KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ pot

www.VNMATH.com

Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN

I. Hệ phương trình đối xứng loại 1:

Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng.

− Phương trình n ẩn x1, x2, ..., xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay xi bởi xj; xj bởi xi thì phương trình

không thay đổi.

− Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:

x1 + x2 + ... + xn

x1x2 + x1x3 + ... + x1xn + x2x1 + x2x3 + ... + xn-1xn

...............................

x1x2 ... xn

− Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.

− Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét.

* Nếu đa thức F(x) = a0x

n

+ a1x

n−1

+... an, a0 ≠ 0, ai ∈ P có nhgiệm trên P là c1, ..., cn thì:

1

1 2

0

2

1 2 1 3 1 2 1 2 3 -1

0

1 1

0

...

... ...

...............................

... ( 1) .

n

n n n

n n

n

a

c c c

a

a

c c c c c c c c c c c c

a

a

c c c

a



+ + + = − 





 + + + + + + + =









 = −

 (Định lý Viét tổng quát)

Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:

A. LÝ THUUYẾT

1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2:

Nếu phương trình bậc hai ax2

+ bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì:

1 2

1 2 .

b

S x x

a

c

P x x

a



= + = − 



 = = 

Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 có 1 2

1 2 .

x x S

x x P

 + = 

 =

thì x1, x2 là nghệm của phương trình X2 − SX + P = 0.

2. Định nghĩa:

( , ) 0

( , ) 0

f x y

g x y

 =



 =

, trong đó

( , ) ( , )

( , ) ( , )

f x y f y x

g x y g y x

 =



 =

3.Cách giải:

Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).

Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2

S P ≥ 4 .

Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y.

Chú ý:

+ Cần nhớ: x

2

+ y

2

= S

2

– 2P, x

3

+ y

3

= S

3

– 3SP.

+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.

+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.

4. Bài tập:

Loại 1: Giải hệ phương trình

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình

2 2

3 3

30

35

x y xy

x y

 + = 

 + =

.

Thái Thanh Tùng – Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số 1