Các ánh xạ của nhóm đối đồng điều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ DIÊM HÙNG

CÁC ÁNH XẠ

CỦA NHÓM ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Gia Định

Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Phản biện 2: GS.TS. Lê Văn Thuyết

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn

tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào

ngày 14 tháng 12 năm 2013.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong đại số trừu tượng, đại số đồng điều, tôpô đại số và lý thuyết

số, cũng như ứng dụng đối với lý thuyết nhóm nói riêng, đối đồng điều

của nhóm là một cách để nghiên cứu nhóm sử dụng một dãy hàm tử

H

n

. Việc nghiên cứu các điểm bất động của nhóm tác động lên môđun

và môđun thương là một động lực, nhưng đối đồng điều có thể được

định nghĩa sử dụng các xây dựng khác nhau. Có một lý thuyết đối

ngẫu, đồng điều của nhóm, và một suy rộng đến hệ số không Abel.

Các ý tưởng đại số này rất gần với ý tưởng tôpô. Đối đồng điều

nhóm của một nhóm G có thể được hiểu và được giải thích là đối đồng

điều kỳ dị của một không gian thích hợp có G như là nhóm cơ bản của

nó, cụ thể tương ứng là không gian Eilenberg-MacLane K(G, 1), đó là

không gian tôpô liên thông đường X mà có π1(X) đẳng cấu với G và

mọi nhóm đồng luân khác là tầm thường. Vì vậy đối đồng điều nhóm

của Z có thể được hiểu như là đối đồng điều kỳ dị của đường tròn S

1

và tương tự đối với Z/2Z và RP∞

.

Một đóng góp lớn được biết về đối đồng điều của nhóm, bao gồm

việc giải thích đối đồng điều số chiều thấp, tính hàm tử và làm thế nào

để biến đổi nhóm. Trong lý thuyết đối đồng điều nhóm, các ánh xạ liên

hợp (Conjuation), ánh xạ hạn chế (Restriction), ánh xạ nâng (Inflation)

và ánh xạ chuyển (Transfer) đóng một vai trò hết sức quan trọng. Có

nhiều kết quả thú vị ngày nay trong tôpô đại số sử dụng đến bốn loại

ánh xạ đối đồng điều này. Cụ thể là nhóm nghiên cứu của GS. Nguyễn

Hữu Việt Hưng về bài toán Hit của Peterson sử dụng rất nhiều đến các

ánh xạ này, trong đó Transfer có một ý nghĩa vô cùng quan trọng.

Với những lý do trình bày ở trên, chúng tôi mong muốn tổng

2

quan về bốn loại ánh xạ đối đồng điều nhóm và nêu ra các tính chất

quan trọng của chúng qua đề tài luận văn thạc sĩ Các ánh xạ của

nhóm đối đồng điều.

2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài:

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu các ánh xạ của nhóm đối đồng

điều, cụ thể là ánh xạ liên hợp (Conjuation), ánh xạ hạn chế (Restriction),

ánh xạ nâng (Inflation) và ánh xạ chuyển (Transfer), cùng các tính chất

của chúng. Nội dung của luận văn được chia thành 3 chương:

− Chương 1 giới thiệu các khái niệm và kết quả về nhóm đối

đồng điều của nhóm G lấy hệ số trong G-môđun A, trong đó có nhóm

vi phân và cách xây dựng G-phức hình.

− Chương 2 trình bày các khái niệm và kết quả quan trọng về

các ánh xạ của nhóm đối đồng điều. Cụ thể là đồng cấu cặp và sự

độc lập của phức hình để từ đó định nghĩa được bốn loại ánh xạ: ánh

xạ liên hợp, ánh xạ hạn chế, ánh xạ nâng và ánh xạ chuyển, cùng với

các ứng dụng cơ bản của chúng.

− Chương 3 nêu ra một số tính chất của nhóm đối đồng điều

thông qua bốn loại ánh xạ nói trên.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lý thuyết đối đồng điều của nhóm.

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các ánh xạ của nhóm đối đồng điều.

4. Đóng góp của đề tài:

1. Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan

đến các ánh xạ liên hợp, hạn chế, nâng và chuyển của nhóm đối đồng

điều, nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn

nghiên cứu về Lý thuyết đối đồng điều của nhóm và các ứng dụng.

2. Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnhđề, cũng như

đưa ra một số ví dụ minh hoạ nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp

cận vấn đề được đề cập.

3

CHƯƠNG 1

NHÓM ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CỦA NHÓM HỮU HẠN G TRONG

G- MÔĐUN

Các khái niệm và kết quả trong chương này được tham khảo

tại các tài liệu [1] và [4].

1.1. NHÓM VI PHÂN

Định nghĩa 1.1.1. Một nhóm vi phân là một cặp (A, d) trong đó A

là một nhóm Abel (mà ta thường ký hiệu cộng) và d là một tự đồng

cấu của A sao cho d

2=d
d=0 gọi là toán tử vi phân. Vì Imd⊂Kerd,

ta có thể thành lập nhóm H(A)=Kerd/Imd, gọi là nhóm dẫn xuất của

(A, d). Nếu (A1, d1) và (A2, d2) là các nhóm vi phân thì một đồng

cấu f: A1→A2 được gọi là chấp nhận được khi d2
f=f
d1. Trong

phần này, tất cả toán tử vi phân sẽ được ký hiệu là d.

Mệnh đề 1.1.1. Một ánh xạ chấp nhận được f: (A, d)→(B, d) của các

nhóm vi phân cảm sinh một đồng cấu tự nhiên f∗: H(A)→H(B) cho bởi

f∗(a+dA)=f(a)+dB, với da=0.

Nếu f, g: (A, d)→(B, d) đều là chấp nhận được thì f ± g là chấp nhận

được và (f ± g)∗=f∗ ± g∗. Nếu f: (A, d)→(B, d) và g: (B, d)→(C, d)

đều là chấp nhận được thì g
f là chấp nhân được và (g
f)∗=g∗
f∗.

Hệ quả 1.1.2. Ta có 0∗=0 và 1∗=1.

Định lý 1.1.3. Giả sử 0→A →i

B →j C→0 là một dãy khớp

ngắn của các nhóm vi phân với ánh xạ chấp nhận được. Khi đó tồn

tại một đồng cấu d∗: H(C)→H(A) sao cho tam giác sau là khớp:

H( ) C H( ) A

H( ) B

*

d

*

i

*

j

4

Định nghĩa 1.1.2. Một nhóm Abel A được gọi là phân bậc nếu nó có

dạng A An

+∞

−∞

= ⊕ ∑ . Giả sử nhóm phân bậc A cũng là một nhóm vi

phân với toán tử vi phân d, thì d được gọi là tương thích với phân bậc

nếu với r=+1 hoặc −1 ta có d: An→An+r với mỗi n. Khi đó (A, d, r)

được gọi là một nhóm phân bậc vi phân.

Trường hợp r=+1 thường được gọi là đối đồng điều (và d ký

hiệu là δ và gọi là toán tử đối bờ), trong khi trường hợp r=−1 được

gọi là đồng điều (và d ký hiệu là ∂ và gọi là toán tử bờ).

1.2. BỔ ĐỀ HERBRAND

Bổ đề 1.2.1 (Bổ đề Herbrand). Giả sử A là một nhóm cộng Abel, σ

và τ là các tự đồng cấu của A sao cho σ
τ=τ
σ=0. Giả sử B là một

nhóm con của A có chỉ số hữu hạn mà ổn định dưới σ và τ (nghĩa là,

σB⊂B và τB⊂B). Ký hiệu Aσ là hạt nhân của σ trên A và Aσ=σA là

ảnh của A qua σ. Nếu [Bσ:B

τ

] và [Bτ

:B

σ

] đều hữu hạn thì [Aσ:A

τ

] và

[Aτ

:A

σ

] cũng hữu hạn và [ : ] [ : ]

[ : ] [ : ]

A A B B

A A B B

τ τ

σ σ

σ σ

τ τ

= .

Định nghĩa 1.2.1. Cho A, σ, τ như trên, ta xây dựng một nhóm phân bậc

vi phân ( A An

+∞

−∞

= ⊕ ∑ , d= n

d

+∞

−∞ ∑ ⊕ , 1) bằng cách đặt An=A với

mọi n, dn=σ với n chẵn, dn=τ với n lẻ. Các nhóm dẫn xuất của ( A, d, 1) là

Hchẵn( A)=H0( A)= 0

1

Ker

Im

d A

d A

σ = τ

, Hlẻ( A)=H1( A)= 1

0

Ker

Im

d A

d A

τ = σ

.

Nếu cả hai H0( A) và H1( A) là hữu hạn, ta đặt

Q(A)= 0

1

#( ( )) [ : ]

#( ( )) [ : ]

H A A A

H A A A

τ

σ

σ

τ

=

5

và gọi là thương Herbrand của A đối với σ và τ. Lưu ý rằng Q(A)

phụ thuộc vào thứ tự của σ và τ. Ta thường viết Qσ, τ

thay cho Q và

dĩ nhiên Qσ, τ(A)= 1/Qτ, σ (A).

Mệnh đề 1.2.2. Nếu A hữu hạn thì Q(A)=1.

Mệnh đề 1.2.3. Giả sử σ và τ là các tự đồng cấu chấp nhận được

của dãy khớp ngắn 0→A →i

B →j C→0 các nhóm Abel và σ
τ

=τ
σ =0. Nếu bất kỳ hai trong số Q(A), Q(B), Q(C) được xác định

thì thành phần thứ ba cũng vậy và khi đó Q(B)=Q(A)Q(C).

1.3. G-PHỨC HÌNH (PHẦN DƯƠNG)

Định nghĩa 1.3.1. Cho G={1, σ, τ, …} là một nhóm nhân hữu hạn và

ký hiệu Γ=Z[G] là vành nhóm nguyên của G. Vì vậy các phần tử của

vành Γ là các tổng hình thức Σσ∈G nσσ, nσ∈Z; phép cộng và phép

nhân trong Γ cho bởi: Σσ∈G mσσ+Σσ∈G nσσ=Σσ∈G (mσ+nσ)σ,

(Σσ∈G mσσ)(Σσ∈G nσσ)=Σσ∈G (Στρ=σ mτnρ)σ=Σσ∈G (Στ∈G m nτ 1

τ σ

− )σ.

Định lý 1.3.1. Cho một nhóm hữu hạn G. Khi đó tồn tại một phần

dương đối với một G-phức hình.

Mệnh đề 1.3.2. Nếu f và g là hai ánh xạ đồng luân của các nhóm

phân bậc vi phân thì f∗=g∗.

Hệ quả 1.3.3. Xét các ánh xạ chấp nhận được f=1 và g=0 của nhóm

phân bậc vi phân (A, ∂, −1) vào chính nó. Nếu tồn tại một đồng luân

D giữa f và g (một đồng luân như thế được gọi là một đồng luân co rút)

thì H(A)=(0).

1.4. G-PHỨC HÌNH (PHẦN ÂM)

Định lý 1.4.1. Phần dương bất kỳ của G-phức hình có thể được hoàn

6

thiện thành một G-phức hình đầy đủ. Chính xác hơn, nếu tồn tại một

G-dãy khớp

2 1

2 1 0 X X X 0 ⋯→ → → →Ζ → ∂ ∂ ε

trong đó mỗi Xn là G-tự do với cơ sở hữu hạn thì tồn tại một G-dãy khớp

1 2

1 2 3 0 X X X µ ∂ ∂ − − → Ζ → → → → − − − ⋯

sao cho mỗi Xn là G-tự do với cơ sở hữu hạn.

Định nghĩa 1.4.1. Trong trường hợp nơi mà phần dương được xây

dựng trong (1.3.1), phần âm vừa được xây dựng cũng có thể được

cho tường minh. G-phức hình đầy đủ dẫn xuất từ chúng được gọi là

G-phức hình chuẩn. Vì X0 có một G-cơ sở gồm ngăn rỗng [.], nó kéo

theo từ chứng minh của phần (2) là X−1= X0

có một G-cơ sở chính tắc

gồm một phần tử duy nhất ký hiệu là <⋅> và được gọi là (−1)-ngăn.

Với bất kỳτ∈G, tác động của phần tử <⋅>

τ

của X0

trên X0 được cho

bởi tác động của nó lên Ζ -cơ sở {σ[.] | σ∈G},

<⋅>

τ

(σ[.]) =

1 khi

0 khi .

σ τ

σ τ

 =





 ≠

Với n≥1, {[σ1,…,σn] | σi∈G} là một G-cơ sở đối với Xn; do đó một

G-cơ sở đối với X−(n+1)= Xn

là tập hợp gồm mọi –(n+1)-ngăn

<σ1,…,σn>. tác động của Xn =X−(n+1) trên Xn được cho bởi

<τ1,…,τn>

τ

(σ[σ1,…,σn]) =

1 khi , , 1, ,

0 khi hay

i i

i i

σ τ σ τ i n

σ τ σ τ

 = = = 





 ≠ ≠

…

1.5. NHÓM ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CỦA G TRONG A

Định nghĩa 1.5.1. Giả sử G là một nhóm hữu hạn và A là một G-

7

môđun; cho (X, ∂, ε, µ) là một G-phức hình bất kỳ và xét nhóm cộng

HomG(X, A) = Σ⊕HomG(Xn, A). Vì ∂: X→X và 1: A→A là các G￾đồng cấu, nó kéo theo từ (1.4.3) là δ=(∂, 1) là một tự đồng cấu của

HomG(X, A) và δ

2=(∂, 1)
(∂, 1) =(∂

2

, 1)=(0, 1)=0. Cũng tồn tại đồng

cấu δn=(∂n, 1): HomG(Xn−1, A)→HomG(Xn, A) với δn+1
δn=0 và

δ=Σ⊕δn. Nói cách khác,

(HomG(X, A)=Σ⊕HomG(Xn, A), δ=Σ⊕δn, +1)

là một nhóm phân bậc vi phân kiểu đối đồng điều mà có thể được

viết là

1 Hom ( , ) Hom ( , ) Hom ( , ) 1 1

n n

G n G n G n X A X A X A δ δ + ⋯→ → → → − + ⋯

Ta gọi C

n=Cn

(G, A)=HomG(Xn, A) là nhóm các n-đối xích của G trong

A, Z

n=Zn

(G, A)={f∈C

n

|δf = 0} là nhóm các n-đối chu trình của G

trong A và B

n=Bn

(G, A)=δC

n−1

là nhóm các n-đối bờ của G trong A.

Nhóm dẫn xuất thứ n là Hn(HomG(X, A))=Z

n

/B

n

được gọi là nhóm đối

đồng điều thứ n của G trong A ký hiệu là H

n

(G, A). Hai n-đối xích f

và g được gọi là quan hệ đối đồng điều (ký hiệu f ∼ g) nếu chúng

khác nhau một đối bờ, nghĩa là chúng xác định cùng một phần tử

trong nhóm đối đồng điều H

n

(G, A).

Mệnh đề 1.5.1. H

2

(G, A)≅

{ }

{ }

.

Mệnh đề 1.5.2. H1

(G, A)≅

{ }

{ }

.

Hệ quả 1.5.3. Nếu G tác động tầm thường lên A thì

H

1

(G, A)≅ Hom(G, A).

Hệ nhân tử chẻ ra

Đồng cấu chéo chính

Đồng cấu chéo

Hệ nhân tử

8

Đặc biệt, H1

(G,Ζ )=(0), H

1

(G, Q /Ζ )≅ G ≅



c

G

G

   

 

   

≅ c

G

G

.

Định lý 1.5.4 (Phương trình Noether). Nếu K/F là một mở rộng

Galois hữu hạn với nhóm Galois G thì

H

1

(G, K∗

)=(1).

Hệ quả 1.5.5 (Định lý Hilbert 90). Giả sử K/F là một mở rộng

cyclic có bậc n và σ là một phần tử sinh của nhóm Galois

G=G(K/F). Nếu α∈K có NK→Fα=1 thì tồn tại β∈K

∗

sao cho

α=β

1−σ

.

Mệnh đề 1.5.6. H0

(G, A)≅ A

G

/(SA).

Hệ quả 1.5.7. Nếu nhóm G có bậc n tác động tầm thường lên A thì

H

0

(G, A) ≅ A/(nA). Đặc biệt, H0

(G,Ζ )≅ Ζ /nΖ , H0

(G, Q /Ζ )=(0).

Hệ quả 1.5.8. Nếu K/F là một mở rộng Galois với nhóm Galois G thì

H

0

(G, K∗

)≅

K F

F

N K

∗

∗

→

.

Mệnh đề 1.5.9. H−1

(G, A)≅ AS/(IA).

Hệ quả 1.5.10. Nếu G có cấp n thì

H

−1

(G,Ζ )=(0), H

−1

(G, Q /Ζ )≅

1

/

n

   Ζ Ζ 

 

   

.

Hệ quả 1.5.11. Nếu K/F là một mở rộng Galois với nhóm Galois G thì

1

1

{ | 1} ( , )

{ | }

K F

G

K N H G K

K

σ

σ σ

σ

α α

α α

∗

− ∗ →

− ∗

∈

∈ =

≅

∏ ∈

.

Đặc biệt, nếu K/F là cyclic thì H−1

(G, K∗

) = (0).