Không gian metric tvs-nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHAN THỊ HÂN

KHÔNG GIAN METRIC TVS - NÓN

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 8460102

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng – Năm 2019

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Sư Phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Phản biện 1:

TS. Lê Hoàng Trí

Phản biện 2:

PGS.TS. Trần Văn Ân

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại trường Đại học Sư Phạm - Đại

học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng 05 năm 2019

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

− Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

− Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Năm 2007, Huang và Zhang đã giới thiệu không gian metric nón và đã thu

được nhiều kết quả thú vị. Một vấn đề đặt ra rất tự nhiên rằng, một số kết quả

của không gian metric còn đúng cho không gian metric nón hay không, đây thực

sự là một câu hỏi thú vị đã thu hút nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm.

Nhờ đó, một số tác giả đã thu được nhiều kết quả liên quan. Sau đó, Khani và

Pourmahdian đã chứng minh được rằng mỗi không gian metric nón là metric

hóa được. Qua đó cho thấy rằng sự mở rộng không gian metric thành không gian

metric nón là tầm thường.

Gần đây, Du đã giới thiệu không gian metric TVS-nón bằng cách thay thế

không gian Banach bởi không gian vector topo trong định nghĩa không gian

metric nón của Huang và Zhang. Từ đó đến nay, không gian metric TVS-nón đã

dấy lên mối quan tâm của nhiều học giả toán học và qua đó đã thu được những

kết quả thú vị về không gian metric TVS-nón.

Các tác giả đã nghiên cứu topo của không gian metric TVS-nón và không gian

con của không gian metric TVS-nón và đã thu được một vài kết quả tương tự

những kết quả của không gian metric.

Nhằm hiểu rõ những vấn đề trên, cùng với sự định hướng của thầy giáo TS.

Lương Quốc Tuyển, chúng tôi đã quyết định chọn nghiên cứu đề tài: “Không

gian metric TVS-nón”. Chúng tôi hy vọng đây là một tài liệu tham khảo tốt cho

những học giả quan tâm đến không gian metric TVS-nón.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu khái niệm và một vài tính chất cơ bản của không gian metric

3

TVS-nón.

3. Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình thực

hiện đề tài.

• Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức.

• Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả nghiên cứu liên quan đến

“Không gian metric TVS-nón”.

• Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.

• Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn.

4. Đối tượng nghiên cứu

Không gian metric TVS-nón.

5. Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu khái niệm và một vài tính chất cơ bản của không gian metric

TVS-nón.

6. Đóng góp của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, là tài liệu tham khảo cho những học giả

quan tâm đến mảng này.

CHƯƠNG 1

KHÔNG GIAN VECTOR TOPO

Trong chương này, trước tiên chúng tôi dành cho việc trình bày một số khái

niệm và tính chất của không gian topo. Sau đó, chúng tôi trình bày khái niệm

và chứng minh chi tiết một số kết quả của không gian vector topo nhằm phục

vụ và hiểu thấu đáo hơn việc chứng minh Chương 2.

1.1 Không gian topo

1.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập hợp và τ là họ gồm các tập con nào đó của

X thỏa mãn các điều kiện sau.

(a) ∅, X ∈ τ ;

(b) Nếu U, V ∈ τ , thì U ∩ V ∈ τ ;

(c) Nếu {Uα}α∈Λ ⊂ τ , thì S

α∈Λ

Uα ∈ τ .

Khi đó,

(1) τ được gọi là một topo trên X.

(2) Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian topo.

(3) Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở.

5

(4) Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó.

1.1.2 Nhận xét. Đối với không gian topo (X, τ ), ta có

(1) ∅, X là các tập hợp mở;

(2) Giao hữu hạn các tập hợp mở là tập hợp mở;

(3) Hợp tùy ý các tập hợp mở là tập hợp mở;

(4) Giao tùy ý tập hợp mở có thể không mở.

1.1.3 Định nghĩa. Cho A là tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó, tập con

U của X được gọi là một lân cận của tập A nếu tồn tại V ∈ τ sao cho

A ⊂ V ⊂ U.

Ngoài ra, nếu U ∈ τ , thì ta nói rằng U là lân cận mở của A. Đặc biệt, nếu A = {x},

thì ta nói rằng U là lân cận của x.

1.1.4 Nhận xét. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo. Khi đó,

(1) Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập mở, nhưng mỗi tập

mở bất kỳ là lân cận của mọi điểm thuộc nó;

(2) Giao hữu hạn các lân cận của x cũng là một lân cận của x. Tuy nhiên,

giao tùy ý các lân cận của x có thể không là lân cận của x;

(3) U ∈ τ khi và chỉ khi với mọi x ∈ U, tồn tại lân cận V của x sao cho

x ∈ V ⊂ U,

khi và chỉ khi U là lân cận của mọi điểm thuộc nó.

1.1.5 Định nghĩa. Tập con A của không gian topo (X, τ ) được gọi là tập hợp

đóng trong X nếu X\A ∈ τ .

1.1.6 Nhận xét. (1) ∅, X là các tập hợp đóng;

(2) Hợp hữu hạn các tập hợp đóng là tập hợp đóng;

(3) Giao tùy ý các tập hợp đóng là tập hợp đóng;

(4) Hợp tùy ý các tập con đóng có thể không đóng.

1.1.7 Định nghĩa. Giả sử A là tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó,

(1) Phần trong của A là hợp của tất cả các tập con mở nằm trong A. Ta ký

hiệu IntA.

(2) Bao đóng của A là giao của tất cả các tập con đóng trong X chứa A. Ta

ký hiệu A.

1.1.8 Nhận xét. Giả sử A, B là các tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó,

các khẳng định sau là đúng.

(1) IntA là tập con mở lớn nhất nằm trong A;

(2) A mở khi và chỉ khi IntA = A;

(3) Nếu A ⊂ B, thì IntA ⊂ IntB;

(4) A là tập con đóng nhỏ nhất chứa A;

(5) A đóng khi và chỉ khi A = A;

(6) Nếu A ⊂ B, thì A ⊂ B.

1.2 T1-không gian và T2-không gian

1.2.1 Định nghĩa. Cho không gian topo (X, τ ). Khi đó,

(1) X được gọi là T1-không gian nếu với mọi x, y ∈ X mà x 6= y, tồn tại các

lân cận U của x và V của y sao cho x /∈ V và y /∈ U.

(2) X được gọi là T2-không gian hay không gian Hausdorff nếu với mọi x,

y ∈ X mà x 6= y, tồn tại các lân cận U của x và V của y sao cho

U ∩ V = ∅.

1.2.2 Định lí. Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là đúng.

(1) X là T1-không gian khi và chỉ khi tập một điểm {x} là đóng trong X với

mọi x ∈ X;

(2) Mỗi T2-không gian là T1-không gian. Tuy nhiên, chiều ngược lại nói chung

không đúng.

1.3 Không gian compact

1.3.1 Định nghĩa. Giả sử A là tập con của không gian topo (X, τ ) và U là họ

gồm các tập con nào đó của X. Khi đó,

(1) U được gọi là một phủ của A nếu A ⊂

S

{U : U ∈ U}.

(2) V được gọi là phủ con của U phủ A nếu V ⊂ U và V phủ A.

(3) Một phủ U của A được gọi là phủ mở của A nếu mỗi phần tử của U là

tập con mở trong X.

1.3.2 Định nghĩa. Giả sử K là tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó, K

được gọi là tập con compact trong X nếu mỗi phủ mở của K, tồn tại phủ con

hữu hạn. Nếu K = X, thì ta nói rằng X là không gian compact.

1.3.3 Nhận xét. Đối với không gian topo X, các khẳng định sau là đúng.

(1) Hợp hữu hạn các tập con compact là tập con compact;

(2) Mỗi tập con đóng của không gian compact là tập compact;

(3) Nếu X là T2-không gian, thì mỗi tập con compact của X đều đóng.

1.4 Ánh xạ liên tục

1.4.1 Định nghĩa. Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) là ánh xạ từ không gian tôpô (X, τ )

vào không gian (Y, σ). Khi đó,

(1) f được gọi là ánh xạ liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu với mỗi lân cận V của

f(x0) trong Y , tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho f(U) ⊂ V .

(2) f gọi là liên tục trên X (hay liên tục) nếu f liên tục tại mọi điểm của X.

1.4.2 Định lí. Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) là ánh xạ từ không gian topo (X, τ ) vào

không gian (Y, σ). Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.

(1) f liên tục;

(2) Tạo ảnh của mỗi tập hợp mở trong Y là một tập hợp mở trong X;

(3) Tạo ảnh của mỗi tập hợp đóng trong Y là một tập hợp đóng trong X;

(4) f(A) ⊂ f(A) với mọi A ⊂ X;

(5) f

−1

(B) ⊂ f

−1

(B) với mọi B ⊂ Y ;

(6) f

−1

(IntB) ⊂ Intf

−1

(B) với mọi B ⊂ Y .

1.4.3 Định lí. Giả sử X, Y , Z là các không gian topo và

f : X → Y ; g : Y → Z

là các ánh xạ liên tục. Khi đó,

h = g ◦ f : X → Z

cũng là một ánh xạ liên tục.

1.4.4 Định lí. Giả sử f : X → Y là ánh xạ liên tục từ không gian topo X vào

không gian topo Y và K là tập con compact của X. Khi đó, f(K) là tập con

compact trong Y .

1.4.5 Định nghĩa. Giả sử f : X → Y là một ánh xạ từ không gian topo X vào

không gian topo Y . Khi đó,

(1) f được gọi là một ánh xạ mở nếu f(A) là tập hợp mở trong Y với mọi tập

hợp mở A trong X.

(2) f được gọi là một ánh xạ đóng nếu f(A) là tập hợp đóng trong Y với mọi

tập hợp đóng A trong X.

(3) f được gọi là một phép đồng phôi nếu f là một song ánh đồng thời f và

f

−1 đều là các ánh xạ liên tục.

1.5 Không gian vector topo

1.5.1 Định nghĩa. Cho Φ = R hoặc Φ = C, E là không gian vector trên trường

Φ với phần tử không được ký hiệu là θ ∈ E và τ là một topo trên E. Khi đó, E

được gọi là một không gian vector topo nếu

(1) Phép cộng (x, y) 7→ x + y liên tục, nghĩa là với mọi lân cận W của x + y,

tồn tại các lân cận U của x, V của y sao cho U + V ⊂ W.

(2) Phép nhân vô hướng (α, x) 7→ αx liên tục, nghĩa là với mọi lân cận W của

αx, tồn tại các lân cận U của x và r > 0 sao cho

B(α, r)U =



βx : x ∈ U, β ∈ Φ sao cho |β − α| < r

⊂ W.

(3) E là T1-không gian.

1.5.2 Mệnh đề. Giả sử E là không gian vector topo, a ∈ E và α ∈ Φ mà α 6= 0.

Khi đó, phép tịnh tiến x 7→ x + a và phép vị tự x 7→ αx là các phép đồng phôi.

1.5.3 Định lí. Giả sử f : X → Y là một song ánh liên tục từ không gian topo X

vào không gian topo Y . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương.

(1) f đồng phôi;

(2) f là ánh xạ mở;

(3) f là ánh xạ đóng.

1.5.4 Hệ quả. Giả sử X, Y là hai không gian topo và f : X → Y là một phép

đồng phôi. Khi đó,

(1) f(A) = f(A);

(2) f(IntA) = Intf(A).

1.5.5 Hệ quả. Giả sử E là không gian vector topo, a ∈ E, α ∈ Φ mà α 6= 0 và

A ⊂ E. Khi đó,

(1) αA = αA; a + A = a + A;

(2) Int(αA) = αIntA; Int(a + A) = a + IntA;

(3) A mở khi và chỉ khi a + A mở;

(4) U là lân cận mở của θ ∈ E khi và chỉ khi αU là lân cận mở của θ ∈ E.

1.5.6 Định nghĩa. Giả sử E là không gian vector topo và A ⊂ E. Khi đó, A được

gọi là đối xứng nếu −A = A.

1.5.7 Nhận xét. Giả sử E là không gian vector topo. Khi đó,

(1) Nếu A ⊂ E, α, β ∈ Φ, thì (α + β)A ⊂ αA + βA. Đẳng thức không xảy ra.

(2) Nếu A, B ⊂ E và α ∈ Φ, thì α(A + B) = αA + αB.

1.6 Tính tách được trong không gian vector topo

1.6.1 Bổ đề. Giả sử E là không gian vector topo và W là lân cận của θ ∈ E.

Khi đó, tồn tại lân cận mở, đối xứng U của θ ∈ E sao cho

U + U ⊂ W.

1.6.2 Nhận xét. Giả sử E là không gian vector topo. Khi đó, với mọi lân cận W

của θ ∈ E, tồn tại lân cận mở, đối xứng V của θ ∈ E sao cho

V + V + V ⊂ V + V + V + V ⊂ W.

1.6.3 Định lí. Giả sử E là không gian vector topo, F là tập con đóng và K là

tập con compact sao cho K ∩ F = ∅. Khi đó, tồn tại lân cận V của θ ∈ E sao cho

(K + V ) ∩ (F + V ) = ∅.