Phức đơn hình có các nhóm đồng điều đẳng cấu với các nhóm abel hữu hạn sinh cho trước

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI: PHỨC ĐƠN HÌNH CÓ CÁC NHÓM

ĐỒNG ĐIỀU ĐẲNG CẤU VỚI CÁC NHÓM

ABEL HỮU HẠN SINH CHO TRƢỚC

Giáo viên hướng dẫn : TS. Lƣơng Quốc Tuyển

Sinh viên thực hiện : Lê Thị Thu Nguyệt

Lớp : 13ST

-- Đà Nẵng, 05/2017 --

1

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

CHƯƠNG 1. ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.1. CÁC PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ CÁC ÁNH XẠ ĐƠN HÌNH . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.2. CÁC NHÓM ĐỒNG ĐIỀU VÀ ĐỒNG ĐIỀU RÚT GỌN . . . . . . . . . . . . . . . .15

CHƯƠNG 2. SỰ TỒN TẠI CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH CÓ CÁC NHÓM ĐỒNG ĐIỀU ĐẲNG CẤU VỚI CÁC NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH CHO TRƯỚC

27

2.1. SỰ TỒN TẠI CỦA MỘT PHỨC ĐƠN HÌNH CÓ NHÓM ĐỒNG ĐIỀU 1 - CHIỀU ĐẲNG CẤU VỚI MỘT NHÓM CYCLIC HỮU HẠN CHO TRƯỚC

27

2.2. SỰ TỒN TẠI CỦA MỘT PHỨC ĐƠN HÌNH CÓ NHÓM ĐỒNG ĐIỀU p - CHIỀU ĐẲNG CẤU VỚI MỘT NHÓM CYCLIC HỮU HẠN CHO TRƯỚC

30

2.3. SỰ TỒN TẠI CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH CÓ CÁC NHÓM ĐỒNG ĐIỀU ĐẲNG CẤU VỚI CÁC NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH CHO TRƯỚC

31

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2

MỞ ĐẦU

Bài toán phân loại topo là bài toán cơ bản nhất của ngành Topo :

“Tìm các điều kiện để hai không gian topo là đồng phôi hoặc không đồng

phôi với nhau”.

Để giải quyết một phần vấn đề này người ta đặt tương ứng mỗi không

gian topo, mỗi số nguyên p với một nhóm Abel (được gọi là nhóm đồng

điều p - chiều của không gian này) và mỗi ánh xạ liên tục giữa hai không

gian topo với một đồng cấu nhóm giữa các nhóm đồng điều p - chiều giữa

chúng. Khi hai không gian topo đồng phôi thì các nhóm đồng điều p -

chiều của chúng đẳng cấu, do đó để phân loại topo người ta thường tính

các nhóm đồng điều của nó và nếu các nhóm đồng điều của chúng không

đẳng cấu thì các không gian topo này không đồng phôi với nhau. Có hai

loại lý thuyết Đồng điều cơ bản là Đồng điều đơn hình và Đồng điều Kỳ

dị, ở đây chúng tôi chỉ xét đến Đồng điều đơn hình.

Ta biết rằng các nhóm đồng điều kỳ dị p - chiều (p ∈ Z) của một

không gian topo là một nhóm Abel; Như vậy phát sinh một vấn đề là liệu

đối với một nhóm Abel cho trước có tồn tại một không gian topo có nhóm

đồng điều kỳ dị p - chiều đẳng cấu với nhóm này không?

Vấn đề này được trả lời khẳng định bởi Moore (xem [5]): Với mỗi

p ≥ 1, với mỗi nhóm Abel G, tồn tại một CW - phức X có nhóm đồng

điều kỳ dị p - chiều đẳng cấu với nhóm G, người ta đã không nói rằng CW

- phức X có là một phức đơn hình hay không (lớp tất cả các phức đơn

hình được chứa trong lớp tất cả các CW - phức) và để tính nhóm đồng

điều kỳ dị của CW - phức người ta phải sử dụng đến lý thuyết đồng điều

của các CW - phức và bậc của các ánh xạ liên tục từ mặt cầu vào chính

nó.

Tương tự như vậy, ta biết rằng các nhóm đồng điều đơn hình p - chiều

(p ≥ 1) của một phức đơn hình hữu hạn là một nhóm Abel hữu hạn sinh;

3

Như vậy cũng phát sinh một câu hỏi là liệu đối với một nhóm Abel hữu

hạn sinh cho trước có tồn tại một phức đơn hình hữu hạn có nhóm đồng

điều đơn hình p - chiều đẳng cấu với nhóm này không? Nội dung chính

của Khóa Luận này là trả lời khẳng định cho câu hỏi trên; Ở đây ta giải

quyết Bài toán tổng quát hơn:

Cho G0, G1, G2, . . . là một dãy các nhóm Abel hữu hạn sinh

cho trước mà G0 tự do và tồn tại p0 ≥ 0: Gp = 0, ∀p > p0 thì tồn

tại một phức đơn hình hữu hạn K có nhóm đồng điều p - chiều

đẳng cấu với Gp, với mỗi p ≥ 0.

(Sở dĩ ta giả thiết G0 là nhóm Abel tự do vì nhóm đồng điều 0 - chiều

của mỗi phức đơn hình là một nhóm Abel tự do).

Trong khóa luận này, chúng tôi sử dụng kỹ thuật trong [7] tính toán

trực tiếp các nhóm đồng điều chiều thấp của các đơn hình; Đối với việc

tính toán các nhóm đồng điều chiều cao hơn chúng tôi sử dụng đến các

dãy khớp của Mayer - Vietoris.

Tác giả xin chân thành cám ơn các Thầy Giáo, Cô Giáo ở Khoa Toán

của Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà nẵng đã giúp đỡ Tác giả trong

các năm qua, đặc biệt là các Thầy Giáo Lương Quốc Tuyển, Đặng Văn

Riền, Phan Đức Tuấn. Tác giả cũng cám ơn các bạn bè trong lớp đã động

viên trong suốt quá trình làm Khóa Luận này.