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Giáo trình Đại số đại cương
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Mô tả chi tiết
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT
F 7 G
GIAÙO TRÌNH
ÑAÏI SOÁ ÑAÏI CÖÔNG
ÑOÃ NGUYEÂN SÔN
2000
Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 2 -
MUÏC LUÏC
muïc luïc ..........................................................................................................................2
CHÖÔNG 1: ÑAÏI CÖÔNG VEÀ CAÁU TRUÙC ÑAÏI SOÁ ................................................7
1. Taäp hôïp - AÙnh xaï - Quan heä..................................................................................7
1.1 Taäp hôïp. ...........................................................................................................7
1.2 AÙnh xaï..............................................................................................................8
A, B ⊂ X ⇒
⎩
⎨
⎧
∩ ⊂ ∩
∪ = ∪
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f A B f A f B
f A B f A f B ....................................................................8
U, V ⊂ Y ⇒ ⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∩ = ∩
∪ = ∪
− − −
− − −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 1
f U V f U f V
f U V f U f V .........................................................9
1.3 Taäp höõu haïn - voâ haïn - ñeám ñöôïc....................................................................9
1.4 Quan heä hai ngoâi. ...........................................................................................9
1.5 Quan heä töông ñöông. ...................................................................................10
1.6 Meänh ñeà.........................................................................................................11
1.7 Quan heä thöù töï ...............................................................................................12
2. Caáu truùc ñaïi soá.....................................................................................................13
2.1 Pheùp toùan ñaïi soá .............................................................................................13
2.2 Caùc tính chaát cuûa pheùp toaùn ñaïi soá...............................................................14
2.3 Caùc phaàn töû ñaëc bieät......................................................................................15
2.4 Caáu truùc ñaïi soá...............................................................................................15
2.5 Caùc caáu truùc ñaïi soá cô baûn.............................................................................16
BAØI TAÄP......................................................................................................................18
CHÖÔNG 2: SOÁ HOÏC TREÂN 9..............................................................................21
1. Soá töï nhieân ...........................................................................................................21
1.1 Xaây döïng soá töï nhieân .....................................................................................21
1.2 Pheùp coäng treân ∠...........................................................................................21
1.3 Ñònh lí.............................................................................................................22
1.4 Pheùp nhaân treân ∠...........................................................................................23
1.5 Ñònh lí..............................................................................................................23
1.6 Quan heä thöù töï treân taäp hôïp soá töï nhieân.......................................................23
1.7 Ñònh lí: ............................................................................................................23
2. Vaønh soá nguyeân ...................................................................................................24
2.1 Xaây döïng taäp soá nguyeân ................................................................................24
2.2 Pheùp coäng ......................................................................................................25
2.3 Pheùp nhaân .....................................................................................................25
2.4 Ñònh lí.............................................................................................................26
2.5 Quan heä thöù töï treân 9....................................................................................27
3. Söï chia heát treân taäp soá nguyeân...........................................................................27
3.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................27
3.2 Tính chaát ( a, b, c, d laø caùc soá nguyeân)........................................................27
3.3 Ñònh lí ( pheùp chia Euclide) ..........................................................................28
3.4 Öôùc chung lôùn nhaát (ÖCLN).........................................................................28
3.5 Ñònh líù ............................................................................................................28
3.6 Heä quaû...........................................................................................................29
Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin
Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 3 -
3.7 Ñònh líù ............................................................................................................29
3.8 Ñònh lí..............................................................................................................30
3.9 Thuaät toaùn tìm ÖCLN cuûa hai soá.................................................................30
4. Soá nguyeân toá cuøng nhau. ....................................................................................30
4.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................30
4.2 Ñònh lí (Bezout) ..............................................................................................31
4.3 Ñònh lí (Gauss)...............................................................................................31
4.4 Ñònh lí.............................................................................................................31
5 Boäi chung nhoû nhaát (BCNN) ...............................................................................32
5.1 Ñònh nghóa :.....................................................................................................32
5.2 Meänh ñeà.........................................................................................................32
5.3 Meänh ñeà..........................................................................................................33
6. Soá nguyeân toá .......................................................................................................33
6.1 Ñònh nghóa......................................................................................................33
6.2 Ñònh lí..............................................................................................................33
6.3 Ñònh lí..............................................................................................................33
6.4 Ñònh lí.............................................................................................................34
6.5 Ñònh líù .............................................................................................................34
6.6 Ñònh lí.............................................................................................................34
6.7 Saøng Eratostheøne...........................................................................................34
6.8 Ñònh lí ( cô baûn cuûa soá hoïc) ..........................................................................35
6.9 Daïng phaân tích chính taéc...............................................................................36
6.10 Ñònh lí...........................................................................................................36
6.11 Caùch tìm ÖCLN vaø BCNN........................................................................36
7 Ñoàng dö.................................................................................................................37
7.1 Ñònh nghóa......................................................................................................37
7.2 Lôùp ñoàng dö..................................................................................................37
7.3 Tính chaát ........................................................................................................38
BAØI TAÄP......................................................................................................................39
CHÖÔNG 3: NHOÙM...................................................................................................42
1 Nöûa nhoùm - Vò nhoùm ............................................................................................42
1.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................42
1.2 Tích cuûa n phaàn töû trong nöûa nhoùm ..............................................................42
1.3 Ñònh lí..............................................................................................................42
1.4 Ñònh lí..............................................................................................................43
2 Nhoùm.....................................................................................................................44
2.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................44
2.2 Caùc tính chaát cô baûn cuûa nhoùm.....................................................................45
3. Nhoùm con ............................................................................................................47
3.1 Ñònh nghóa......................................................................................................47
3.2 Ñònh lí (tieâu chuaån ñeå nhaän bieát moät nhoùm con)..........................................47
3.3 Nhoùm con sinh bôûi moät taäp con cuûa nhoùm ...................................................48
4. Nhoùm con chuaån taéc - Nhoùm thöông..................................................................49
4.1 Lôùp keà - Quan heä töông ñöông xaùc ñònh bôûi moät nhoùm con .......................49
4.2 Meänh ñeà.........................................................................................................50
Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin
Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 4 -
4.3 Ñònh lí (Lagrange) .........................................................................................51
4.4 Nhoùm con chuaån taéc......................................................................................51
4.5 Nhoùm thöông .................................................................................................52
5. Ñoàng caáu nhoùm....................................................................................................54
5.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................54
5.2 AÛnh vaø nhaân cuûa ñoàng caáu ...........................................................................55
5.3 Caùc tính chaát cuûa ñoàng caáu nhoùm.................................................................55
5.4 Ñònh lí ( cô baûn cuûa ñoàng caáu nhoùm).............................................................57
5.5 Heä quaû.............................................................................................................58
6. Nhoùm cyclic .........................................................................................................58
6.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................58
6.2 Caáp cuûa moät phaàn töû trong nhoùm .................................................................58
6.3 Ñònh lí ( phaân loaïi nhoùm tuaàn hoaøn)..............................................................59
7. Taùc ñoäng cuûa moät nhoùm leân moät taäp hôïp...........................................................59
7.1 Ñònh nghóa:......................................................................................................59
7.2 Nhoùm con oån ñònh cuûa moät phaàn töû..............................................................60
7.3 Quyõ ñaïo cuûa moät phaàn töû..............................................................................60
8. Nhoùm ñoái xöùng ....................................................................................................60
8.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................60
8.2 Ñònh lí (Ceyley)..............................................................................................61
8.3 Nhoùm ñoái xöùng Sn..........................................................................................61
8.4 r - chu trình....................................................................................................61
8.5 Tính chaát .........................................................................................................62
8.6 Ñònh lí.............................................................................................................62
8.7 Ñònh liù .............................................................................................................62
8.8 Heä quaû.............................................................................................................63
BAØI TAÄP......................................................................................................................65
CHÖÔNG 4: VAØNH VAØ TRÖÔØNG..........................................................................70
1. Vaønh vaø tröôøng ....................................................................................................70
1.1 Ñònh nghóa......................................................................................................70
1.2 Caùc tính chaát.................................................................................................71
2. Vaønh con – Tröôøng con........................................................................................72
2.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................72
2.2 Ñònh lí (tieâu chuaån nhaän bieát moät vaønh con).................................................73
2.3 Ñònh lí (tieâu chuaån nhaän bieát moät tröôøng con)............................................73
3. Ideal - Vaønh thöông .............................................................................................74
3.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................74
3. 2 Ideal chính.....................................................................................................75
3. 3 Vaønh thöông..................................................................................................75
4. Ñoàng caáu vaønh .....................................................................................................76
4.1 Ñònh nghóa.......................................................................................................76
4.2 Caùc tính chaát cuûa ñoàng caáu vaønh...................................................................77
4.3 Ñònh lí ( cô baûn cuûa ñoàng caáu vaønh).............................................................78
4.4 Heä quaû............................................................................................................78
4.5 Ñaëc soá cuûa vaønh .............................................................................................78
Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin
Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 5 -
5. Caùc ñònh lí nhuùng ñaúng caáu.................................................................................78
5.1 Ñònh lí (nhuùng ñaúng caáu moät vò nhoùm)..........................................................78
5.2 Ñònh lí ( nhuùng ñaúng caáu moät vaønh nguyeân).................................................80
6. Soá hoïc treân vaønh nguyeân - Vaønh chính - Vaønh Euclide - Vaønh Gauss............82
6.1 Caùc ñònh nghóa ................................................................................................82
6.2 Caùc tính chaát.................................................................................................83
6.3 Vaønh chính.....................................................................................................84
6.4 Ñònh líù .............................................................................................................84
6.5 Ñònh lí..............................................................................................................85
6.6 Vaønh Euclide ................................................................................................86
6.7 Ñònh lí..............................................................................................................86
6.8 Thuaät toùan tìm ÖCLN....................................................................................86
6.9 Vaønh Gauss (Vaønh nhaân töû hoùa)...................................................................87
6.10 Ñònh lí............................................................................................................88
6.11 Ñònh lí............................................................................................................89
BAØI TAÄP......................................................................................................................91
CHÖÔNG 5: VAØNH ÑA THÖÙC.............................................................................96
1 Vaønh ña thöùc moät bieán .........................................................................................96
1.1 Ñònh nghóa......................................................................................................96
1.2 Ñònh lí.............................................................................................................97
1.3 Ñònh lí..............................................................................................................97
1.4 Ñònh lí..............................................................................................................98
1.5 Khoâng ñieåm cuûa ña thöùc ...............................................................................99
1.6 Ñònh lí............................................................................................................100
1.7 Caáp cuûa khoâng ñieåm ..................................................................................100
1.8 Ñònh lí............................................................................................................100
1.9 Ñònh lí............................................................................................................100
1.10 Ñònh lí..........................................................................................................101
1.11 Haøm ña thöùc................................................................................................101
1.12 Ñònh lí..........................................................................................................102
1.13 Ñònh lí.........................................................................................................103
2. Vaønh ña thöùc nhieàu bieán ...................................................................................104
2.1 Ñònh nghóa.....................................................................................................104
2.2 Caùch saép xeáp ña thöùc theo loái töï ñieån .......................................................105
2.3 Ñònh lí...........................................................................................................105
2.4 Ña thöùc ñoái xöùng ........................................................................................106
2.5 Ñònh lí...........................................................................................................106
2.6 Ñònh lí...........................................................................................................107
3. Caùc ña thöùc treân tröôøng soá ................................................................................108
3.1 Ñònh lí (d' Alermbert) ...................................................................................108
3.2 Ñònh lí............................................................................................................108
3.3 Ñònh lí ( tieâu chuaån Eisenstein) ..................................................................109
BAØI TAÄP....................................................................................................................110
PHUÏ LUÏC..................................................................................................................112
1. Tröôøng soá thöïc ..................................................................................................112
Ñoã Nguyeân Sôn Khoa Toaùn Tin
Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 6 -
1.1 Laùt caét höõu tæ................................................................................................112
1.2 Caùc quan heä treân 3 .......................................................................................112
1.3 Pheùp coäng .....................................................................................................113
1.4 Pheùp nhaân .....................................................................................................113
2. Tröôøng soá phöùc ..................................................................................................113
2.1 Xaây döïng soá phöùc.........................................................................................113
2.2 Ñònh lí (d' Alermbert) ...................................................................................115
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Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 7 -
CHÖÔNG 1:
ÑAÏI CÖÔNG VEÀ CAÁU TRUÙC ÑAÏI SOÁ
1. Taäp hôïp - AÙnh xaï - Quan heä.
1.1 Taäp hôïp.
• Taäp hôïp laø moät khaùi nieäm ban ñaàu. Taäp hôïp ñöôïc moâ taû nhö moät toøan theå naøo
ñoù bao goàm nhöõng ñoái töôïng naøo ñoù coù cuøng moät daáu hieäu hay moät tính chaát nhaát
ñònh. Caùc ñoái töôïng laäp neân taäp hôïp goïi laø phaàn töû. Ta thöôøng kí hieäu caùc taäp hôïp
baèng caùc chöõ caùi A, B, X, Y.... coøn caùc phaàn töû cuûa chuùng baèng caùc chöõ caùi nhoû a,
b, x, y… Coù hai caùch ñeå xaùc ñònh moät taäp hôïp, moät laø lieät keâ ra taát caû caùc phaàn töû
cuûa noù, A = {a1 ,a2 ,…an }; hai laø mieâu taû ñaëc tính caùc phaàn töû taïo neân taäp hôïp,
X = {x : x coù tính chaát E }. Neáu a laø phaàn töû cuûa taäp hôïp A thì ta vieát a A. Neáu
a khoâng laø phaàn töû cuûa taäp hôïp A thì ta vieát a
∈
∉A. Taäp hôïp khoâng chöùa moät phaàn töû
naøo ñöôïc goïi laø taäp hôïp roãng vaø kí hieäu laø ∅.
Ví duï, caùc taäp hôïp soá maø ta ñaõ quen bieát : taäp caùc soá töï nhieân (khoâng coù soá 0) ∠
= {1, 2, 3, …, n,…}; taäp soá töï nhieân (vôùi soá 0), ∠0 = {0,1, 2, …, n,…}; taäp caùc soá
nguyeân 9 = {0,±1, ±2,…, ±n,…}; taäp caùc soá höõu tæ Θ = { n
m : m∈9, n∈∠}; taäp
caùc soá thöïc 3; taäp caùc soá phöùc ∀ = {a + bi : a,b ∈ 3}.
• Neáu moïi phaàn töû cuûa taäp hôïp A ñeàu laø caùc phaàn töû cuûa taäp hôïp B thì ta noùi A naèm
trong B, hay B chöùa A, hay A laø taäp con cuûa B , vaø kí hieäu laø A ⊂ B hoaëc B ⊃ A.
trong caùc taäp hôïp A vaø ñöôïc kí hieäu laø B = A
VÍ DUÏ: ∪ [0, 1 –
• Hôïp cuûa hai taäp hôïp A vaø B laø moät taäp hôïp goàm taát caû caùc phaàn töû thuoäc ít nhaát
moät trong caùc taäp hôïp ñaõ cho. Hôïp cuûa hai taäp hôïp ñöôïc kí hieäu laø A∪ B. Hôïp cuûa
hoï caùc taäp hôïp {A } laø moät taäp hôïp B goàm taát caû caùc phaàn töû thuoäc ít nhaát moät α
α
α ∪ α
∞
• n=1 n
1 ] = [0, 1)
ôï eäu laø A B.
• Giao cuûa hoï caùc taäp hôïp {A } laø moät taäp hôïp B goàm taát caû caùc phaàn töû ñoàng
ïc kí hieäu laø B =
• Giao cuûa hai taäp hôïp A vaø B laø moät taäp hôïp goàm taát caû caùc phaàn töû ñoàng thôøi
thuoäc taäp hôïp A vaø taäp hôïp B. Giao cuûa hai taäp hôïp ñö c kí hi ∩
α
α
thôøi thuoäc vaøo moïi taäp hôïp A ∩ Aα . α vaø ñöô
• VÍ DUÏ: =
∩
n 1
[–
∞
n , 1
n ] = {0} 1
B A A
• Hôïp vaø giao caùc taäp hôïp coù caùc tính chaát
1) A∪ = B∪ ∩ B = B∩ A (Giao hoùan)
2) A∪ (B∪C) = (A∪B) ∪ C A∩ (B∩ C) = (A∩ B)∩ C (Keát hôïp)
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Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 8 -
3) A∩ ( A ) = (A A ) A
α α α
∪ α ∪ ∩ α ∪ ( ∩ Aα ) =
α
∩(A A ) (Phaân phoái)
taäp hôïp A vaø B laø moät taäp hôïp goàm taát caû caùc phaàn töû cuûa taäp hôïp
maø khoâng phaûi laø phaàn töû cuûa taäp hôïp B. Hieäu cuûa hai taäp hôïp ñöôïc kí hieäu laø A
A vaø B laø taäp hôïp (A – B) (B – A). Hieäu ñoái
∪ α
• Hieäu cuûa hai
A
\ B hay A – B
• Hieäu ñoái xöùng cuûa hai taäp hôïp ∪
xöùng cuûa hai taäp hôïp ñöôïc kí hieäu laø A∆B. Roõ raøng raèng A ∆ B = B∆ A.
• Tích tröïc tieáp hay tích Descartes cuûa hai taäp hôïp A vaø B laø moät taäp hôïp goàm
moïi caëp (x,y) ôû ñaây x∈A vaø y∈B, vaø ñöôïc kí hieäu laø A × B.
Tích Descartes cuûa hoï caùc taäp hôïp {A α} laø moät taäp hôïp goàm caùc hoï α∈.I
(a α ) α∈.I , vôùi a α ∈ Aα vôùi moïiα ∈ I, vaø ñöôïc kí hieäu laø ∏
α∈I
A α.
• Neáu B laø taäp con cuûa taäp hôïp A thì A – B ñöôïc goïi laø phaàn buø cuûa taäp hôïp B ñoái
vôùi taäp hôïp A vaø ñöôïc kí hieäu laø C B. Ñoái vôùi phaàn buø ta coù luaät ñoái ngaãu
A ) = CA ) C
A
C(
α
∪ α
α
∩( α (
α
∩Aα ) = CA ).
α
∪( α
1.2 AÙnh xaï
• Cho hai taäp hôïp X vaø Y. Moät aùnh xaï töø X vaøo Y laø moät qui luaät f naøo ñoù cho
töông öùng moät phaàn töû x∈X vôùi duy nhaát moät phaàn töû y ∈ Y . X ñöôïc goïi laø taäp
nguoàn hay mieàn xaùc ñònh coøn Y laø taäp ñích hay mieàn giaù trò. Phaàn töû y ñöôïc goïi laø
ïo
ø Y. Taäp hôïp f
: x uûa taäp hôïp U qua aùnh xaï f –
X (
aûnh cuûa x, coøn x ñöôïc goïi laø ta aûnh cuûa y qua aùnh xaï f, khi ñoù ta vieát y = f(x). Ñeå
chæ moät aùnh xa töø X vaøo Y thöôøng duøng kí hieäu
f : X → Y, x a y = f(x)
• Cho aùnh xaï f : X Y vaø U, V laàn löôït laø caùc taäp con cuûa X va
(U
→
) = {f(x) ∈U} ñöôïc goïi laø aûnh c , coøn taäp hôïp f
1
(V) = {x ∈ : f x) ∈ V } ñöôïc goïi laø nghòch aûnh cuûa taäp hôïp V.
• AÙnh xaï f U :U→ Y, xaùc ñònh bôûi f U (x) = f(x) vôùi moïi x ∈U, ñöôïc goïi laø haïn
. AÙnh xaï idX : X X, idX(x) = x, ñöôïc goïi laø aùnh xaï
⊂ X
cheá cuûa aùnh xaï f treân U
ñoàng nhaát treân X.
→
• Ta coù caùc tính chaát sau
⇒
⎩
⎨
⎧
∩ ⊂ ∩
∪ = ∪
f(A B) f(A) f(B)
f(A B) f(A) f(B) A, B
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Ñaïi Soá Ñaïi Cöông - 9 -
U, V ⊂ Y ⇒
f U V f U f V
f U V f U f
− − −
− − −
⎧ ∪ = ∪ ⎨
⎩
1 1 1
1 1
( ) ( ) ( )
( ) ∩ = ( ∩ V 1 ) ( )
CHUÙ YÙ : Ñaúng thöùc f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) noùi chung khoâng ñuùng. Chaúng haïn,
xeùt aùnh xaï f : 3 → 3 , f(x) = sinx; vaø A = [0, 4
3π ], B 2
π , 2
3π = [ ].
1 2
• Hai aùnh xaï f1 : X1→ Y1 vaø f2 : X2 → Y2 ñöôïc goïi laø baèng nhau neáu X1 = X2 vaø
f1(x) = f2(x) vôùi moïi x ∈ X1, khi ñoù ta vieát f = f .
• Cho hai aùnh xaï f : X → Y vaø g : Y → Z . Hôïp cuûa f vôùi g, kyù hieäu laø gof, laø aùnh
xaï töø X vaøo Z, ñöôïc xaùc ñònh bôûi (gof)(x) = g(f(x)). Neáu h : Z → T laø moät aùnh xaï
khaùc thì ta coù ho(gof) = (hog)o f.
• AÙnh xaï f : X→ Y ñöôïc goïi laø ñôn aùnh neáu aûnh cuûa hai phaàn töû khaùc nhau trong
X laø hai phaàn töû khaùc nhau trong Y. AÙnh xaï f ñöôïc goïi laø toøan aùnh neáu f(X) = Y,
töùc laø ñoái vôùi moãi phaàn töû y ∈ Y toàn taïi moät phaàn töû x ∈ X sao cho y = f(x). Moät
aùnh xaï vöøa ñôn aùnh vöøa toøan aùnh ñöôïc goïi laø song aùnh.
• Neáu f : X→ Y laø moät song aùnh thì ñoái vôùi moãi y thuoäc Y coù duy nhaát moät x
thuoäc X sao cho y = f(x). Ñieàu naøy cho pheùp xaùc ñònh moät aùnh xaï f –1 töø Y vaøo
vôùi f –1(y) := x neáu f(x) = y. AÙnh xaï f –1 X ñöôïc goïi laø aùnh xaï ngöôïc cuûa aùnh
xaï f o f
–1 . Hieån nhieân raèng f = idY. Ta cuõng coù theå deã kieåm –1o f = idX vaø f
tra raèng, neáu f : X → Y, g : Y → Z laø caùc song aùnh thì f –1 : Y → X, (g o f) : X
→ Z cuõng laø caùc song aùnh vaø (g o f)–1 = f –1
o g
–1.
1.3 Taäp höõu haïn - voâ haïn - ñeám ñöôïc
Neáu coù moät song aùnh f : X → Y töø taäp hôïp X vaøo taäp hôïp Y thì ta noùi X vaø Y coù
cuøng löïc löôïng. Taäp hôïp X goïi laø ñeám ñöôïc neáu noù cuøng löïc löôïng vôùi taäp hôïp caùc
soá töï nhieân ∠. Noùi caùch khaùc, taäp hôïp ñeám ñöôïc laø taäp hôïp maø caùc phaàn töû cuûa noù
coù theå ñaùnh soá thaønh daõy voâ haïn x1, x2, …, xn,…. Moät taäp hôïp X goïi laø höõu haïn
neáu noù cuøng löïc löôïng vôùi taäp hôïp {n∈ ∠:1 ≤ n ≤ ko } (vôùi ko laø moät soá töï nhieân naøo
ñoù). Taäp hôïp khoâng höõu haïn goïi laø voâ haïn.
• VÍ DUÏ:Taäp hôïp caùc soá nguyeân coù cuøng löïc löôïng vôùi taäp soá töï nhieân vì ta coù song
aùnh f : 9 → ∠, ñöôïc xaùc ñònh bôûi f(n) = 2n +1 neáu n ≥ 0, vaø f(n) = 2 n neáu n <
0.
1.4 Quan heä hai ngoâi.
• Quan heä (hai ngoâi) treân taäp X laø moät taäp con R cuûa X × X. Neáu caëp phaàn töû (x,
aø vieát x R y.
co a
y)∈ R thì ta noùi x coù quan heä R vôi y, v
• Moät quan heä R treân taäp X ñöôïc goïi laø ù tính ch át
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1) phaûn xaï neáu x R x, ∀x ∈ X
ùng neáu x R y y R x.
x R y vaø y R z x R z.
ûn xaï, khoâng ñoái xöùng,
phaû
1.5 Quan heä töông ñöông.
2) ñoái xö ⇒
3) phaûn xöùng neáu x R y vaø y R x ⇒ x = y.
4) baéc caàu neáu ⇒
• VÍ DUÏ:
a) Quan heä beù hôn '' ≤ '' thoâng thöôøng treân taäp ∠ laø pha
n xöùng, baéc caàu.
b) Quan heä vuoâng goùc trong taäp hôïp caùc ñöôøng thaúng cuûa maët phaúng laø ñoái
xöùng, khoâng phaûn xaï, khoâng phaûn xöùng, khoâng baéc caàu.
heä töông ñöông neáu noù coù caùc tính chaát:
ba
Cho R laø moät quan heä töông ñöông treân X. Ñoái vôùi moãi x thuoäc X, taäp hôïp con
R y
o ] oaëc
• Quan heä R treân taäp X ñöôïc goïi laø quan
phaûn xaï, ñoái xöùng vaø baéc caàu. Ngöôøi ta thöôøng kí hieäu quan heä töông ñöông R
èng daáu '' ~ '' vaø ñoïc '' a ~ b'' laø a töông ñöông vôùi b.
•
{ y ∈ X : x } cuûa X ñöôïc goïi laø moät lôùp töông ñöông cuûa x (modulo R)
vaø ñöôïc kí hieäu laø [x] R , h aëc [x , h x hoaëc ∧
x . Moãi phaàn töû cuûa [x] ñöôïc goïi
laø moät ñaïi dieän cuûa [x
, R
] R .
• Taäp hôïp X R := { [x] : x ∈ X } ñöôïc goïi laø taäp thöông cuûa X ñoái vôùi quan heä
töông ñöông R . AÙnh xaï π : X → X R , π (x) = [x], laø moät toøan aùnh vaø ñöôïc goïi
ø toøan caáu chính taéc.
uan heä baèng nhau trong moät taäp hôïp baát kì X laø moät quan heä töông
la
VÍ DUÏ:
a) Q
ñöông. Vôùi moãi x thuoäc X, ta coù [x] = {x} vaø X R = {{x}, x ∈ X}.
b) Vôùi moãi n ∈ ∠, quan heä ñoàng dö modulo n treân 9, kí hieäu x ≡ y(mod n)
vaø ñoïc laø '' x laø ñoàng dö vôùi y modulo n '', ñöôïc xaùc ñònh bôûi:
y(
. t g ông cuûa x ñöôïc goïi laø lôùp ñoàng dö
k i laø
x ≡ mod n) ⇔ x – y chia heát cho n
laø moät quan heä töông ñöông Lôùp öôn ñö
modulo n cuûa x , vaø thöôøng ñöôïc í h eäu x = {x + kn, k ∈ 9 }.
a lôùp (hay phaân hoaïch)
cuûa
1) X
• Moät hoï P = {X } α∈I cacù taäp con cuûa X goïi laø moät ph ân α
X neáu
α ≠ ∅ , ∀ α ∈ I.
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2) X =
α∈I
∪ Xα
3) Xα ∩ Xβ ≠ ∅ ⇒ Xα = Xβ .
1.6 Meänh ñe
à
a) Neáu R laø moät quan heä töông ñöông trong X thì taäp thöông X R laø moät
phaân lôùp cuûa X.
b) Neáu P = {X } laø moät phaân lôùp cuûa X thì R(P) = {(x α α∈I ,y)∈X × X : toàn
taïi Xα ∈ P ñeå x, y∈ Xα } laø moät quan heä töông ñöông treân X, vaø P = X R(P) .
Chöùng minh:
a) Giaû söû R laø moät quan heä töông ñöông trong X.
Vì neáu x thuoäc X thì x thuoäc [x] neân [x] ≠ ∅ vaø X =
x∈X • ∪ [x].
• Neáu [x]∩ [y] ≠ ∅, töùc laø toàn taïi z ∈ [x]∩ [y]. Khi ñoù zRx vaø zRy. Vì vaäy xRy (do
tính ñoái xöùng vaø baéc caàu cuûa R). Töø ñoù, [x]= [y].
b) Giaû söû P = {X
⇔ ∃
α } α∈I laø moät phaân lôùp cuûa X vaø R(P) laø quan heä treân X
xaùc ñònh bôûi : x R(P) y Xα ∈ P, x, y ∈ Xα .
• Tính phaûn xaï vaø tính ñoái xöù g c ûa R(P) ø roõ r øng. Giaû söû x, y, z ∈ X sao cho x
R(P) y vaø y R(P) z. Khi ñoù toàn taïi X vaø X sao cho x, y
n u la a
∈ X vaø y, z ∈ X α β α β .
Nhö vaäy, Xα ∩ Xβ ≠ ∅ vaø do P laø phaân lôùp cuûa X neân Xα = Xβ . Töø ñoù, x, z
thuoäc Xα = Xβ , töùc laø x R(P) z. Ñieàu naøy suy ra tính baéc caàu cuûa R(P).
• Ta coù nhaän xeùt raèng, neáu x ∈ X α
thì [x] R(P) = X α
. Thaät vaäy, neáu laáy baát kì y
thuoäc [x] R(P) thì y R(P) x neân toàn taïi Xβ ∈ P sao cho y, x ∈ X . Nhöng khi ñoù, vì
X ,
a [x ⊂ X thì do x cuõng
β
Xβ vaø X αcoù chung phaàn töû x neân truøng nhau; töùc laø y cuõng laø phaàn töû cuûa α
. Ngöôïc laïi, neáu laáy baát kì y thuoäc X α ñieàu naøy suy r ] R(P) α
thuoäc X neân x R(P) y, töùc laø y ∈ [x] . Töø ñoù, X [x] R(P) α
⊂ R(P) . α
• Nhaän xeùt treân suy ra phaàn coøn laïi cuûa meänh ñeà.
• NH
a) thì vôùi moïi x, y thuoäc X ta coù
AÄN XEÙT :
Neáu R laø moät quan heä töông ñöông trong X,
x R y ⇔ [x] = [y] ⇔ x ∈ [y] ⇔ y ∈ [x]
b) Meänh ñeà 1.6 cho thaáy moät söï töông öùng 1 – 1 giöõa taäp caùc quan heä töông ñöông
treân X vaø taäp caùc phaân hoaïch cuûa X.
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