Giáo trình đại số hiện đại - Phần 1: Đại số trừu tượng

\ 0 Á/ị,

^ o

2* I o --------------------------------------------------------------------------------------------- I o

y í i r i a i B ộ S Á C H C A O H Ọ C V I Ệ N T O Á N H Ọ C

NGUYỄN T ự CƯỜNG

GIÁO TRÌNH

Ạ l S Ổ ' H I Ệ N Đ Ạ

C õ;iĩ

Hà Nội NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

BỘ SÁCH CAO HỌC - VIỆN TOÁN HỌC

N G U Y Ễ N T ự CƯỜNG

Viện Toán học

Trung tủm Khoa học Tự nhiên và Cônạ lìíỊlìệ Qitổc íỊÍư

GIÁO TRÌNH

ĐẠI SÔ HIỆN ĐẠI

• • •

Phần I: Đại sô trừu tượng

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP

GS TRẦN ĐỨC VÂN {Chú tịch)

PGS PHAN HUY KHẢI {Thư ký)

GS HÀ HUY KHOÁI

GS PHẠM HỮU SÁCH

GS NGÔ VIỆT TRƯNG

GS HOÀNG TỤY

GS ĐỖ LONG VÂN

MỤC LỤC

Trang

M Ờ Đ A U ....................................................................................................................... 5

C h ư ơ n g I. S ơ L Ư Ợ C V Ê LÝ T H U Y Ế T T Ậ P H Ợ P ................................9

§1. T ập hợp và các phép toán trên tập hợp ................................................ 9

§2 . Ánh xạ ............................................................................................................. 11

§3. Quan hệ .......................................................................................................... 12

§4. T ập hợp tương đương .............................................................................. 15

§5. Tiên đề chọn và các mệnh đề tương đương ...................................... 17

Bài tập .....................................................................................................................20

C h ư ơ n g II. N H Ó M 22

§1. Định nghĩa và ví dụ về nhóm ..................................................................22

§2. Nhóm con, Định lý Lagrange ..................................................................25

§3. Nhóm con chuẩn tắc ....................................................................................29

§4. Đồng cấu n h ó m ..............................................................................................31

§5. Phạm trù và hàm t ừ ....................................................................................36

§6 . Nhóm Abel hữu hạn sinh ..........................................................................47

Bài tập ..................................................................................................................... 58

C h ư ơ n g III. V À N H , T R Ư Ờ N G V À V À N H Đ A T H Ứ C 63

§1. Các định nghĩa và ví dụ ............................................................................ 63

§2. Iđêan và đồng cấu vành ............................................................................ 67

§3. Vành giao h o á n .............................................................................................. 72

§4. Vành các phân thức .................................................................................... 78

§5. Vành đa thức ................................................................................................. 83

§6. Vành G a u ß .........................................................................................................87

Bài tập ......................................................................................................................92

i Giáo trình đại s ố hiện đại

I * *

C h ư ơ n g IV . M Ô Đ U N 97

§1. Các định nghĩa và ví dụ ............................................................................. 97

§2. Đồng c ấ u ......................................................................................................... 102

§3. Tổng và tích trực tiếp .......... .................................................................. 105

§4. Dãy hợp thành, Định lý Jordan-H ölder-Schneider.......................... I l l

§5. Tích ten x ơ ..................................................................................................... 116

§6 . Dãy khớp ....................................................................................................... 122

Bài tập .................................................................................................................... 129

C h ư ơ n g V . M Ô Đ U N T R Ê N V À N H G IA O H O Á N 133

§1. M ôđun nội xạ ................................................................................................ 133

§2. Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ ............................ ................................. 140

§3. Môđun xạ ảnh ............................................................................................. 146

§4. Môđun N o e t h e r ............................................................................................. 153

§5. Môđun A r t i n .................................................................................................. 159

§6. Phân tích m ôđun nội xạ ...........................................................................165

Bài tập .................................................................................................................... 169

T À I L IỆ U T H A M K H Ả O ................................................................................ 173

C H Ỉ D Ẫ N T R A C Ứ U T Ừ K H Ó A .............................................................. 175

MỜ ĐẦU

Có thể nói lằng mọi ngành toán học hiện đại ngày nay trong quá trình

phát triển đều cần tới các cấu trúc đại số và tất nhiên cả những hiểu biết

sâu sắc về các cấu trúc này. Điều nàv củng dễ hiểu, vì ta biết lằng hai đặc

trưng cơ bản nhất của toán học là tính trừu tượng và tính tổng quát, mà

hai đặc tính này lại biểu hiện một cách rõ ràng nhất trong đại số. Đã có rất

nhiều sách về đại số của các tác giả Việt Nam hoặc dịch từ tiếng nước ngoài

đưực xuất bàn ờ Việt Nam, trong số đó có nhiều quyển đã trở thành kinh

điển và được sử dụng làm giáo trình giảng dạy, tham khảo cho sinh viên học

toán trên khắp thế giới. Vì vậy, viết một giáo trình mới về đại số là một việc

làm rất khó khàn, nhất là khi tác giả không muốn rập khuôn hay sao chép lại

từng phần các giáo trình đ ã có. Cuốn sách này được viết dựa trên các bài

giảng về đại số cùa tác giả trong vòng 10 năm trờ lại đâv cho học viên cao

học và nghiên cứu sinh tại Viện Toán học và một số trường đại học trong

nước, cũng như các bài giảng trong 4 năm gần đây cho các lớp cử nhân tài

năng thuộc Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.

Nó được viết hướng tới hai mục tiêu:

Mục tiêu đầu tiên, giống như mọi giáo trình về đại số, là nhằm cung cấp

các cấu trúc đại số cơ bản nhất mà không đòi hỏi người đọc phải có bất

cứ kiến thức chuẩn bị về đại số nào trước đó. ngoại trừ một chút yêu thích

toán học.

Mục tiêu thứ hai cùa cuốn sách là trình bày các khái niệm, cấu trúc đại

số dưới một ngôn ngữ tông quát, thống nhất với sự chú trọng nhiều hơn các'

tính phô dụng của các khái niệm. Nói cách khác, tác giả muốn người đọc

nhận thấy các mối quan hệ qua lại giữa các khái niệm, cấu trúc đại số khác

nhau và khuyến khích cho những tư duy tổng quát, trừu tượng hơn nữa.

Do đó, giáo trình này được viết theo phương pháp đi từ trừu tượng đến

cụ thè, là một việc làm trái với hầu hết các cuốn sách đại số trước đây. Bù

lại, phương pháp này cho phép ta có một cách nhìn tổng thể hơn, rút ngắn

đáng kế cách trình bày vì dễ đàng đưa các cấu trúc khác nhau vào trong một

khái niệm và giúp người đọc làm quen với phương pháp tư duy hình thức

6 Giáo trình đai sổ hiên đai

là phương pháp quan trọng nhất trong đại số. Tuy nhiên đẽ giảm hớt tính

hình thức, sau mỗi khái niệm trừu tượng chúng tôi cố gắng đưa ra nhióu ví

dụ khác nhau nhằm giúp cho người đọc dễ hình dung và tiếp nhận ill rực khái

niệm này.

Sách bao gồm 5 chương. Chương I trình bày vắn tắ t ve lý rhuyết tậ p

hợp, ánh xạ, các quan hê nhằm thống nhất các ký hiệu tiện cho các chirưng

tiếp theo. Trong chương II vé lý thuyết nhóm, chúng tòi bỏ qua như ng cấu

trúc nửa nhóm, tiền nhóm mà đi ngay vào định nghĩa nhóm. Chúng tỏi củng

bỏ qua phần lý thu vết nhóm hữu hạn mà (lành trình bày kỹ liưn vê cấu trúc

nhóm Abel hữu han sinh. Khái niêm phạm trù và hàrn tư cũn» đưưc đưa vào

chương này nhằm phục vụ ngay cho cho việc định nghĩa các khái niệm quan

trọng mang tính phố dụng của đại số trong suốt, giáo trinh một cách nhất

quán. Trong chương III về lý thuyết vành, có một chú ý là trono định nghĩa

một vành ta đòi hỏi sự tồn tại phần tử đơn vị. đây cũng là điều mà nhiều

giáo trình đại số khác không (lòi hổi. Lý do giải thích cho việc này là vì giáo

trình đươc viết thiên nhiều hơn về vành giao hoán. Chương IV trình bày

các định nghĩa và các khái niệm cơ bàn của lý thuyết môđun. cấu trúc quan

trọng nhất của đại số. Hai hàm từ quan trọng nhất của lý thuyết moduli là

hàm từ Hom và ten xơ cũng như tính chất đơn giản đầu tiên của chúng cũng

được xét đến trong chương này. Chương cuối cùng dành cho việc trình bày

cấu trúc một số lớp môđun đặc biệt quan trọng như môđun nội xạ. móđun

xạ ảnh, mỏđun Noether và Artin trên vành giao hoán. Như vậy. hai chương

cuối của giáo trình cỏ thể xom nliư là một sir chuấn bị kiến thức khời (Táu

cho những đọc giả có Ý định tiếp tục đi sâu vào nghiên cứu các ngành quan

trọng cùa đại số như Lý thuyết môđun trên vành kết hợp. Đại số đồng điều

hay Đại số giao hoán.

Cuối mỏi chương cùa cuốn sách đều có phần bài tập được chọn lọc. Các

bài tập này không chỉ đò’ người đọc giải nhằm tự kiêm tra sự tiếp thu những

điều đã học, mà nhiên bài tập là những bô sung hay mờ lộng kiến thức

chưa có trong sách. Vì vậy. sẽ thực sự có ích nếu người đọc giải được nhiều

bài tập.

Cuốn sách này được viết ra với mục đích có thè dùng làm giáo trình đại

số cho cho các lớp cao học hoặc dùng làm sách tham khảo cho những sinh

viên học về các ngành toán lý thuyết và nghiên cứu sinh. Tuy Ìiliiõn. vì các

Mờ đầu 7

khái niệm đều được định nghĩa từ đầu, nên nó cũng có thể bô ích cho những

ai muốn học thêm vồ đại số.

Với mong muốn giúp cho đọc giả nhận được nhiều kiến thức về đại số

đại cương bằng một ngón ngữ hiện đại trong một cuốn sách nhỏ là một việc

làm khó tránh khỏi có nhiều thiếu sót. Vì vậy, tác già mong muốn nhận được

những nhận xét, góp ý của các đồng nghiệp và đọc giả về những thiếu sót

của cuốn sách này.

Tác giả xin chân thành cảm ƠI1 PGS. TSKH. Lê Tuấn Hoa đã đọc kỹ

toàn bộ bản thảo và đóng góp nhi'éu V kiến quý báu để cuốn sách được

tốt hơn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn GS. vs Nguyễn Văn Đạo đã quan tâm

đến hộ sách cao học của Viện Toán học, cám ơn Hội đồng Khoa học T ự nhién

và Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội đã giúp đỡ đê' cuốn sách được

xuất bản.

T ác giả

s ơ LƯỢC v'Ẻ l ý t h u y ế t t ậ p h ợ p • • •

Troiif> cliinnif* 111Ữ (lầu này. (húng ta sò trình bày một cách sơ lưực về tập

hợp. ánh xạ và quan hẹ. nhàm mục đích llumg nliất các ký liiộu và thuật ngữ

(lược (lùm; troiifi, suốt hài J>iãii}ỉ, này. Phần cuối cua chương hàn về các dạng

tira n t (hrưii" khác nhau n ia t it'll đe chọn. Vì chưa tìm thấy tài liệu tiens

Yii'l nào có rliứiiu, minh đầy dù cho các tương (lương này. nôn chúng ta sẽ

dưa ra mọt clnrnti, minh đè bạn đọc tham kliào thêm.

(¡1. Tâp hơp và các phép toán trên tâp hơp

1 .1 . Đ in h n g h ĩa . Tập hợp là một khái niệm cơ bản cùa toán học. nhưng

lại là một khái niệm khỏng được (lịnh nghĩa. Một cách trực quail, ta có t lie

liiru một tạp hợp như là sự tụ tập những vật. những đối tượng hay những

kliiíi Ìiiẹm toán học ... được xác định bùi một hay nhiều tính chất chung.

Ta thườn» sư (lụng các chữ cái La tinh .4. 13. c ........V. Y. z hoặc chữ

cái Hy Lạp co nlnr I . n . A .... đè chi một tập liựp.

Các vạt cùa một tạp hợp X gọi là các phần tư của tập hợp đó. Một phần

từ ./• cùa tạp lìcrp A' (linrc ký hiệu là .(• G A’.

Nốu tất cà các Ị)hần tư cùa một tập hơp X đéu là phần tư cùa mọt tập

litrp V t 111 ta nói tạp lu/Ị) A’ là một tạp hợp con của tập hạp y và ký hiệu là

A ç V hay V D -V. Tnrờng hạp X ç V và )' ç X thì ta nói rầiiíị tập hợp X

hàn» tập lurp V và ký hiệu là -V = V. Nếu X ç V và X Ỷ till -V được gọi

là tập hợp coil thực sự cua )' và ký hiệu là A' c V.

Xác định một tạp hạp là xác clịnh tất cà các phần từ cùa 11Ó. Có nhiêu

cách đổ xác (lịnh một tạp hợp. Đơn giàn nhất là liệt kè tất cà các phần tứ

cùi» tạp hợp đó và (le trong liai (làu 111ÓC Cách thõng dụng thứ liai là

mo là một tập hạp qua các tính chất (lặc tnrug của các phần tử của tập hợp

đó. Chảng hạn ta viết À' = {.;■ I P{.v)} dể nói rằng X là tập hợp gồm tấ t cả

các phần từ .r tlioà màn mệnh (Tó P(.r).

Chương I

10 Giáo trình đại sổ hiện đại

T ập hợp không chứa một phần tử nào được gọi là tập hợp ròng và ký

hiẽu là 0 .

1.2. C ác p h ép to á n trê n tâ p hơ p

1) Hợp. Hợp của hai tập hợp X và Y. ký hiệu A' u 1 . là tậ p h ạ p đuực

xác định bởi

X u y = {x I X € X hoặc X € Y ).

2) Giao. Giao của hai tập hợp X và Y. ký hiệu X n Y. là tập hợp được

xác định bời

X n Y = {x \ X e X và xeY }.

3) Tích Descartes. Tích Descartes của hai tập hợp X và Y. ký hiệu X X

là tập hợp được xác định bời

X x Y = {z = (x,y)\xeX,yeY}.

4) Hiệu. Hiệu của hai tập hựp X và Y. ký hiệu X \ Y. là tập hợp dược

xác định bời

X \ Y = {x \ X £ X và X ị Y } .

1 .3 ệ C h ú ý. Các phép toán hợp, giao, tích Descartes hoàn toàn có thố 111Ờ

rộng cho một họ tùy ý các tập hợp {(X ,) I i £ /}. ờ đây I là một tập chi số

nào đó. Khi đó ta xác định:

Ị J X i = {.r I 3 i e L x e Xi}.

iei

f ] x t = {x I X e Xi. Vi € /}.

ieĩ

= {c = {Xi)i£i I ẽ X i. Vi € /}.

i€7

Đặc biệt, ta hay viết x n để ký hiệu cho tích Descartes của n - lần

tập hợp X .

§2. Á nh xa

Cùng với khái niệm tập hợp. ánh xạ thuộc vào mòt trong Iihửng khái

niệm vơ bán nhất của toán học.

2.1. Đ in h n g h ĩa , (i) Một ánh xạ I' : X ----- ) ’ từ tạp hạp X đến tập hợp

V là một phép tinrng ứng mỗi một phần từ X G X duy nhất một phan tư

/'(.;•) G } ■ Tập hợp X được gọi là tập nguồn cua ánh xạ /’ và tập hợp Y gọi

là tập đích cua ánh xạ /’.

(ii) /’ : X — • Y được gọi là đơn ánh liến với hai phần từ x ,x ' G X tùy ý

m à /'(./■) = f ( x ') , suy ra X = x ' . Đặc biệt khi X c Y t h ì đ ơ n á n h /' : X — * Y

x á c đ ị n h h ờ i /'(.;■) = v.r 6 À" đ ư ợ c gọi là phép n h ú ng tự n h iê n và ký hiệu

là À' — )

(iii) /’ : X — * V dược gọi là toàn ánh nếu với mỗi phần từ tùy ý ụ G Y

luôn tồn tại ít nhất mọt Ịihần từ X £ X sao cho f(.r) = Ị/.

(iv) /’ : X ----- V đươc gọi là song ánh nếu /’ vừa là (l<rn ánh vừa là toàn

ánh.

(v) Cho f : -V — * ) và ỊJ ■ Y — » z là những ánh xạ. ta gọi ánh xạ

lì : X — > z đưực xác định hởi, h(x) = g(f (x)). \ / x G X là ánh xạ hợp thành

cùa hai ánh xạ f. g và ký hiệu là lì = q o f.

2.2. C h ú ý. (a) Cho ánh xạ f : X — > Y và A là một tập hợp con của X.

Ta gọi tập hợp /(.4) c Y xác định bời f{A) = ịf(x) € y I X e A) là ảnh của

/1 qua ánh xạ /. Vây ánh xạ /’ là toàn ánh khi và chi khi f { X ) — Y.

(1)) Cho B là một tập con tùy ý của y. ta gọi tập hợp c X.

đ ư ợ c x á c đ ị n h b ờ i = {.?• E X Ị /(.;■) G B } . là nghịch ảnh cùa D qua

ánh xạ [. Bây giừ. già sử f là một song ánh. Khi đó, vì f ( X ) = Y. ta luôn

có thè xay dựna, được một ánh xạ. / nlnr sau: với y G Y tùy ý. tồn tại

./• e -V s a o c h o /(.;■) = ỵ . ta xác địnli f ~ x{ ỵ ) = X. Dựa \'ào tính đơn ánh

cùa [ la dỗ clnrn” minh dưực rằng /’ 1 được xác định như trên là một ánh

x ạ . g ọ i là á n h x ạ n i Ị i r ợ c c u a f. K h i đ ó ta th ấ y ngay rằng f ~ l o f = 1 Y v à

/ o /■ 1 = l v . (V đày 1 V dược ký hiệu cho ánh xạ đồng nhất trên tậ p hợp X.

I ứ c 1 V (.;■) = .(■. v.c E -V.

Chư (nụì I. Sơ lược về lý thuyết tập hợp 11

12 Giáo trình đại sổ hiện dại

2.3. BỔ đề. Cho f : X — > Y và q : X — » z là ¡lai ánh xạ giữ:ì các tập

hợp. Khi đó các đicu kiện sau đây là tương đương:

(i) Tồn tại m ột ánh xạ h : Y — ♦ z sao cho g = h o Ị ..

(ii) Với các phần từ XI,X2 G X tùy ý. neu f ( x i) = ™ y(-r i) =

9{x 2)-

Chứng minh. (/) = > (li) : Già sừ /(./■ 1) = T ừ g — h o f til M1V ra

g(d-1) = /ỉ o /(.(•]) = / ỉ ( / U i ) ) = h{f(.r->)) = h o /(.!■>) = f/(■'■-') •

(Ü) = > (i): Xét tương ứng h : Y I— > z được xác định ülur Sein:

- Nếu y 6 f{X). tức tồn tại X G X sao cho f(x) — ỊJ. khi (ló ta đạt

h{y) = g(x).

- Nến y ị f( X) . ta chọn một phần tử : e Z cố định rồi d ặt /?(</) =

Dễ dàng suy ra từ giả thiết của (ii) lằng tương ứng trôn là một ánh xạ. hơn

nữa từ cách xây dựng ta có g — h o f . □

Bô đề 2.3 giúp ta nhận được những đặc tnrng đơn giàn khi nào một ánh

xạ là đơn ánh. toàn ánh hay song ánh như sau.

2 .4 ể Đ in h lý. Cho f : X — » Y là m ột ánh xạ giữa hai tập hợp. K hi đó Ciíc

mệnh đc sau đày là đúng:

(i) f là đơn ánh khi và chi khi tòn tại m ột ánh xạ q : y — * A' sao cho

9 ° f = l.Y-

(ii) f là toàn ánh khi và CỈ1Ì khi tun tại m ột ánh xạ h : Y ----- A' >H() cho

f o h = ly .

(iii) f là song ánh khi và chi khi tòn tại hai ánh xạ q : y — - X và

h : Y — > X sao cho g o f = l ỵ và f o h = ly.

Chứng minh của định lý dễ dàng được suy ra từ Bô đề (2.3). chúng tôi

xem như là một bài tập đơn giản cho người đọc.

§3. Q uan hê

Trong tiết này ta sẽ xét hai loại quan hệ hai ngòi quan trọng Iihất. đó là

quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự.

3 ẵl . Đ in h n g h ĩa . Cho X là một tập hợp. Ta nói rằng o là mọt quan hộ

n-ngôi trên X Iiếu Í2 là một tập con của tích Descartes .V". Đặc biẹt. khi n

là một quail hệ 2-ngôi trên X . thay vì viết (ci.b) e n người ta viết là HÍV>.

3.2. Ví du. Trên tập hợp N tất cà các số tự nhiên ta xác định quail hệ

2-iißöi O Iiliir sau:

1) O — ị{r)ị.n>) G N “ I đcu là những số chẵn}. Ta nhận thấy

raus, từ Iiịíhh) suy ru riìíhiị. nhưng lúhi là không điíng với mọi số lè n.

Trong trường h<rp này ta. nói rằng íì là một quan hệ 2-ngôi đối xứng nhưng

kliông là phà 11 xạ.

2) Ü — {(//]. n>) G N 2 I ri] chia hết cho 7?2}- Ta dễ nhận thấy rằng nQĩi

vtVi moi II G N. nhưng từ ĩ)ịíìiì'2 nói chung không suy ra v¿íiri\. Vậy trong

tnràng lurp này quan hộ 2-ngói íì là phán xạ nlnrng không là đối xứng.

■i) ỉ ì = {(il \ . n>) € N " I ưức số clnuig 1Ứ11 nhất (/í 1. /ỉ 2 ) / 1} u {(1. 1)}. Rõ

làng quan họ liai ngôi mới này là phàn xạ và đối xứng, nhưng từ lìịÍÌ7>2 và

nói filling kliỏng suy ra ri.ịíhiiị (2fì(j và 603 nhưng ta không có 2Í23).

Ta nới (jua.il hệ liai ngòi trong ví clụ này là Ị)hàn xạ. đối xứng nhưng không

là hắc call. Dẻ thấy rang các quan hệ liai ngôi trong các ví dụ (1) và (2) đồu

là hac cầu.

Ví dụ 3.2 cho ta thấy có rất nhiều quan hệ hai ngôi thú vị trên một tập

hợp cho tnrức. Sau đày chúng ta sẽ đưa ra hai loại quan hệ đặc biệt quan

trọng trong dại số.

3 .3 Ỗ Đ in h n g h ĩa . Một quan hệ 2-ngỏi ũ trẽn tập hợp X được gọi là quan

Ilf lirtnụ/ dưi/iụ/. nếu 11Ó tlioà mãn các tính chất sau.

(i) Phàn .rạ: .tíì.r. v.r G X .

(ii) Dối TỨ my. .VÍÌỊ/ = > fjQ.r. V./-,// G X.

(iii) Bắc rầu: -I'íifj. fjílz ==> ẳríìz. v .r .y .z G X .

Khi quail hộ tmrnji, đ m n i” íì đã dược xác định trên À”, thay vì viết xíìụ Iigưừi

t a th in ni e, viết ./• ~ Ị/.

3.4. C h ú ý. Cho rỉ là một quan hộ tương đưưng trên tập hợp X và X Ễ X .

l a gọi tập hợp

íì(.r) = {ị/ e X I y ~ X}

là lớ]') tương đmniíỉ, cùa X theo quan hộ tương đương ÇI. Dỗ thấy rằng-

- íì(.v) Ỷ V1 Ễ í?(.r).

- l ù . Y «(■*•) = -Ỹ.

- V.r. í/ G À\ hoặc íìự) = íì(y) hoặc íì(x) n fl(y) = 0. T h ật vậy, nếu

c e íì(.r) n V.(Ị/). ta suy la c ~ X và z ~ y. Do quan hệ f) có tính dối

Chương I. Sơ lược ve lý thuyết tập hợp 13

14 Cilio Il ình đai so hiên đai

xứng và bắc cầu, nên X ~ Ị). Điều này chứng tỏ hoặc íì(.r) = H(y) hoặc

Í2(.r) n Í2(y) = 0. v.ỉ.ắ. y € X.

Vậy ta nhận đưựC' một phân hoạch của A' qua các lcVp tương đ irang í ?(./•).

Tập hợp tấ t cà các lớp tưưng đương này được ký hiệu là x / í ì và gọi là tập

hợp thương của X qua qua.il hệ tương đương Í2. Hơn n ữ a ta có the xác định

một ánh xạ 7T : X — * X/Q. 7r(.r) = Q(.r)ếV.r e X và gọi 11Ó là ánh xạ chính

tắc sinh ìxri quan hệ tương đương Q.

3 .5 . Đ in h n g h ĩa . Một quail hệ ã2-njỉ;ói Q trên một tập hựp X (lược «ọi là

quan hệ thú tụ bộ phận nếu quan hệ đó là phàn xạ. l)ắ(ề cầu và ph(in đói rứiiỊi

(nghĩa là, từ x i l y . y í ì x = > X = y, v.r. y € X).

Khi trên tập hợp X có một quail hệ thứ tự hộ phận Q thì ta nói X là

một tập hợp được sắp thú tự bời íì. Thông thường người ta dùng ký hiệu

< dể chì một (ịuan hệ thứ tự bộ pliận. Hai phần tử x. y e X đirợc »,ọi là so

sánh được đối với quan hệ thứ tự bộ phận < nếu hoặc .V < ỊJ hoặc y < r.

Clio A là một tậ p hợp COI1 cùa tập hợp X và X e X . Ta nói rằng là một

cận dưới (cận trên) của tậ p .4 trong tậ p X nếu .r < a (« < x).\/a G .1. Đạc

biệt, một ])hần từ X e X được gọi là phần từ cực đại (cực tiêu) <ếiểia tập hợp

X . liến là cận trôn (cận dưới) duy nhất cùa tậ p {.(•} trong X .

Quan hệ thứ tự 1)0 phạn < trẽn tạp li<yp X (lược gọi là tuyến tính nếu

hai ])hần từ tùy ý của A' đồu so sá nil được \'ới nhau. Một quail họ thứ tự

tuyến tính trên X được gọi là quail liộ th ứ tự fat nếu mọi tập hạp coil khác

rỗng, cùa X đêu chứa một phần từ cực tiểu.

3.6. V í du. 1) Clio X là một tập hợp. tập hạp 2A = {A I A C À'} đưực gọi

là tập hợp các bộ phận của X (dễ chứng minh được rằng, nếu X có II phần

tứ thì 2a có 2" plm.il tử. điều này giãi thích tại sao ta lại dùng ký hiệu như

trên). Ta xác định một (Ịiian hệ < trên 2X . được gọi là quan hê bao hàm như

sau: A < B khi và chi khi .4 C n . Dễ dàng chứng minh được rang quail hệ

này là một quan hệ th ứ tự bộ phận trên ‘2X . Hơn nữa. liến X chứa ít nhất

2 phần tử X Ỷ y thì quan hệ đó không bao giừ là một quan hộ tuyến tính, vì

Ịj'} kliôug sơ sánh (lược với {//}.

42) Quail hệ th ứ tự thong thường trên tập hợp tất cà các số nguyên z

là một <|uan hệ th ứ tự tuyến tính, nhưng không là một quail hộ tlnr tự toàn

phần (chẳng hạn. tạp hợp {... — 2 . —1..0 } không cỏ ])hần từ cực tiéu).

3) Quail hệ th ứ tự thông thường trên tập hợp tấ t cả các số tự Iihiên N

là một quan hệ thứ tự tuyến tính, hơn nữa nó là một quan hệ thứ tự tốt.

§4* T âp hơp tư ơ n g đ ư ơ n g

4.1. Đ inh nghĩa. Hai tập hợp X và Y được gọi là tương đương, ký hiệu

là X ~ Y . nếu tồn tại một song ánh / : X — ♦ Y. Khi đó ta cũng nói rằng X

và Y có cùng lực lượng.

4.2. C h ú ý Ệ Rõ ràng quan hệ “tập hợp A' tương đương với tập hợp Y "

thoả mãn các tính chất sau:

- P hản xạ: X ~ X , vì l ỵ : X — > X là một song' ánh.

- Đối xứng: X ~ Y = > Y ~ X , vì / -1 : Y — > X cũng là một song ánh.

- Bắc cầu: X ~ Y, Y ~ z = > X ~ z , vì, từ / : X — Y và g : Y — > z

là song ánh, suy ra h = g o f : X — » z cũng là một song ánh.

Vậy. nếu cho một họ các tập hợp E nào đó thì quan hệ ~ xác định trên E là

một quan hệ tương đương theo nghĩa của (3.3).

4.3. BỔ đề. Phép lấv tích Descartes và hợp là bào toàn tính tương đương.

Nghĩa là, neu X ~ X \ và Y ~ Y\ thì các m ệnh đề sau là đúng.

(i) X X Y ~ X i X Yi.

(ii) Girl thiết, them rằng X n Y = X \ n Y] — 0 thì X u Y ~ X \ u Fj.

Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại các song ánh / : X — » X i và g : Y — >

yị. Ta xây dựng những ánh xạ mới như sau:

ộ ; X X y — * X i X Y ị , ộ{x.y) = (f(x),g(y)),Vx 6 X ,V y e Y.

f(z), nếu 2 G X,

g{z). nếu 2 e Y.

Dỗ kiểm tra th ấ y rằng 0, ọ là những song ánh, bố đề được chứng minh. □

4.4. C h ú ý. Một cách tương tự ta có thể chứng minh mệnh đề tổng quát

của Bô đề 4.3 cho nhiều tập hợp như sau: Cho (Xi)iç'j và (>'),£/. là hai họ

các tập hợp với I là một tập chì số nào đó (có thể có vô hạn phần tử). Giả

sư rằng Xị ~ y ị. V/ € /. Khi đó

IIa !Ị'

¿6 / i£l

Chương I. Sơ lược, vê lý thuyết tập hợp 15

X u y X i u Yi, ip(z) =