Không gian metric tuyến tính và các tính chất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ YẾN

KHÔNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH

VÀ CÁC TÍNH CHẤT

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Hoàng Trí

Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Gia Định

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 15 tháng

12 năm 2013.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

- Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Một trong các hướng cơ bản của giải tích là nghiên cứu các

không gian và các tính chất của nó, trong đó không gian tuyến tính

được nhiều nhà toán học nghiên cứu. Khái niệm về không gian này

được đưa ra bởi Fréchet vào năm 1926, sau đó được Banach và các

cộng sự của ông phát triển thêm và đạt nhiều kết quả như: Định lí

Banach về ánh xạ mở, định lí Banach- Steinhaus về chặn đều,...

những kết quả đó không những quan trọng với môn giải tích hàm mà

còn ứng dụng với nhiều môn khác của toán học.

Các giáo trình về giải tích hàm trong chương trình Đại học

mọi người thường tìm hiểu các không gian tuyến tính định chuẩn,

không gian Banach một số định lí liên quan đến các không gian này

không biết có được mở rộng sang các không gian tổng quát hơn hay

không? Vì vậy luận văn này tìm hiểu về các không gian tổng quát

hơn như không gian Metric tuyến tính.

Với mục đích tìm hiểu, cụ thể hóa các chứng minh, các ví dụ

cũng như trình bày chi tiết quá trình chứng minh định lý, góp phần

bổ sung kiến thức về không gian Metric tuyến tính vốn ít có cơ hội

tiếp cận trong quá trình học đại học, đây là mục tiêu chính của luận

văn này.

2. Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về không gian Metric tuyến tính, không gian

modular, không gian Metric tuyến tính đầy đủ.

Tìm hiểu Định lý Banach-Steinhaus cho các − không gian.

Tìm hiểu sự liên tục của các toán tử ngược trong − không

gian.

Tìm hiểu các cơ sở của các − không gian.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

− Đối tượng nghiên cứu: Tìm hiểu về không gian Metric

tuyến tính, không gian Metric tuyến tính đầy đủ, không gian

2

modular, sự liên tục của các toán tử ngược trong các − không gian

và các cơ sở của các − không gian.

− Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu từ các tài tiệu về không

gian Metric tuyến tính, các tạp chí Toán học và một số trang web về

Toán học...

4. Phương pháp nghiên cứu

Thu thập và hệ thống các tài liệu về không gian Metric tuyến

tính có liên quan đến nội dung đề tài.

Phân tích, khảo sát các tư liệu thu thập được.

Trao đổi với giáo viên hướng dẫn.

5. Cấu trúc của luận văn

Luận văn được trình bày qua bốn chương:

− Chương 1. Các khái niệm cơ bản về không gian Metric

tuyến tính tuyến tính.

Trong chương này trình bày các định nghĩa về không gian

Metric tuyến tính, định nghĩa về chuẩn bất biến, modular, không gian

metric tuyến tính đầy đủ...

− Chương 2. Định lý Banach - Steinhaus cho các − không

gian.

Trong chương này sẽ mở rộng định lí Banach- Steinhaus cho

các không gian Banach sang các không gian Metric tuyến tính đầy

đủ.

− Chương 3. Tính liên tục của toán tử ngược trong không gian

Metric tuyến tính đầy đủ.

Trong chương này sẽ mở rộng nguyên lí ánh xạ mở cho các

không gian Banach sang các không gian Metric tuyến tính đầy đủ.

− Chương 4. Các cơ sở của các − không gian.

Trong chương này định nghĩa cơ sở của các không gian Metric

tuyến tính đầy đủ và tìm hiểu các tính chất liên quan của nó.

3

CHƯƠNG 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ

KHÔNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH

1.1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VỀ KHÔNG GIAN

METRIC TUYẾN TÍNH

Cho là một không gian tuyến tính trên trường số thực. Phép

toán cộng của hai phần tử và được kí hiệu là + . Phép toán

nhân một phần tử với một tích vô hướng được kí hiệu là .

Cho , là các tập con của . Khi đó

A + B ≜ { + | ∈ , ∈ }.

Cho t ∈ ℝ

tA ≜ { | ∈ }.

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử trên có một metric . Không gian

được gọi là không gian metric tuyến tính nếu phép toán cộng và phép

toán nhân với một số là liên tục đối với metric . Tức là

(i) ∀ , ∈ , ∀ > 0, ∃ , > 0: ∀ ∈ mà ( ,

) <

, ∀ ∈ mà ( ,

) < thì ( + , +

) < .

(ii)∀ ∈ , ∀ ∈ ℝ, ∀ > 0, ∃ , > 0: ∀ ∈ ℝ mà | −

| <

, ∀ ∈ mà ( ,

) < thì ( ,

) < .

Có thể gọi là không gian metric tuyến tính hoặc ( , ) là

không gian metric tuyến tính.

Chúng ta nói rằng một tập ⊂ là cân (hay cân bằng) nếu

với mỗi ∈ ℝ,| | ≤ 1 thì ⊂ . Từ đó ta có các nhận xét sau

Nhận xét 1.1.2. cân ⇔ ∀ ∈ [−1 ,1], ∀ ∈ , ∈ .

Nhận xét 1.1.3. Mỗi lân cận của zero đều chứa một lân cận cân

của zero.

Để chứng minh điều này trước hết ta sẽ chứng minh các bổ đề

sau

Bổ đề 1.1.4. Cho là một không gian metric tuyến tính, ∀ ∈ ℝ, ≠

0, mở trong thì mở trong .

4

Bổ đề 1.1.5. Cho là không gian metric tuyến tính, mở trong ,

∈ , + = { + | ∈ } mở trong , cho ⊂ thì +

mở trong .

Ta nói rằng hai ( , ) và ′( , ) là tương đương nếu topo cảm

sinh bởi chúng là trùng nhau hay nói cách khác: ∀ ∈ , ∀ >

0, ∃ ,

> 0

sao cho

{ :

( , ) < } ⊂ { : ( , ) < }.

{ : ( , ) < ′} ⊂ { : ′( , ) < }.

Một dãy { } được gọi là tiến đến một phần tử ∈ (hay hội tụ đến

) đối với metric ( , ) nếu

lim →

( , ) = 0

Ta cũng có thể viết

→

Định nghĩa 1.1.6. Một metric ( , ) được gọi là bất biến nếu

( + , + ) = ( , ); ∀ , , ∈

Định lý 1.1.7. (Kakutani, 1936). Cho ( , ) là không gian metric

tuyến tính. Khi đó tồn tại một metric bất biến

( , ) tương đương

với metric ( , ).

Định nghĩa 1.1.8. Cho là không gian vectơ, một hàm thực không

âm trên . ‖ . ‖: → ℝ được gọi là − chuẩn nếu

(1) ‖ ‖ = 0 ⇔ = 0

(2) ‖ ‖ = ‖ ‖, khi ∈ {−1,1}; ∀ ∈

(3) ‖ + ‖ ≤ ‖ ‖ + ‖ ‖; ∀ , ∈

(4) ∀ ∈ : ∀{

} → 0 thì ‖ ‖ → 0

(5) ∀ ∈ ℝ; ∀ ⊂ mà ‖ ‖ → 0 thì ‖ ‖ → 0

(6) ∀{

} ⊂ ℝ; ∀{

} ⊂ mà → 0, ‖ ‖ →

0 thì ‖ ‖ → 0

Mệnh đề 1.1.9. Nếu ‖ − ‖ → 0 và → thì ‖ − ‖ →

0.

5

Nhận xét 1.1.10. Đặt ( , ) = ‖ − ‖; ∀ , ∈ thì là một

metric.

Chứng minh.

Ta có

(1) ∀ , ∈ , ( , ) = ‖ − ‖ ≥ 0.

( , ) = 0 ⇔ ‖ − ‖ = 0

⟺ − = 0

⟺ =

(2) ∀ , ∈

( , ) = ‖ − ‖ = ‖−1( − )‖ = ‖ − ‖ =

( , ); .

(3) ∀ , , ∈ .

( , ) = ‖ − ‖ = ‖ − + − ‖

≤ ‖ − ‖ + ‖ − ‖

≤ ( , ) + ( , ).

Vậy là một metric.

Nhận xét 1.1.11. Nếu là một không gian metric tuyến tính là

metric bất biến trên . Khi đó ‖ ‖ ≜ ( , 0); ∀ ∈ , ‖ . ‖ là một

− chuẩn.

Chứng minh.

Ta có

(1) ‖ ‖ = 0 ⇔ ( , 0) = 0 ⇔ = 0.

(2) Chứng minh ‖ ‖ = ‖− ‖

Ta có ‖ ‖ = ( , 0)

‖− ‖ = (− , 0) = (− + , 0 + )( là metric bất

biến)

= (0, ) = ( , 0)(tính đối xứng của metric)

= ‖ ‖

(3) Ta chứng minh ‖ + ‖ ≤ ‖ ‖ + ‖ ‖; ∀ , ∈

⇔ ( + , 0) ≤ ( , 0) + ( , 0)

Ta có ( + , 0) = ( , − ) ≤ ( , 0) + (0, − )

6

= ( , 0)

+ ( , 0)

= ‖ ‖ + ‖ ‖

Suy ra ‖ + ‖ ≤ ‖ ‖ + ‖ ‖

(4) ∀ ∈ , → 0 chứng minh ‖ ‖ → 0.

Do phép nhân một vectơ với một vô hướng là liên tục

→ 0 = 0

⇒ ( , 0) → 0

⇒ ‖ ‖ → 0

(5) ∀ ∈ ℝ,∀{

} ⊂ , ‖ ‖ → 0. Chứng minh ‖ ‖ → 0.

Do phép nhân một vectơ với một vô hướng liên tục

→ . 0 = 0

⇒ (

) → 0

⇒ ‖ ‖ → 0

(6) ∀ ∈ ℝ,∀ ∈ à → 0, ‖ ‖ → 0.

Ta chứng minh ‖ ‖ → 0

Do phép nhân một vectơ với một vô hướng là liên tục nên

→ 0.0 = 0

⇒ ( , 0) → 0

⇒ ‖ ‖ → 0

Vậy ‖ . ‖ là một − chuẩn.

Một không gian tuyến tính trang bị một − chuẩn được gọi là

một

∗ − không gian.

Một

∗ − không gian trang bị một − chuẩn ‖ ‖ chúng ta ký

hiệu là ( , ‖ ‖) hoặc ngắn gọn là .

Hai chuẩn ‖ ‖ và ‖ ‖ xác định trên không gian . Chuẩn ‖ ‖

được gọi là mạnh hơn ‖ ‖( tương đương với chuẩn ‖ ‖) nếu metric

bất biến tương ứng mạnh hơn (tương đương với) metric bất biến

tương ứng .

Giả sử là một

∗ − không gian và là một không gian con

tuyến tính của . Rõ ràng rằng là một

∗ − không gian với −

7

chuẩn thu được bởi sự hạn chế của − chuẩn của trên .Những

không gian tuyến tính đóng được gọi là không gian con.

Giả sử ( , ‖ ‖) là một

∗ − không gian và là một không gian

con của . / được gọi là không gian thương (∀ , ∈ , , ⇔

− ∈

Với mỗi ∈ / .Ta định nghĩa chuẩn của lớp như sau:

‖ ‖ = inf{‖ ‖: ∈ }.

Ở đây là một

∗ − không gian.

là một không gian con đóng của .

∀ , ∈ , ≜ − ∈

Suy ra là một quan hệ tương đương, / ≜ /

Ta có / là một không gian vectơ.

∀ ∈ / , ‖ ‖ = ‖ ‖ ∈

Cho ∗ − không gian (

, ‖ ‖

, = 1 . . ). Khi đó

× … × = {( , , … , )⁄ ∈ , ∈ , … , ∈

Là

∗ − không gian với

‖ , , … , ‖ = ‖ ‖ + ‖ ‖ + ⋯ + ‖ ‖ .

1.2. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC VÍ DỤ VỀ KHÔNG GIAN

MODULAR

Cho là một không gian tuyến tính. Một modular là hàm

không âm : → [0; +∞) thỏa mãn

(1) ( ) = 0 ⇔ = 0.

(2) ( ) = ( ) nếu | | = 1.

(3) ( + ) ≤ ( ) + ( ) nếu , ≥ 0, +

= 1.

(4) ( ) → 0 khi → 0 và ( ) < +∞.

và hơn nữa

(5) (

) → 0 khi (

) → 0

thì modular ρ(x) được gọi là metric hóa được.