Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Giáo án ĐS và GT 11 NC KII
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
Giáo án ĐS và GT 11 NC Năm Học 2008-2009
Tên bài dạy: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC.
Tiết PPCT: 47-48-49
Ngày soạn: 10-01-2009
A- MỤC TIÊU:
1) Kiến thức:
- Giúp HS nắm kiến thức về phương pháp chứng minh quy nạp.
- Nhớ được 3 bước chứng minh bằng quy nạp:
Kiểm tra mệnh đề đúng với 0
n n = là số tự nhiên nhỏ nhất trong tập hợp
các số cần chứng minh.
Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ 0
n k n = ≥ .
Chứng minh mệnh đề đúng với n k = +1 . Kết luận mệnh đề đúng với mọi
0
n n n ∈ ≥ N,
2) Kỹ năng:
- Rèn luyện kỹ năng chứng minh bằng quy nạp.
- Rèn luyện kỹ năng sử dụng các giả thiết quy nạp để chứng minh.
3) Thái độ:
- HS có thái độ học tập nghiêm túc, tích cực tập trung tham gia các hoạt động.
B- CHUẨN BỊ:
1) Giáo viên:
- Chuẩn bị giáo án, thước kẻ, phấn màu.
2) Học sinh:
- Xem trước nội dung bài học ở nhà.
- Chuẩn bị đầy đủ các dung cụ học tập.
C- HOẠT ĐỘNG DẠY VÀ HỌC:
Tiết 047:
Hoạt động 1: Hướng dẫn HS các bước chứng minh quy nạp.
HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS
+ Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với số
tự nhiên n0 nhỏ nhất trong tập hợp các số
cần chứng minh.
+ Bước 2: Giả sử mệnh đề đã đúng với một
số tự nhiên bất kì 0
n k n = ≥ .
+ Bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng
với n k = +1 .
+ Bước 4: Kết luận mệnh đề đúng với mọi
số tự nhiên 0
n n ≥
+ Để chứng minh một mệnh đề có dạng sau:
*
0 P n n n n ( ), , ∀ ∈ ≥ N . Ta có thể kiểm tra mệnh
đề đó đúng cho vài số đầu tiên sau đó kết luận
mệnh đề đó đúng được không?
+ Vậy nếu phải kiểm tra thì kiểm tra cho bao
nhiêu số được?
+ Ta không thể kiểm tra cho mọi số tự nhiên
được. Từ đó ta có cách làm sau đây:
Hoạt động 2: Hướng dẫn HS chứng minh một số mệnh đề bằng phương pháp quy nạp.
HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS
1
Giáo án ĐS và GT 11 NC Năm Học 2008-2009
1. Phương pháp quy nạp toán học:
Bài toán: Chứng minh mọi số nguyên dương n ta
có:
3
( 1)( 2)
1.2 2.3 ... ( 1)
+ +
+ + + + =
n n n
n n (1)
Khái quát: Ta có thể c/m được mệnh đề sau: Nếu
(1) đúng với n=k (nguyên dương) thì nó cũng đúng
với n=k+1.
Giái bài toán trên:
+ n = 1: 1=1 (đúng)
+ Giả sử (1) đúng với n=k (ng dương)
Ta có:
3
( 1)( 2)
1.2 2.3 ... ( 1)
+ +
+ + + + =
k k k
k k
suy ra
3
( 1)( 2)( 3)
( 1)( 2)
3
( 1)( 2)
1.2 2.3 ... ( 1) ( 1)( 2)
+ + +
+ + + =
+ +
+ + + + + + + =
k k k
k k
k k k
k k k k
Vậy (1) đúng với mọi n nguyên dương.
Phương pháp quy nạp toán học:
Để c/m mệnh đề A(n) đúng∀n∈ N
*
ta thực hiện:
B1: C/m A(n) đúng khi n=1.
B2: ∀n∈ N
*
giả sử A(n) đúng với n=k, cần chứng
minh A(n) cũng đúng với n=k+1.
H1: Hãy kiểm tra với n=1,2?
-H2: c/m n=3 đúng bằng cách sử dụng H1
-H3: có thể thử với mọi n không?
- Tuy nhiên dựa vào lập luận trên ta có thể đưa ra
cách c/m bài toán.
+n = 1,2: (1) đúng
+Cộng thêm hai vế với 2.3 ta c/m đc
(1) đúng.
+ không thể.
Tiết 48
Hoạt động 3:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS
2.Một số ví dụ:
Vídụ1: CMR ∀n∈ N
*
, ta luôn có:
4
( 1)
1 2 3 ...
2 2
3 3 3 3 +
+ + + + =
n n
n
HD:
3 3 3 3 3
2 2
3
2
2
2 2
1 2 3 ... ( 1)
( 1) ( 1)
4
( 1) .( 4 4)
4
( 1) ( 2)
4
k k
k k k
k
k k
k k
+ + + + + + =
+
= + +
+
= + + =
+ +
=
+ 1=1 ( đúng)
+ Giả sử đúng với n=k, cần chứng minh
đúng với n=k+1.
H1: Thử với n=1
H2: Thực hiện bước 2
2
Giáo án ĐS và GT 11 NC Năm Học 2008-2009
Hoạt động 4:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS
Ví dụ 2: CMR un=7.22n-2 + 32n-1 5, ∀n∈
N
*
.
HD: uk+1=7.22(k+1)-2 + 32(k+1)-1=7.22k-2+2 + 32k-1+2
=28.22k-2 + 9.32k-1 =4(7.22k-2 + 32k-1)+5.32k-1
5
Chú ý: trong thực tế ta có thể gặp bài toán
yêu cầu CM A(n) đúng ∀n≥ p. Khi đó ta
cũng cm tương tự nhưng ở B1 thì thử với
n=p.
Tiết 49:
Hoạt động 5: Kiểm tra bài cũ.
HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS
Ví dụ 3: CMR 2n>2n+1, ∀n ≥3. +n=1: u1=10 5
+Giả sử đúng n=k, cần cm đúng khi n=k+1.
+ 2k+1=2.2k>2(2k+1)= 4k+2>2k+3>2(k+1)+1
( vì k ≥ 3)
Hoạt động 2:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS
Bài 5: Khi n=k+1:
2( 1)
1
2 1
1
2
1
...
3
1
2
1
+
+
+
+ + +
+
+
k + k k k k
1 1 1 1 1 1
...
1 2 3 2 2 1 2( 1)
1
1
k k k k k k
k
= + + + + + + −
+ + + + +
−
+
1 1 1 1 1
...
1 2 3 2 2( 1)(2 1)
13
24
k k k k k k
= + + + + +
+ + + + +
>
Bài 6:(là ví dụ 2)
Bài 7: Cho số thực x>-1. CMR
x nx
n
(1+ ) ≥1+
Khi n=k+1:
(1+x)k+1 =(1+x)k
(1+x) ≥ (1+kx)(1+x)
=1+(k+1)x +kx2 ≥ 1+(k+1)x
Bài 8: Không đúng vì chưa thử với n=1.
Bài 1: HS tự làm.
Bài 2: HS tự làm.
Bài 3: Khi n=k+1, ta có:
1
1
2
1
1 1
...
2
1
1
+
< +
+
+ + + +
k
k
k k
1
1
1 1
1
2 ( 1) 1
= +
+
+ + +
<
+
+ +
= k
k
k k
k
k k
VP
(Côsi và k ≠ k+1)
Bài 4: HS tự làm ( lưu ý n ≥2).
D- CỦNG CỐ, DẶN DÒ:
1. Củng cố: Nhắc lại phương pháp chứng minh quy nạp và cách vận dụng.
2. Bài về nhà:
- Hết tiết 39: các bài tập SGK trang 100, 101.
- Hết tiết 40: 1) CMR un=13n
-1 6 , ∀n∈ N.
2) CMR
6
( 1)(2 1)
1 2 3 ...
2 2 2 2 + +
+ + + + =
n n n
n , ∀n∈ N
*
.
3