Hàm Green đa phức với hai cực của hình cầu đơn vị trong £n

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

®¹i häc th¸i nguyªn

tr-êng ®¹i häc s- ph¹m

---------------------------------------

ph¹m thÞ minh h¹nh

hµm green ®a phøc víi hai cùc

cña h×nh cÇu ®¬n vÞ trong

n

£

LuËn v¨n th¹c sü to¸n häc

Th¸I nguyªn - 2010

®¹i häc th¸i nguyªn

tr-êng ®¹i häc s- ph¹m

--------------------------------------

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ph¹m thÞ minh h¹nh

hµm green ®a phøc víi hai cùc

cña h×nh cÇu ®¬n vÞ trong

n

£

Chuyªn ngµnh: gi¶i tÝch

M· sè: 60.46.01

LuËn v¨n th¹c sü to¸n häc

Ng-êi h-íng dÉn khoa häc:

pgs.TS. Ph¹m HiÕn B»ng

Th¸I nguyªn - 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái

Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp

này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh

nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Xin chân thành cảm ơn Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các

thầy cô giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi

trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.

Xin chân thành cảm ơn Khoa cơ bản Trường Đại học KTCN - ĐHTN cùng

các đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi về thời gian công tác tại cơ quan,

giúp tôi yên tâm học tập và hoàn thành bản luận văn này.

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất

mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để

luận văn này được hoàn chỉnh hơn.

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong

thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Thái Nguyên, tháng 08 năm 2010

Tác giả

Phạm Thị Minh Hạnh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

CHƢƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1. Hàm điều hoà dưới 3

1.2. Hàm đa điều hoà dưới 6

1.3. Hàm đa điều hoà dưới cực đại. 12

1.4. Toán tử Monge –Ampe 14

CHƢƠNG 2. HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI HAI CỰC CỦA

HÌNH CẦU ĐƠN VỊ TRONG

n

£

15

2.1. Hµm Green ®a phøc 15

2.2. Hµm Geen ®a phøc víi hai cùc cña h×nh cÇu ®¬n vÞ trong

n

£ . 18

KẾT LUẬN 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài.

Hàm Green đa phức đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết thế vị

phức, nó đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

như: Siciak, Zaharjuta, Lelong, Klimek, Zeriahi, Dan Coman...và đạt được

nhiều kết quả sâu sắc về hàm Green đa phức và xấp xỉ các hàm chỉnh hình. Đó

là sự tổng quát hoá kết quả của Siciak- Zaharjuta trong

¥

£

và trong trường hợp

đại số. Một số kết quả về hàm Green đa phức với cực logarit trên đa tạp siêu lồi,

đó là sự tổng quát hoá của hàm Green đa phức với cực hữu hạn, đã được nghiên

cứu bởi Lelong, Klimek, Demailly, Zaharjuta, E. Amar , P.J. Thomas, Dan

Coman...

Tuy nhiên những cấu trúc của hàm Green đa phức với nhiều cực vẫn còn

được biết rất ít. Ở đây chúng tôi chọn đề tài ” Hàm Green đa phức với hai cực

của hình cầu đơn vị trong

n

£ ”.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.

2.1. Mục đích nghiên cứu.

Mục đích chính của luận văn là tìm công thức Green đa phức của hình

cầu đơn vị trong

n

£

với hai cực.

2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu.

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

+ Xây dựng công thức cho hàm Green đa phức đối với hình cầu đơn vị

trong

n

£

với hai cực có trọng bằng nhau.

+ Chỉ ra sự tồn tại của lá của hình cầu (kỳ dị tại các cực) bởi các đĩa giải

tích nhẵn đi qua một hoặc cả hai cực, sao cho hạn chế của hàm Green đa phức

tới các đĩa này là điều hoà xa các cực.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

4

+ Sử dụng biểu thức của hàm Green dọc theo mỗi tờ của lá, xây dựng

công thức của nó trên toàn bộ hình cầu.

3. Phƣơng pháp nghiên cứu:

- Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của

giải tích hàm hiện đại.

- Sử dụng các phương pháp của lý thuyết thế vị phức.

- Kế thừa phương pháp và kết quả của E. Amar và P.J. Thomas, Dan Coman.

4. Bố cục của luận văn.

Nội dung luận văn gồm 56 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương

nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản như: Hàm điều hoà, hàm đa điều

hoà, hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực trị, hàm Green phức, hàm

Green đa phức, toán tử Monge-Ampere.

Chương 2 mang tên “ Hàm Green đa phức với hai cực của hình cầu đơn vị

trong

n

£ ”. Nội dung của chương này là trình bày việc xây dựng công thức cho

hàm Green đa phức đối với hình cầu đơn vị trong

n

£

với hai cực có trọng bằng

nhau, Chỉ ra sự tồn tại của lá của hình cầu (kỳ dị tại các cực) bởi các đĩa giải

tích nhẵn đi qua một hoặc cả hai cực. Sử dụng biểu thức của hàm Green dọc

theo mỗi tờ của lá, sẽ xây dựng công thức của nó trên toàn bộ hình cầu.

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt các kết quả đạt được.