hệ thống lý thuyết, bài tập, và phương pháp giải các bài toán

bất đẳng thức trong lớp các hàm phân thức một cách rõ ràng, cụ thể.

2. Mục đích nghiên cứu.

Hệ thống các bài toán về bất đẳng thức trong lớp hàm phân thức, phân dạng

và nêu các ứng dụng của chúng.

Nắm được một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức, tạo ra các bất đẳng thức

mới từ bất đẳng thức đã biết.

3. Đối tượng nghiên cứu.

− Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu các bất đẳng thức dạng phân tuyến tính, dạng phân thức bậc hai và

một số dạng tổng quát, bất đẳng thức phân thức của các đa thức đối xứng, một

số dạng bất đẳng thức hàm thường gặp trong hàm phân thức, và các ứng dụng

liên quan.

− Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu từ các tài tiệu, giáo trình của GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu , các tạp

chí Toán học , và một số trang web về Toán học...

2

4. Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp tự nghiên cứu các tư liệu gồm: sách giáo khoa phổ thông trung

học, các tài liệu tham khảo về bất đẳng thức, tạp chí toán học tuổi trẻ, các đề

tài nghiên cứu có liên quan....

Phương pháp tiếp cận lịch sử, sưu tầm, phân tích, tổng hợp tư liệu và tiếp

cận hệ thống.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài.

Đề tài đưa ra hệ thống lý thuyết, bài tập, và phương pháp giải các bất đẳng

thức trong lớp các hàm phân thức. Giải quyết hàng loạt các bài toán chứng minh

bất đẳng thức khó ở trung học phổ thông.

6. Cấu trúc của luận văn.

Mở đầu

Chương 1. Một số tính chất của hàm phân thức.

1.1. Các tính chất cơ bản của phân số.

1.2. Các hàm dạng phân tuyến tính, dạng phân thức bậc hai.

1.3. Phân thức nhận giá trị nguyên và phân thức nhận giá trị hữu tỷ.

Chương 2. Một số lớp bất đẳng thức hàm của hàm phân thức.

2.1. Sử dụng tính chất của phân số để chứng minh bất đẳng thức phân thức.

2.2. Một số dạng toán về phân thức ba biến với tích các biến không đổi.

2.3. Các bài toán cực trị hàm phân thức.

Chương 3. Bất đẳng thức dạng phân thức của các đa thức đối xứng.

3.1. Đa thức đối xứng.

3.2. Các bất đẳng thức cơ bản và áp dụng giải bài toán bất đẳng thức phân

thức của đa thức đối xứng.

3.3. Bất đẳng thức dạng phân thức giữa các hàm đối xứng sơ cấp Viète.

Kết luận.

3

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ TÍNH CHẤT

CỦA HÀM PHÂN THỨC

1.1 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

Định nghĩa 1.1 ([2]). Cho vành A là một vành giao hoán có đơn vị. Ta gọi đa

thức (trên A) bậc n biến x là một biểu thức có dạng

Pn(x) = anx

n + an−1x

n−1 + . . . + a1x + a0, (an 6= 0)

trong đó các ai ∈ A được gọi là hệ số, an là hệ số bậc cao nhất và a0 là hệ số tự

do của đa thức.

Nếu ai = 0, i = 1, 2, . . . , n − 1 và a0 6= 0 thì ta có bậc của đa thức là 0.

Nếu ai = 0, ∀i = 0, 1, . . . , n thì ta gọi bậc của đa thức là −∞ và gọi là đa

thức không (nói chung thì người ta không định nghĩa bậc đối với đa thức không).

Tập hợp tất cả các đa thức với hệ số lấy trong vành A được ký hiệu là A[x].

Khi A = K là một một trường thì K[x] là một vành giao hoán có đơn vị. Ta

thường xét A = Z, hoặc A = Q, hoặc A = R, hoặc A = C. Khi đó ta có các

vành đa thức tương ứng là Z[x], Q[x], R[x], C[x]. Trong luận văn này ta tập trung

khảo sát các đa thức A[x] với A = R.

Định nghĩa 1.2 ([2]). Biểu thức f(x) = P(x)

Q(x)

, trong đó P(x), Q(x) là các đa

thức của biến x trên trường số K (Q(x) 6= 0) được gọi là một phân thức hữu tỉ

(gọi tắc là phân thức) của biến x (hay đối số trên x) trên trường số K. Giá trị

của f(x) được xác định với mọi x thuộc K trừ các giá trị của f(x) mà tại đó

mẫu thức Q(x) triệt tiêu. Nói cách khác nếu gọi S là tập nghiệm của Q(x) trên

K thì miền xác định của phân thức f(x) là K \ S.

Mở rộng: Ta định nghĩa phân thức hữu tỉ trên trường K của các biến x1, x2, . . . , xn

là biểu thức

f(x1, x2, . . . , xn) = P(x1, x2, . . . , xn)

Q(x1, x2, . . . , xn)

.

Trong đó P(x1, x2, . . . , xn), Q(x1, x2, . . . , xn) là các đa thức n biến x1, x2, . . . , xn

trên trường K, với Q(x1, x2, . . . , xn) 6= 0 .

Nếu gọi S là tập các bộ số x1, x2, . . . , xnthuộc Kn mà tại đó Q(x1, x2, . . . , xn)

triệt tiêu thì miền xác định của phân thức f(x1, x2, . . . , xn) là Kn \ S.

4

Tập các đa thức là một tập con của các phân thức hữu tỉ trên cùng một trường

số, vì mỗi đa thức có thể xem là một phân thức hữu tỉ với mẫu thức bằng 1.

1.1.1 Sự bằng nhau của các phân thức và tính chất về nghiệm

của các phân thức

Định nghĩa 1.3. Hai phân thức hữu tỉ của cùng số biến (x1, x2, . . . , xn) là

f(x1, x2, . . . , xn) := P(x1, x2, . . . , xn)

Q(x1, x2, . . . , xn)

và

f(x1, x2, . . . , xn) := M(x1, x2, . . . , xn)

N(x1, x2, . . . , xn)

được gọi là bằng nhau trên trường số K, tức

P(x1, x2, . . . , xn)

Q(x1, x2, . . . , xn)

=

M(x1, x2, . . . , xn)

N(x1, x2, . . . , xn)

khi và chỉ khi

P(x1, x2, . . . , xn)N(x1, x2, . . . , xn) = Q(x1, x2, . . . , xn)M(x1, x2, . . . , xn).

Quan hệ bằng nhau của các phân thức hữu tỉ là quan hệ tương đương (có

tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu), do đó ta có thể hiểu một phân thức chính là

một lớp tương đương các phân thức bằng nhau. Vì vậy, khi viết một phân thức

hữu tỉ là ta viết một phần tử đại diện của lớp tương đương. Điều đó cũng giống

như các phân thức hữu tỉ, khi ta viết một số hữu tỉ chính là viết phần tử đại

diện của một lớp tương đương chứa số đó.

Định lý 1.1 (Định lý Bezont). Nếu α là nghiệm của đa thức f ∈ R[x] thì f(x)

chia hết cho (x − α) trong R[x].

Hệ quả 1.1. Với mọi f ∈ R,deg f = n ≥ 1 ta luôn có

(f(x) − f(α)).

.

.(x − α).

Định lý 1.2 ([2]). Cho hàm phân thức hữu tỉ P(x)

Q(x)

khi đó luôn tồn tại đa thức

R(x) có deg R(x) = deg P(x) − 1 sao cho

P(x)

Q(x)

−

P(x0)

Q(x0)

= (x − x0)

R(x)

Q(x)

.

5

Hệ quả 1.2. Phân thức hữu tỉ P(x)

Q(x)

có nghiệm x = x0 thì P(x)

Q(x)

= (x −

x0)

P1(x)

Q(x)

, với P1(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của P(x).

1.1.2 Phân thức tối giản. Rút gọn phân thức

Định lý 1.3. Nếu cả tử và mẫu của một phân thức hữu tỉ có ước chung không

tầm thường là M(x) thì khi chia cả tử và mẫu cho ước chung này ta được một

phân thức hữu tỉ hằng đẳng với phân thức đã cho, tức là PM

QM =

P

Q

.

Định nghĩa 1.4. Phân thức hữu tỉ P

Q

được gọi là tối giản nếu các đa thức P

và Q nguyên tố cùng nhau.

Chẳng hạn ax + b

(x

2 + px + q)

2

với a, b, p, q là các số thực và (p

2 − 4q) < 0 là tối

giản trong trường số thực.

Biến đổi một phân thức thành một phân thức hằng đẳng với nó gọi là biểu

diễn phân thức dưới dạng chính tắc.

Chẳng hạn, dạng chính tắc của phân thức x

2 − 4

x

2 − 4x + 4

là x + 2

x − 2

.

1.1.3 Phân tích phân thức hữu tỉ một biến thành tổng các

phân thức tối giản

Định nghĩa 1.5 ([2]). Một phân thức hữu tỉ trên R có dạng chính tắc là

P(x)

Q(x)

=

Bmx

m + Bm−1x

m−1 + . . . + B0

Anx

n + An−1x

n−1 + . . . + A0

,

với Ai

, Aj ∈ R;i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n.

Giả sử rằng các phân thức ở tử thức và mẫu thức là các đa thức nguyên tố cùng

nhau ((P(x), Q(x)) = 1).

Phân thức được gọi là tối giản nếu tử thức và mẫu thức là các đa thức nguyên

tố cùng nhau ((P(x), Q(x)) = 1).

Nếu bậc của tử thức thấp hơn bậc của mẫu thức thì phân thức được gọi là

thực sự, trong trường hợp ngược lại gọi là phân thức không thực sự.

Nếu phân thức không là thực sự thì bằng cách chia tử thức cho mẫu thức

(theo qui tắc chia đa thức), có thể biểu diễn phân thức đó dưới dạng tổng của

một đa thức và một phân thức thực sự nào đó.

Q(x)

P(x)

= M(x) + F(x)

f(x)

.

6

Trong đó M(x) là đa thức, còn F(x)

f(x)

là phân thức thực sự.

Các phân thức thực sự dạng

I. A

x − a

.

II. A

(x − a)

k

, (k ∈ N, k ≥ 2).

III. Ax + B

(x

2 + px + q)

.

IV. Ax + B

(x

2 + px + q)

k

, k ∈ N, k ≥ 2.

Các nghiệm của mẫu thức đều không thực, trong đó a, p, q, A, B là các hệ số

thực và p

2 − 4q ≤ 0, được gọi là phân thức đơn giản nhất loại I, II, III, IV.

Định lý 1.4. Cho một phân thức hữu tỉ tối giản thực sự P(x)

Q(x)

. Giả sử x = a

là nghiệm bội k của mẫu thức, tức là f(x) = (x − a)

k

f1(x), trong đó f1(x) 6= 0.

Có thể biểu diễn phân thức đã cho dưới dạng tổng của 2 phân thức thực sự

khác nhau như sau

Q(x)

f(x)

=

A

(x − a)

k

+

F1(x)

(x − a)

k−1f1(x)

.

Trong đó A là hệ số khác không, F1(x) là một đa thức có bậc thấp hơn bậc

của mẫu thức (x − a)

k−1

f1(x).

Hệ quả 1.3. Nếu mẫu thức f(x) có nghiệm thực x = a bội cấp k thì có thể

viết

Q(x)

P(x)

=

A

(x − a)

k

+

A1

(x − a)

k−1

+ . . . +

Ak−1

(x − a)

+

Fk(x)

f1(x)

.

Trong đó Fk(x)

f1(x)

là một phân thức tối giản.

1.2 HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY

1.2.1 Hàm phân thức chính quy hữu tỉ một biến

Định nghĩa 1.6 ([2]-[3], Hàm phân thức chính quy một biến). Hàm số f(x)(6≡

0) xác định trên tập R+ được gọi là phân thức chính quy, nếu

f(x) = X

n

k=1

akx

αk

, (1.1)

7

trong đó

ak ≥ 0, k = 1, 2, . . . , n;

X

n

k=1

akαk = 0.

Ví dụ 1.1. Dễ dàng kiểm chứng hàm số sau đây là phân thức chính quy

f1(x) = 9x + x

2 + 5

1

x

+ 2

1

x

3

.

Định lý 1.5. Cho bộ số dương a1, a2, . . . , an và bộ số α1, α2, . . . , αn sao cho

X

n

k=1

akαk = 0.

Khi đó hàm số

f(x) = X

n

k=1

akx

αk

; x > 0

đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1. Tức là min

x>0

f(x) = f(1) = a1 + a2 + . . . + an.

Tính chất 1.1. Nếu f(x) là các hàm phân thức chính quy thì f(x) > 0 với

mọi x > 0.

Tính chất 1.2. Nếu f(x) và g(x) là các hàm phân thức chính quy thì với mọi

cặp số dương α, β, hàm số

h(x) := αf(x) + βg(x)

cũng là hàm phân thức chính quy.

Tính chất 1.3. Nếu f(x) và g(x) là các hàm phân thức chính quy thì

h(x) := f(g(x))

cũng là hàm phân thức chính quy.

Tính chất 1.4. Nếu f(x) là hàm phân thức chính quy, thì hàm số

h(x) := [f(x)]m, m ∈ N,

cũng là hàm phân thức chính quy.

1.2.2 Hàm phân thức chính quy hữu tỉ nhiều biến

8

Định nghĩa 1.7 ([2]-[3], Hàm phân thức chính quy hữu tỉ nhiều biến). Hàm số

f(x1, x2, . . . , xm) 6≡ 0 được gọi là hàm phân thức chính quy hữu tỉ m biến, nếu

f(x1, x2, . . . , xm) = X

n

k=1

akx

αk1

1

x

αk2

2

. . . xαkm

m , (1.2)

trong đó







ak ∈ N, αkj ∈ Z, k = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , m,

a1α11 + a2α21 + · · · + anαn1 = 0,

a1α12 + a2α22 + · · · + anαn2 = 0,

. . . . . . . . . ,

a1α1m + a2α2m + · · · + anαnm = 0.

(1.3)

Ví dụ 1.2. Hàm số sau đây là hàm phân thức chính quy hai biến

f(x, y) = 3x

2

y

3 + 2x + 3y +

4

x

2y

3

, x > 0, y > 0.

Tính chất 1.5. Hàm số f(x1, x2, . . . , xm) là hàm phân thức chính quy hữu tỉ

khi và chỉ khi các hàm phân thức thành phần của f(1, 1, . . . , xk, 1, . . . , 1) cũng

là các hàm phân thức chính quy hữu tỉ.

Định nghĩa 1.8. Giả sử hàm số f(x1, x2, . . . , xn) là hàm phân thức chính quy,

tức f(x1, x2, . . . , xn) thỏa mãn điều kiện (1.2) và (1.3). Khi đó các hàm số

hj (xj ) := X

m

k=1

akx

αkj

j

, j = 1, 2, . . . , n

được gọi là phân thức thành phần biến xj của f(x1, x2, . . . , xn).

Định lý 1.6. Với mỗi hàm phân thức chính quy f(x1, x2, . . . , xn) trên tập

x1 > 0, x2 > 0, . . . , xn > 0

dạng

f(x1, x2, . . . , xn) = X

m

k=1

akx

αk1

1

x

αk2

2

. . . x

αkn

n , ak ≥ 0, k = 1, 2, . . . , n,

trong đó







ak ∈ N, αkj ∈ Z, k = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , m,

a1α11 + a2α21 + · · · + amαm1 = 0,

a1α12 + a2α22 + · · · + amαm2 = 0,

. . . . . . . . . ,

a1α1m + a2α2m + · · · + amαmn = 0,

(1.4)

9

ta đều có f(x1, x2, . . . , xn) ≥

P

n

k=1

ak.

1.2.3 Một số bài toán liên quan

Bài toán 1.1 (Bất đẳng thức Holder). Cho a, b, p, q > 0 sao cho

1

p

+

1

q

= 1.

Chứng minh rằng

a

p

+

b

q

≥ a

1

p b

1

q .

Bài toán 1.2 (Bất đẳng thức Holder suy rộng). Cho hai dãy số không âm

ai

, bi

;i = 1, 2, . . . , n và hai số p, q > 0 sao cho

1

p

+

1

q

= 1.

Chứng minh rằng

X

n

k=1

a

p

k

!

1

p

X

n

k=1

b

p

k

!

1

q

≥

X

n

k=1

akbk.

1.3 CÁC HÀM DẠNG PHÂN TUYẾN TÍNH, DẠNG PHÂN

THỨC BẬC 2

1.3.1 Các hàm dạng phân tuyến tính

Bài toán 1.3. Cho hàm phân thức hữu tỉ

f(x) = ax + b

cx + d

∈ Q,

với mọi x ∈ Z.

Chứng minh rằng f(x) có thể biểu diễn được dưới dạng

f(x) = Ax + B

Cx + D

, với A, B, C, D ∈ Z. (1.5)

Bài toán 1.4 (Dự tuyển IMO 1971). Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d dương

ta đều có

a + c

b + c

+

b + d

b + c

+

c + a

c + d

+

d + b

d + a

≥ 4.