Nhóm đồng điều của một phức đơn hình và ứng dụng.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Tên đề tài:

NHÓM ĐỒNG ĐIỀU

CỦA MỘT PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG

Người hướng dẫn : TS. Lê Hoàng Trí

Người thực hiện : Phan Trần Đức Minh

Lớp: 08ST Khoa: Toán

ĐÀ NẴNG 2012

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Trường Đại học Sư phạm – Đại Học

Đà Nẵng, Khoa Toán. Đặc biệt, tôi rất biết ơn Thầy giáo TS. Lê Hoàng Trí đã

chỉ dẫn và giúp đỡ tôi rất tận tình. Và tôi cũng rất biết ơn sự giúp đỡ quí giá của

Thầy giáo Nguyễn Thanh Hoàng. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn sự ủng hộ, động

viên nhiệt tình của người thân và bạn bè khi tôi thực hiện khóa luận!

MỤC LỤC

Mở đầu ................................................................................................................. 2

Chương I. Đơn hình. Phức đơn hình ............................................................. 5

1.1. Đơn hình .......................................................................................... 5

1.2. Phức đơn hình ................................................................................ 14

1.3. Thứ phân trọng tâm ........................................................................ 24

1.4. Ánh xạ đơn hình ............................................................................. 24

1.5. Nhóm abel tự do sinh bởi một tập ................................................. 25

Chương II. Nhóm đồng điều của một phức đơn hình và ứng dụng ............. 29

2.1. Nhóm đồng điều của một phức đơn hình ...................................... 29

2.2. Ứng dụng ....................................................................................... 39

Kết luận ............................................................................................................. 50

Tài liệu tham khảo ............................................................................................ 51

2

MỞ ĐẦU

I. Lí do chọn đề tài

Vấn đề cơ bản của topo là việc xác định hai không gian topo có đồng phôi

với nhau hay không. Để chỉ ra hai không gian topo là đồng phôi với nhau ta cần

xây dựng một song ánh liên tục với ánh xạ ngược liên tục từ không gian này vào

không gian kia. Để chỉ ra hai không gian topo là không đồng phôi với nhau ta

chứng minh một ánh xạ như vậy là không tồn tại. Thường thì khó để thực hiện

điều này, cách mà người ta thuờng làm là tìm một vài tính chất topo thỏa mãn

cho không gian này mà không thỏa mãn cho không gian kia (chẳng hạn như một

số tính chất topo bất biến qua các phép đồng phôi). Ví dụ, một quả cầu đóng đơn

vị trong

2 R

thì không đồng phôi với

2 R

bởi vì quả cầu đóng đơn vị là tập

compact trong khi

2 R

thì không. Hoặc

R

thì không đồng phôi với

2 R

. Bởi vì

nếu bỏ đi một điểm trong

R

thì nó không còn liên thông nữa, trong khi nếu thực

hiện điều này đối với

2 R

thì nó vẫn liên thông. Tuy nhiên việc giải quyết các bài

toán tổng quát cần nhiều kĩ thuật tinh vi hơn. Tôp đại số bắt nguồn từ những nỗ

lực của nhiều nhà toán học như Poincaré và Betti nhằm xây dựng các bất biến

topo. Poincaré giới thiệu nhóm cơ bản của một không gian topo. Từ đó, có thể

chỉ ra rằng một số các lớp không gian topo quen thuộc như mặt cầu, mặt xuyến,

lọ Klein có các nhóm cơ bản khác nhau nên chúng không đồng phôi với nhau.

Thực tế người ta đã có thể phân loại các đa tạp compact bằng việc sử dụng nhóm

3

cơ bản. Trong khi đó, bằng một cách khác, Betti kết hợp mỗi một không gian

topo với một dãy các nhóm abel, được gọi là các nhóm đồng điều. Với trường

hợp này, mặc dù đã được chứng minh là đúng nhưng không phải hiển nhiên mà

các không gian đồng phôi thì có các nhóm đồng điều đẳng cấu với nhau. Những

nhóm này cũng có thể được dùng để giải quyết vấn đề của các bài toán đồng

phôi. Và một điều thuận lợi là chúng dễ tính hơn các nhóm cơ bản. Có một vài

cách khác nhau định nghĩa nhóm đồng điều, nhưng hai cách mà người ta thường

xem xét là nhóm đồng điều đơn hình và nhóm đồng điều kì dị. Trong khóa luận

này, tôi trình bày nhóm đồng điều đơn hình và một số tính chất của nó.

II. Mục đích nghiên cứu

Thực hiện đề tài này, tôi mong muốn:

- Tìm hiểu các tính chất topo của các đa diện thông qua cấu trúc phức đơn hình

của chúng.

- Tìm hiểu các nhóm đồng điều của một phức đơn hình.

- Ứng dụng tính các nhóm đồng điều của một số phức đơn hình.

III. Phương pháp nghiên cứu

Thực hiện đề tài này tôi chủ yếu tiến hành nghiên cứu lý luận. Kiến thức

chuẩn bị bao gồm các kiến thức nền của đại số đồng điều và topo đại cương.

IV. Nội dung nghiên cứu

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, đề tài bao gồm 2 chương:

Chương I. Đơn hình. Phức đơn hình

1.1. Đơn hình

1.2. Phức đơn hình

1.3. Thứ phân trọng tâm

1.4. Ánh xạ đơn hình