Hàm Green đa phức và bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

---------------------------------------

LÃ THỊ LỆ HÀ

HÀM GREEN ĐA PHỨC

VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI

TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN – 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU........................................................................................................... 1

CHƢƠNG I : MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.......................................... 5

1.1. Hàm đa điều hoà dƣới ................................................................................ 5

1.2. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại ................................................................ 11

1.3. Toán tử Monge-Ampère phức.................................................................. 16

CHƢƠNG II: HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET

ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC.......................................... 23

2.1. Đa tạp siêu lồi và hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc. ...................... 24

2.2. Hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi................................................... 26

2.3. Các định lý so sánh đối với lớp các hàm không bị chặn.......................... 37

2.4. Hàm Green đa phức và bài toán Dirichlet................................................ 43

KẾT LUẬN..................................................................................................... 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 49

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức đƣợc đặt

nhƣ sau: Cho

n D  £

là miền giả lồi chặt,



là độ đo Borel trên

D .

Hãy tìm lớp các hàm đa điều hòa dƣới

P ( ) D

thích hợp trên đó toán tử

Monge-Ampère phức

( )c n dd

đƣợc xác định tốt sao cho với hàm liên tục

tùy ý

h

trên

D

, bài toán sau có nghiệm duy nhất:

( )

(dd ) ( )

lim ( ) ( ),

c n

z

u D

u I

u z h D





 



 



 

     

P

Bài toán Dirichlet đối với hàm đa điều hòa dƣới đã đƣợc nghiên

cứu đầu tiên bởi Brememann (1959), ở đó Ông đã dùng phƣơng pháp

của Perron để giải quyết. Sau đó Bedford và Taylor (1976) đã giới thiệu

toán tử Monge-Ampère phức và giải Bài toán Dirichlet (I) khi

( ) ( ) ( ) D D L D loc



P P SH  I

và độ đo



là liên tục tuyệt đối đối với độ đo

Lebesgue. Từ đó một số tác giả nhƣ U.Cegrell (1984), U.Cegrell và

L.Persson (1992), U.Cegrell và S.Kolodziej (1994), Z.Blocki (1995) đã

cố gắng giải quyết bài toán bỏ qua tính liên tục của mật độ

 .

S.Kolodziej (1996) đã cho điều kiện đủ đối với tính giải đƣợc của bài

toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trên lớp

( ) ( ) D L D loc



P SH I

và giải bài toán Dirichle đối với các độ đo nhƣ thế.

Đối với các độ đo kỳ dị, tính giải đƣợc của bài toán Dirichlet đã đƣợc

giải quyết bởi J.P.Demailly (1987) và P. Lelong (1989).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

Theo hƣớng nghiên cứu trên, chúng tôi chọn đề tài "Hàm Green đa

phức và bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức". Ở đây

chúng tôi sẽ trình bày việc giải bài toán Dirichlet (I) đối với độ đo kỳ dị

: ( )

n

   

liên kết với hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc trên

D .

Đề tài có tính thời sự, đã và đang đƣợc nhiều nhà toán học trong

và ngoài nƣớc quan tâm nghiên cứu.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1. Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả về hàm

Green đa phức và áp dụng để giải bài toán Dirichlet đối với toán tử

Monge-Ampère phức.

2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

+ Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của

hàm đa điều hoà dƣới, hàm đa điều hoà dƣới cực đại, toán tử Monge￾Ampère.

+ Trình bày một số kết quả về đa tạp siêu lồi và hàm đa điều hoà

dƣới chấp nhận đƣợc, hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi, các định

lý so sánh đối với lớp các hàm không bị chặn.

+ Giải bài toán Dirichlet nhờ hàm Green đa phức và toán tử

Monge-Ampère.

3. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phƣơng pháp của giải tích phức kết hợp với các

phƣơng pháp của giải tích hàm hiện đại.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

- Sử dụng các phƣơng pháp của lý thuyết thế vị phức.

- Kế thừa phƣơng pháp và kết quả của Ahmed Zeriahi.

4. Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 51 trang, trong đó có phần mở đầu, hai

chƣơng nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.

Chƣơng 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các

tính chất của hàm đa điều hoà dƣới, hàm đa điều hoà dƣới cực đại, toán

tử Monge-Ampère.

Chƣơng 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả

nghiên cứu về Đa tạp siêu lồi và Hàm đa điều hòa dƣới chấp nhận đƣợc,

Hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi, các định lý so sánh đối với lớp

các hàm không bị chặn. Giải bài toán Dirichlet nhờ hàm Green đa phức

và toán tử Monge-Ampère.

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt đƣợc.

Bản luận văn đƣợc hoàn thành tại Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại

học Thái Nguyên dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến

Bằng. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hƣớng dẫn

hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và

hoàn thành luận văn.

Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban

chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại

học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội

đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và

nghiên cứu khoa học.