Đồng điều đơn hình và ứng dụng.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN



LƯƠNG THANH TOẠI

ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn: TS. LÊ HOÀNG TRÍ

Đà Nẵng – Năm 2015

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN



LƯƠNG THANH TOẠI

ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn: T.S LÊ HOÀNG TRÍ

Đà Nẵng – Năm 2015

1

LỜI CẢM ƠN

Em xin dành trang đầu tiên này để bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý

thầy cô trong khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng, những

người đã hết lòng dạy dỗ, truyền đạt những kiến thức khoa học và kinh nghiệm

quý báu để em có được ngày hôm nay.

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS.Lê Hoàng Trí, người đã

gợi ý và hướng dẫn đề tài khóa luận “Đồng điều đơn hình và ứng dụng”.

Thầy đã nhiệt tình và hết lòng giúp đỡ trong suốt thời gian qua để em có thể

hoàn thành khóa luận này.

Cuối cùng, cho phép em được cảm ơn thầy chủ tịch hội đồng, các thầy cô

phản biện và các ủy viên hội đồng đã giành thời gian quý báu để đọc, nhận xét,

đánh giá và tham gia hội đồng chấm khóa luận này.

Đà Nẵng, ngày 27 tháng 04 năm 2015

Sinh viên thực hiện

LƯƠNG THANH TOẠI

2

MỤC LỤC

Mở đầu ........................................................................................................... 03

Chương 1. Đơn hình và phức đơn hình ...................................................... 05

1.1. Đơn hình ....................................................................................... 05

1.2. Phức đơn hình ............................................................................... 18

1.3. Thứ phân trọng tâm....................................................................... 31

1.4. Ánh xạ đơn hình và xấp xỉ đơn hình............................................. 33

1.5. Nhóm Abel tự do sinh bởi một tập hợp ........................................ 35

Chương 2. Nhóm đồng điều của một phức đơn hình và ứng dụng .......... 38

2.1. Nhóm đồng điều của một phức đơn hình ..................................... 38

2.2. Ứng dụng ...................................................................................... 47

Kết luận .......................................................................................................... 57

Tài liệu tham khảo ........................................................................................ 58

3

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Một trong các vấn đề cơ bản của topo là việc xác định hai không gian topo

có đồng phôi với nhau hay không. Để chỉ ra hai không gian topo là đồng phôi

với nhau ta cần xây dựng một song ánh liên tục với ánh xạ ngược liên tục từ

không gian này vào không gian kia. Để chỉ ra hai không gian topo là không

đồng phôi với nhau ta chứng minh một ánh xạ như vậy là không tồn tại. Thường

thì khó để thực hiện điều này. Cách mà người ta thường làm là tìm một vài tính

chất topo bất biến qua các phép đồng phôi thỏa mãn cho không gian này mà

không thỏa mãn cho không gian kia. Chẳng hạn, không đồng phôi với

2

vì nếu bỏ đi một điểm trong thì nó không còn liên thông nữa, trong khi nếu

bỏ đi một điểm trong

2

thì nó vẫn liên thông. Tuy nhiên, việc giải quyết các

bài toán tổng quát cần nhiều kỹ thuật tinh vi hơn. Topo đại số bắt nguồn tư

những nỗ lực của nhiều nhà toán học như Poincaré và Betti nhằm xây dựng các

bất biến topo. Poincaré giới thiệu nhóm cơ bản của không gian topo. Từ đó có

thể chỉ ra rằng một số các lớp không gian topo quen thuộc như mặt cầu, mặt

xuyến, lọ Klein có các nhóm cơ bản khác nhau nên chúng không đồng phôi với

nhau. Trong khi đó, bằng một cách khác, Betti kết hợp mỗi một không gian

topo với một dãy các nhóm Abel, được gọi là các nhóm đồng điều. Với trường

hợp này, mặc dù đã được chứng minh là đúng nhưng không phải hiển nhiên mà

các không gian đồng phôi thì có các nhóm đồng điều đẳng cấu với nhau. Những

nhóm này cũng có thể được dùng để giải quyết vấn đề của các bài toán đồng

phôi. Và một điều thuận lợi là chúng dễ tính hơn các nhóm cơ bản. Có một vài

cách khác nhau để định nghĩa nhóm đồng điều, nhưng hai cách mà người ta

thường xem xét là nhóm đồng điều đơn hình và nhóm đồng điều kỳ dị. Trong

khóa luận này, tôi xin trình bày về nhóm đồng điều đơn hình và một số tính

chất, ứng dụng của nó.

4

2. Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu các tính chất topo của các đa diện thông qua cấu trúc phức đơn

hình của chúng.

Tìm hiểu các nhóm đồng điều của một phức đơn hình và ứng dụng tính

các nhóm đồng điều của một số phức đơn hình.

3. Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu để từ đó tổng hợp, chọn lọc những kiến thức

có liên quan để thực hiện đề tài.

4. Nội dung nghiên cứu

Nội dung của khóa luận ngoài phần Mở đầu và Kết luận gồm có hai

chương:

 Chương 1: Đơn hình và phức đơn hình

Chương 1 trình bày về đơn hình, phức đơn hình, ánh xạ đơn hình, xấp xỉ

đơn hình và nhóm Abel tự do sinh bởi một tập hợp.

 Chương 2: Nhóm đồng điều của một phức đơn hình và ứng dụng

Chương 2 trình bày về nhóm đồng điều của một phức đơn hình và ứng

dụng tính các nhóm đồng điều của một phức đơn hình cũng như phân

loại topo các giá của chúng.

5. Đóng góp của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, hy vọng có thể giúp mọi người có một

cái nhìn khá trực quan về kỹ thuật thiết lập các hình ảnh đại số của các không

gian topo và việc phân loại trên lớp các không gian topo có cấu trúc phức đơn

hình.