Không gian metric tuyến tính không lồi địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG



TRẦN BÁ ĐỊNH

KHÔNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH

KHÔNG LỒI ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60. 46. 40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG – NĂM 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HOÀNG TRÍ

Phản biện 1: TS. Lương Quốc Tuyển

Phản biện 2: TS. Nguyễn Đắc Liêm

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học

họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 12 năm 2013

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

 Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

 Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài.

Trong các giáo trình học ở Đại học người ta thường quan tâm đến các

không gian metric tuyến tính lồi địa phương, nhiều định lí liên quan đến

không gian metric tuyến tính lồi địa phương không mở rộng được cho các

không gian metric tuyến tính không lồi địa phương, nên mục đích của đề tài

này là tìm hiểu về các không gian metric tuyến tính không lồi địa phương và

các tính chất của nó.

2. Mục đích nghiên cứu.

- Tìm hiểu một số các không gian metric tuyến tính không lồi địa

phương và một số tính chất của nó.

- Tìm hiểu định lí Krein-Milman về điểm cực biên.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

- Nghiên cứu không gian metric tuyến tính và các tính chất.

- Nghiên cứu về điểm cực biên và các ví dụ của Roberts.

4. Phương pháp nghiên cứu.

- Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức.

- Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả nghiên cứu liên quan

đến “Không gian metric tuyến tính không lồi địa phương”.

- Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.

- Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn.

5. Cấu trúc luận văn.

Luận văn được trình bày qua ba chương:

- Chương 1 trình bày các khái niệm về không gian metric tuyến tính,

không gian modular, mối liên hệ giữa F− chuẩn và không gian modular, các

ví dụ về không gian metric tuyến tính.

- Chương 2 trình bày một số ví dụ về không gian metric tuyến tính

2

không lồi địa phương.

- Chương 3 chủ yếu mô tả nguyên tắc xây dựng không gian F− chuẩn

chứa tập compact lồi nhưng không có điểm cực biên của Roberts đưa ra năm

1976, trình bày chi tiết và bổ sung những ý nhỏ trong chứng minh định lý

Roberts.

3

CHƯƠNG 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

VỀ KHÔNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH

Chương này trình bày các khái niệm về không gian metric tuyến tính, không

gian modular, mối liên hệ giữa F− chuẩn và không gian modular, các ví dụ

về không gian metric tuyến tính.

1.1 ĐỊNH NGHĨA VỀ KHÔNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH

VÀ ĐỊNH LÍ TỒN TẠI METRIC BẤT BIẾN

Cho X là một không gian tuyến tính trên trường số thực.

Phép toán cộng của hai phần tử x và y được kí hiệu: x + y

Phép toán nhân một phần tử x với một tích vô hướng t được kí hiệu: tx

Cho A, B là các tập con của X. Khi đó:

A + B

∆= {a + b/a ∈ A, b ∈ B}

Cho t ∈ R:

tA ∆= {ta/a ∈ A}

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử trên X có một metric ρ. Không gian X được gọi

là không gian metric tuyến tính nếu phép toán cộng và phép toán nhân với

một số là liên tục đối với metric ρ. Tức là:

(i) ∀x0, y0 ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ1, δ2 > 0 : ∀x ∈ X mà ρ(x, x0) < δ1, ∀y ∈ X mà

ρ(y, y0) < δ2 thì ρ(x + y, x0 + y0) < ε.

(ii) ∀x0 ∈ X, ∀t0 ∈ R, ∀ε > 0, ∃δ1, δ2 > 0 : ∀t ∈ R mà |t−t0| < δ1, ∀x ∈ X

mà ρ(x, x0) < δ2 thì ρ(tx, t0x0) < ε

Có thể gọi X là không gian metric tuyến tính hoặc (X, ρ) là không gian

metric tuyến tính.

4

Chúng ta nói rằng một tập U ⊂ X là cân (hay cân bằng) nếu với mỗi t ∈ R,

|t| 6 1 thì tU ⊂ U. Từ đó ta có các nhận xét sau:

Nhận xét 1.1.1. U cân ⇔ ∀t ∈ [−1, 1], ∀u ∈ U, tu ∈ U.

Nhận xét 1.1.2. Mỗi lân cận W của zero đều chứa một lân cận cân U của

zero.

Bổ đề 1.1.1. Cho X là một không gian metric tuyến tính. ∀t ∈ R, t 6= 0, V

mở trong X thì tV mở trong X.

Bổ đề 1.1.2. Cho X là không gian metric tuyến tính, V mở trong X, x0 ∈ X,

U ⊂ X thì x0 + V = {x0 + x|x ∈ V } mở trong X, và U + V mở trong X.

Ta nói rằng hai metric ρ(x, y) và ρ

0

(x, y) là tương đương nếu topo cảm

sinh bởi chúng là trùng nhau hay nói cách khác:

∀x ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ, δ0 > 0 sao cho:

{y : ρ

0

(x, y) < δ} ⊂ {y : ρ(x, y) < ε},

{y : ρ(x, y) < δ0} ⊂ {y : ρ

0

(x, y) < ε}.

Một dãy {xn} được gọi là tiến đến một phần tử x ∈ X (hay hội tụ đến x)

đối với metric ρ(x, y) nếu:

lim

n→∞

ρ(xn, x) = 0

Ta cũng có thể viết: xn −→

ρ

x

Định nghĩa 1.1.2. Một metric ρ(x, y) được gọi là bất biến nếu:

ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y) ∀x, y, z ∈ X

5

Định lý 1.1.1. (Kakutani,1936). Cho (X, ρ) là không gian metric tuyến tính.

Khi đó tồn tại một metric bất biến ρ

0

(x, y) tương đương với metric ρ(x, y)

Để chứng minh Định lí Kakutani, ta sẽ chứng minh một định lí tổng quát

hơn:

Định lý 1.1.2. Cho X là một không gian topo tuyến tính, nếu tồn tại một

hệ cơ bản, đếm được các lân cận của 0 thì có một metric bất biến trong X

tương ứng với topo đã cho.(ở đây tồn tại một hệ cơ bản, đếm được các lân

cận của 0 có nghĩa là tồn tại một họ {Un}n∈N gồm các lân cận của 0 trong

X mà với mỗi lân cận V trong X của 0 ta đều tìm được một số n ∈ N sao

cho Un ⊂ V ).

Nhận xét 1.1.3. Nếu X là một không gian topo tuyến tính khả metric, gọi d

là một metric trên X tương thích với topo đã cho trên X. Khi đó xét {Un}n∈N

với:

Un =



x ∈ X/d(0, x) <

1

n



Rõ ràng {Un}n∈N là một hệ cơ bản đếm được các lân cận của 0.

Ta thấy rằng định lí Kakutani là một hệ quả trực tiếp của định lí trên.

Bổ đề 1.1.3. Cho X là một không gian topo tuyến tính. Khi đó với mỗi lân

cận V của 0 ta đều tìm được một lân cận cân, mở U của 0 mà U ⊂ V

Định nghĩa 1.1.3. Cho X là không gian vectơ, một hàm thực không âm

trên X: k.k : X → R+ được gọi là F-chuẩn nếu:

(1) kxk = 0 ⇔ x = 0

(2) kαxk =kxk, khi α ∈ {−1, 1}; ∀x ∈ X.

(3) kx + yk 6kxk+kyk, ∀x, y ∈ X

(4) ∀x ∈ X : ∀{αn} → 0 thì kαnxk → 0.

6

(5) ∀α ∈ R, ∀xn ⊂ X mà kxnk → 0 thì kαxnk → 0.

(6) ∀{αn} ⊂ R, ∀{xn} ⊂ X mà αn → 0, kxnk → 0 thì kαnxnk → 0.

Mệnh đề 1.1.1. Nếu kxn − xk → 0 và αn → α thì kαnxn − αxk → 0

Nhận xét 1.1.4. Đặt ρ(x, y) =kx − yk, ∀x, y ∈ X thì ρ là một metric.

Nhận xét 1.1.5. Nếu X là một không gian metric tuyến tính ρ là metric

bất biến trên X. Khi đó kxk , ρ(x, 0); ∀x ∈ X, k.k là một F- chuẩn.

Một không gian tuyến tính trang bị một F- chuẩn được gọi là một F

∗−

không gian.

Một F

∗− không gian trang bị một F− chuẩn kxk chúng ta ký hiệu là

(X, k k) hoặc ngắn gọn là X.

Hai chuẩn k k và k k1 xác định trên không gian X. Chuẩn k k1 được gọi là

mạnh hơn k k ( tương đương với chuẩn k k) nếu metric bất biến tương ứng

ρ1 mạnh hơn (tương đương với) metric bất biến tương ứng ρ.

Giả sử X là một F

∗− không gian và Y là một không gian con tuyến tính

của X. Rõ ràng rằng Y là một F

∗− không gian với F

∗− chuẩn thu được bởi

sự hạn chế của F

∗− chuẩn của X trên Y . Những không gian con tuyến tính

đóng được gọi là không gian con.

1.2 KHÔNG GIAN MODULAR

Cho X là không gian tuyến tính. Một modular là hàm không âm

ρ : X → [0; +∞) thỏa mãn:

(1) ρ(x) = 0 ⇔ x = 0.

(2) ρ(αx) = ρ(x) nếu |α| = 1.

(3)ρ(αx + βy) 6 ρ(x) + ρ(y) nếu α, β > 0, α + β = 1.

(4) ρ(αnx) → 0 khi αn → 0 và ρ(x) < +∞

7

và hơn nữa

(5)ρ(αxn) → 0 khi ρ(xn) → 0 thì modular ρ(x) được gọi là metric hóa

được.

Nhận xét 1.2.1. Cho 0 6 α 6 1 ta có: ρ(αx) 6 ρ(x)

⇒ ρ(γx) là hàm đơn điệu tăng theo γ > 0. (từ (3) ta suy ra)

Cho 0 6 γ 6 δ thì: ρ(γx) 6 ρ(δx).

Thật vậy:

(+) Trường hợp 1: Nếu γ = 0 ⇒ ρ(γx) = 0 6 ρ(δx)

(+) Trường hợp 2: Nếu γ > 0 ⇒ δ > 0

ρ(γx) = ρ(

γ

δ

.δx) 6 ρ(δx)

Nhận xét 1.2.2. (5’): ρ(xn) → 0 ⇔ ρ(2xn) → 0. Khi đó (5’) ⇔ (5).

Mệnh đề 1.2.1. Xρ là không gian tuyến tính con của X.

Nhận xét 1.2.3. Cho F- chuẩn k k, kαxk 6kxk khi 0 6 α 6 1 thì F-chuẩn

là một modular.

Định lý 1.2.1. Cho (X, k k) là một F

∗− không gian.

Đặt kxk∗ = sup

α∈[0,1]

kαxk thì k.k∗ là một F-chuẩn tương đương với kxk và

kαxk∗ 6kxk∗ khi |α| 6 1 ⇔k.k∗ là một modular.

Ví dụ 1.2.1. Cho X = {x = (xn)/xn ∈ R, ∀n ∈ N

∗}

Đặt |kxk| = sup

n∈N

pn

|xn| < +∞

Khi đó X là một không gian tuyến tính và |kxk| thỏa mãn (1),(2),(3),(5),(6)

nhưng không thỏa mãn (4).

Chứng minh.

- ∀x = (xn) ∈ X, y = (yn) ∈ X. Cần chứng minh: x+y = (xn+yn) ∈ X

∀n ∈ N

∗

,

pn

|xn + yn| 6

pn

|xn| + |yn|

6

pn

|xn| +

pn

|yn|

8

6 sup pn

|xn| + sup pn

|yn|

= |kxk| + |kyk|, ∀n ∈ N

∗

⇒ ∃ sup pn

|xn + yn|

⇒ x + y ∈ X.

- ∀x = (xn) ∈ X, ∀α ∈ R. Cần chứng minh: αx = (αxn) ∈ X

∀n ∈ N

∗

, |αxn| = |α||xn|

⇒

pn

|αxn| =

pn

|α|

pn

|xn|

Do pn

|α| hội tụ ⇒ ∃M > 0 : pn

|α| 6 M, ∀n ∈ N

∗

⇒

pn

|αxn| 6 M

pn

|xn| 6 M sup pn

|xn|

⇒ ∃ sup pn

|αxn|

⇒ αx ∈ X.

⇒ X là không gian tuyến tính con của không gian tất cả các dãy số thực.

⇒ X là không gian tuyến tính.

(1) Chứng minh k|x|k = 0

Ta có k|x|k = sup pn

|xn| = 0

⇔

pn

|xn| = 0

⇔ xn = 0, ∀n ∈ N

∗ hay x = 0

(2) Chứng minh k|αx|k = |kxk| khi α = −1

Ta có: k|αx|k = sup

n∈N∗

pn

| − 1xn|

= sup

n∈N∗

pn

1| − xn|

= sup

n∈N∗

pn

|xn|

=k|x|k

Dễ dàng kiểm tra tính chất (3)

(5) ∀α ∈ R, ∀p ∈ N

∗

Cho x

p = (x

p

n

) ∈ Xk|x

p

|k → 0 chứng minh k|αxp

|k → 0

Dãy pn

|α| hội tụ ⇒ ∃M > 0,

pn

|α| 6 M, ∀n ∈ N

∗

∀p ∈ N

∗

,

pn

|αx

p

n| =

pn

|α|.

pn

|x

p

n| 6 M.pn

|x

p

n|, ∀n ∈ N

∗