Giáo án bồi dưỡng HSG 12

GV: Nguy ến Tất Thu- Biên Hòa Bài tập Đại số

I-Bất đẳng thức cô si

1.Chứng minh rằng

2 2 2

2

a b c a b c

b c c a a b

+ + + + ≥

+ + +

với a,b,c>0

2.Chứng minh rằng ( ) ( ) ( )

3 3 3

1 1 1 3

a b c b c a c a b 2

+ + ≥

+ + +

với a,b,c>0 và abc =1

3.Cho a,b,c>0 và abc=1.Cm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3 a 3

1 1 1 1 1 1 4

b c

b c c a a b

+ + ≥

+ + + + + +

4.Cho k số không âm 1 2 , ,..., k

a a a thoả 1 2... 1 k

a a a =

Cm: 1 2 1 2 ... ...

m m m n n n

k k a a a a a a + + + ≥ + + + với m n m n N ≥ ∈ ; ,

5.Cho 3 số thực x,y,z thoả mãn: 2004 2004 2004

x y z + + = 3 .Tìm GTLN của biểu thức

3 3 3 A x y z = + +

6.Cho a+b+c =0 .Chứng minh rằng 8 8 8 2 2 2 a b c a b c + + ≥ + +

7.Cho số tự nhiên k ≥ 2. 1 2 , ,..., k

a a a là các số thực dương

Cmr: 1 2

1 2

2 3 1

... ...

m m m

k m n m n m n

n n n n

a a a

a a a

a a a

− − − + + + ≥ + + +

8.Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn 1 1 1 1

x y z

+ + = .Tìm GTNN của biểu thức

2006 2006 2006

2007 2007 2007

x y z A

y z x

= + +

9.Tìm GTNN của

20 20 20

11 11 11

x y z A

y z x

= + + với x y z + + =1

10.Cho n số thực 1 2 , ,..., n

x x x thuộc đoạn [ a b a , , 0 ] >

Cmr: ( )

( ( ) )

2

1 2

1 2

1 1 1

... ...

4

n

n

n a b

x x x

x x x ab

  +

+ + + + + + ≤  ÷  

11.Cho n là số nguyên dương;lấy [ 2000;2001] i

x ∈ với mọi i=1,2…,n

Tìm GTLN của ( ) ( )

1 2 1 2 2 2 ... 2 2 2 ... 2 n n x x x x x x F

− − −

= + + + + + +

12.Xét các số thực 1 2 2006 x x x , ,..., thoả 1 2 2006 , ,...,

6 2

x x x

π π

≤ ≤

Tìm GTLN của biểu thức

( ) 1 2 2006

1 2 2006

1 1 1 sin sin ... sin ...

sin sin sin

A x x x

x x x

 

= + + + + + +  ÷  

13.Cho n số dương 1 2 , ,...,

n

a a a Đặt : m a a a M M a a a = = min , ,..., , ax , ,..., { 1 2 1 2 n n } { }

1 1

1

,

n n

i

i i i

A a B

= = a

= = ∑ ∑ .Cmr: ( )

1

B n m M A

mM

≤ + −    

Năm học 2006-2007