Ứng dụng của lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh các định lý liên quan đến định lý đường cong jordan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN LÊ PHƯƠNG THẢO

ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ

VÀO VIỆC CHỨNG MINH CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN

QUAN ĐẾN ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG JORDAN

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HOÀNG TRÍ

Phản biện 1: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 2: PGS.TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp

Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 25 tháng 5

năm 2013.

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Topo đại số là một nhánh của toán học sử dụng các công cụ của

đại số để nghiên cứu các không gian topo. Có nhiều định lý về topo

như định lý Jordan, định lý bất biến miền được phát biểu đơn giản

nhưng việc chứng minh chúng rất phức tạp và thường phải dùng đến

topo đại số. Định lý đường cong Jordan được mang tên nhà toán học

người Pháp Camille Jordan, người đã đưa ra chứng minh đầu tiên

cho định lý này. Định lý được phát biểu có vẻ như hiển nhiên nhưng

để có được một chứng minh hoàn chỉnh thì thật sự không dễ chút

nào. Trong nhiều thập kỉ chứng minh của Jordan được coi là có thiếu

sót và chứng minh đầy đủ đầu tiên là của Oswald Veblen, tuy nhiên

điều này gần đây đã bị Thomas C. Hales và những người khác nghi

ngờ. Ngày nay đa số những chứng minh rõ ràng dựa vào công cụ của

tô pô đại số. Định lý đã được tổng quát hóa lên những không gian có

số chiều cao hơn. Do vậy đề tài này tìm hiểu về lý thuyết đồng điều

kỳ dị vào việc chứng minh các định lý liên quan đến định lý của

đường cong Jordan. Tôi hi vọng tạo được một tài liệu tham khảo tốt

cho những người bắt đầu tìm hiểu về Lý thuyết đồng điều kỳ dị và hy

vọng tìm ra được một số ứng dụng của nó nhằm góp phần làm phong

phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này.

2. Mục đích nghiên cứu

Nêu các định nghĩa, các tính chất của lý thuyết đồng điều kì dị

và ứng dụng chúng để chứng minh “tổng quát hóa đường cong

Jordan, định lý bất biến của miền”.

2

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là lý thuyết đồng điều kỳ dị.

Phạm vi nghiên cứu là các không gian Topo và Topo đại số.

4. Phương pháp nghiên cứu

1. Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức

2. Thu thập các bài báo khoa học, bài giảng của các tác giả

nghiên cứu liên quan đến Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị vào

việc chứng minh các định lý liên quan đến định lý của đường cong

Jordan.

3. Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.

4. Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn.

Tham gia các buổi thảo luận để trao đổi các kết quả đang

nghiên cứu.

5. Đóng góp của đề tài

1. Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên

quan đến Ứng dụng lý thuyết đồng điều kỳ dị vào việc chứng minh

các định lý liên quan đến định lý của đường cong Jordan nhằm xây

dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu lý thuyết

đồng điều kỳ dị.

2. Chứng minh chi tiết và làm rõ mộ số định lý mà phải dùng

đến topo đại số mới giải quyết được.

6. Cấu trúc của luận văn

Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận gồm có

ba chương:

Chương 1: Những kiến thức cơ bản

3

Trình bày những kiến thức về đại số như phạm trù, hàm tử,

phép biến đổi tự nhiên...và về topo như tính liên thông, liên thông

đường, topo thương, phép đồng nhất và phép dán, nhóm topo, các ví

dụ về không gian topo như quả cầu, mặt cầu, mặt xuyến, các nhóm

topo cổ điển...cơ bản về các phức đơn hình, phạm trù hàm tử, nhóm

Abel tự do, module tự do, đồng luân và đồng điều đơn hình.

Chương 2: Lý thuyết đồng điều kỳ dị

Trình bày về hàm tử đồng điều kỳ dị, các đồng cấu cảm sinh bởi

các ánh xạ liên tục giữa các phức đơn hình, đơn hình kỳ dị, xích kỳ

dị

Chương 3: Ứng dụng của lý thuyết đồng điều kỳ dị.

Trình bày những chứng minh định lý khái quát đường cong

Jordan và định lý bất biến của miền.

4

CHƯƠNG 1

NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1. PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ ĐA DIỆN

Định nghĩa 1.1.1. Đơn hình

Trong không gian

n

, cho tập hợp các điểm

p p 0

,..., k

độc lập

affine. Tập hợp tất cả các điểm

 

0 0

   , 0,1 , 1

 

       

   

k k

n

i i i i

i i

x x p

được gọi là một đơn hình k – chiều hay k – đơn hình.

Ta ký hiệu

  p p 0

,..., k 

, trong đó

0

,..., p pk

là các đỉnh của đơn

hình



dim k  

là chiều của đơn hình

 .

Định nghĩa 1.1.2. Phức đơn hình.

Một phức đơn hình là họ hữu hạn

K 

gồm các đơn hình trong

không gian

n

thỏa tính chất sau

(i) Nếu

 K

thì mỗi mặt của



cũng thuộc

K .

(ii) Nếu

 , K

thì hoặc

  

hoặc

 

là một

mặt chung của



và



Cặp

( , ) K K

được gọi là một đa diện. Khi đó,

K  sdK

được gọi là

phân tích đơn hình của đa diện,

K  K

được gọi là giá của

K.

Chiều của đa diện

( , ) K K

, ký hiệu là

dim K( , ) K

được định nghĩa

như sau

dim K dim ( , ) max / K K      

Đường kính của

K

ký hiệu là

meshK

và đường kính này được định

nghĩa như sau:

meshK K   max ( ) /    

5

Định nghĩa 1.1.3. Đa diện con.

Cho

( , ) K K

là một đa diện,

L K

. Nếu

L

cũng là phức đơn hình

thì

L

được gọi là phức đơn hình con của

K

. Khi đó,

( , ) L L

được

gọi là đa diện con của đa diện

( , ) K K

, với

L

là giá của

L .

Định nghĩa 1.1.4. Cho

( , ) K K

là một đa diện

 K

. Tập hợp tất cả

các mặt thật sự của



ký hiệu là

.

Khi đó

    F( ) \ .

Định nghĩa 1.1.5. Cho

( , ) K K

là một đa diện,

x K 

. Khi đó,

 K

được gọi là giá của

x

, ký hiệu

( ) x

, nếu



là đơn hình có

chiều nhỏ nhất chứa

x . ( ) x

là duy nhất và có thể biểu diễn dưới

dạng

   ( ) , . x x     K 

Định nghĩa 1.1.6. Cho

( , ) K K

là một đa diện. Với mọi đỉnh

pK,

tập hợp

K p \ ,     K 

được gọi là hình sao của

p,

ký hiệu là

Stp.

Định lý 1.1.1. Cho

0 1 , ,..., p p pn

là các đỉnh của đa diện

( , ). K K

Khi đó

(i)

0   n

i i Stp

khi và chỉ khi

 p p p 0 1 , ,...,

n 

là một đơn hình của

K .

(ii) Nếu

  p p p 0 1 , ,...,

n 

là một đơn hình của

K

thì

0

n

i i Stp

là

tập hợp gồm tất cả các điểm

x K 

mà

( ) x

nhận



làm mặt.

Ta nhận xét rằng nếu

p p p 0 1 , ,..., t

là các đỉnh của đa diện

K

thì với mỗi

xK , x

được biểu diễn một cách duy nhất dưới

dạng

0

 ( ) ,





t

i i i

x x p

trong đó

i 0,1 ,

với

i t 1, .

Ta có

i

( ) 0,1 x  

nếu

( ). p x i

Khi đó,

 ( ) i

x

được gọi là

tọa độ của

x

đối với

i p

. Ngược lại,

i

( ) 0 x 

nếu

( ). p x i

Hàm số

 i

: 0,1   

, với mỗi

 K

, được gọi là hàm

tọa độ trọng tâm của



. Ta có

i

là hàm liên tục.

6

Định nghĩa 1.1.7. Đồng luân

Cho hai ánh xạ

f g X Y , : 

liên tục. Hai ánh xạ

f g ,

được gọi

là đồng luân, ký hiệu

f g,

nếu tồn tại ánh xạ

H X I Y :  

thỏa

H x f x H x g x x X ( ,0) ( ); ( ,1) ( ), .    

Khi đó,

H

được gọi là đồng luân của

f

đối với

g .

Định lý 1.1.2. Cho

( , ) K K

là một đa diện trong không gian

n

, Y

là không gian topo bất kỳ và

f g,

là hai ánh xạ liên tục từ

Y

vào

K.

Nếu với mỗi

y Y  , tồn tại một đơn hình

 K

thỏa mãn

f y g y ( ), ( ) thì

f

và

g

đồng luân.

1.1. PHỨC ĐƠN HÌNH VÀ ĐA DIỆN

Cho một phân tích đơn hình

K

của

K,

chúng ta sẽ xây dựng một

phân tích đơn hình

K

khác của

K, được gọi là thứ phân trọng

tâm của

K.

Định nghĩa 1.2.1. Cho đơn hình

  p p p o n

, ,..., 1 

trọng tâm của



là một điểm, ký hiệu

b

hay

[ ] 

được xác định như sau

0

1

1











n

i

i

b p

n

Nếu

 

i p

thì trọng tâm của



trùng với chính nó.

Định nghĩa 1.2.2. Cho

( , ) K K

là một đa diện. Khi đó,

1

Sd K

gồm

tất cả các đơn hình

0 1

, ,...,   

   s

b b b

, trong đó

   0 1     s

là

dãy tăng nghiêm ngặt các mặt của

K.

Định lý 1.2.1. Cho

( , ) K K

là một đa diện có đường kính là



. Khi

đó, đường kính của

1

1

 



n

Sd

n

K .

Hệ quả 1.2.1. Cho

dimK n  ,

khi đó

( )

1





m m n

meshSd mesh

n

K K.

1.3. ÁNH XẠ ĐƠN HÌNH VÀ XẤP XỈ ĐƠN HÌNH

Định nghĩa 1.3.1. Cho

( , ) K K , ( , ) L L

là hai đa diện trong

.

n

Xét

ánh xạ

7

 : ( , ) ( , ), K L K L   được gọi là ánh xạ đơn hình nếu thỏa

mãn hai điều kiện sau:

 Với mọi

 p p p 0 1 , ,...,

s K, các điểm

0 1    ( ), ( ),..., ( ) p p ps

là các đỉnh của một đơn hình

thuộc

L .

 Ánh xạ



là ánh xạ afine với mỗi

 K

, nghĩa là

0 0

  ( )

 

 

      

s s

i i i i

i i

p p

trong đó

0

 1



 

s

i

i

và

  0 i

với

i s 1, .

Định nghĩa 1.3.2. Cho

f K L : 

là ánh xạ liên tục. Một ánh xạ

đơn hình



với

r  0

được gọi là một xấp xỉ đơn hình của

f

nếu

f Stp St p ( ) ( )  

với mọi đỉnh



r

p Sd K.

Định lý 1.3.1. Cho

f K L : 

là một ánh xạ liên tục. Khi đó, tồn

tại xấp xỉ đơn hình

 : ( , ) ( , ) K Sd L rK L 

của

f

với

r

đủ lớn

và mỗi xấp xỉ đơn hình của

f

đều đồng luân với

f .

1.4. PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ

Định nghĩa 1.4.1. Phạm trù.

Một phạm trù

P

bao gồm:

 Một lớp

P gồm các vật

A B C , , ...

được gọi là những vật

của phạm trù

P

 Với mỗi cặp vật

( , ) A B

của phạm trù

P

cho một tập hợp

gọi là tập hợp các cấu xạ

f

từ

A

đến

B

, ký hiệu

A B, P

. Mỗi phần tử của

A B, P

được ký hiệu là

f .

 Với mỗi bộ ba vật

( , , ), A B C

với mỗi cặp cấu xạ

f A B  , , P

g B C  , , P

tồn tại

gf

được gọi là phép

hợp thành của hai cấu xạ

g f ,

và

gf A C  , P

thỏa mãn các tiên đề sau:

8

 Phép hợp thành có tính chất kết hợp.

 Với mọi vật

A

của

P, tồn tại xạ

1 , A A AP

được gọi

là cấu xạ đồng nhất sao cho với mọi

f B A  , P

,

g B C  , , P

ta có

1 , 1 A A f f g g  

Định nghĩa 1.4.2. Phạm trù con.

Một phạm trù

C

được gọi là phạm trù con của phạm trù

P

nếu

 Mỗi vật của phạm trù

C

đều là một vật của phạm trù

P .

 Mỗi cấu xạ của phạm trù

C

đều là một cấu xạ của

phạm trù

P.

 Các xạ đồng nhất của phạm trù

C

đều là một xạ đồng

nhất của phạm trù

P.

 Hợp thành

gf

của hai cấu xạ

f g,

trong phạm trù

C

đều trùng với hợp thành của các cấu xạ đó trong phạm

trù

P.

Một phạm trù con

C

của phạm trù

P

được gọi là đầy nếu

A B A B , , ,    C P

với mỗi cặp

A B,

trong phạm trù

C .

Định nghĩa 1.4.3. Vật khởi đầu, vật tận cùng

Mỗi vật

A

trong phạm trù

P

được gọi là vật khởi đầu nếu

với mọi vật

X

của

P

, tồn tại duy nhất một cấu xạ từ

A

đến

X

Một vật

A

trong phạm trù

P

được gọi là vật tận cùng nếu

với mọi vật

X

của

P

, tồn tại duy nhất một cấu xạ từ

X

đến

A .

Định nghĩa 1.4.4. Hàm tử

Cho hai phạm trù

P P,



. Một hàm tử hiệp biến

H

từ phạm

trù

P

đến phạm trù

P,

ký hiệu

H :P P  

là một cặp ánh xạ

gồm ánh xạ - vật và ánh xạ - cấu xạ.

 Ánh xạ - vật cho tương ứng mỗi vật

A

của phạm trù

P,

một vật của phạm trù

P , ký hiệu là

H ( ). A

9

 Ánh xạ - cấu xạ cho tương ứng mỗi cấu xạ

f A B  , , P

một cấu xạ thuộc

 ( ), ( ) ,  

H H A B

P

ký hiệu là

H ( ) f

và thỏa mãn các điều kiện sau:

 ( ) H (1 ) 1 A A



H

, với mọi

A P .

 H H H ( ) ( ) ( ), gf g f 

với mọi hợp thành

gf

trong phạm

trù

P

, nghĩa là

1.5. NHÓM ABEL TỰ DO, MODULE TỰ DO

Mệnh đề 1.5.1.

A

là tập hợp khác rỗng

x y, ,...

là các phần tử

thuộc

A

.Ta đặt:

X f A A     : 

hữu hạn,

A A f x    : ( ) 0,  x A A\ 

với mọi

f g X , 

, ta định nghĩa phép cộng trên

X

như sau

 f g x f x g x x A           ,

Khi đó,

X

cùng với phép cộng lập thành một nhóm Abel.

Định nghĩa 1.5.1. Nhóm Abel tự do

Nhóm Abel

X

được xác định như trên được gọi là nhóm Abel tự do

sinh bởi A.

Định nghĩa 1.5.2. Giả sử

R

là một

V module,

  S R. Khi đó,

S

được gọi là cơ sở của

R

nếu mỗi phần tử của

R

đều được biểu

diễn tuyến tính duy nhất qua các phần tử của

S .

Hệ quả 1.5.1. Cho

R

là một

V module. Nếu

S

là cơ sở của

R

thì

S

là hệ sinh độc lập tuyến tính.

A

C

B

f

gf g

H(A) H(C) H(B) H ( ) f

H ( ) gf H ( ) g

10

Mệnh đề 1.5.2. Cho

A

là tập hợp khác rỗng,

x y, ,...

là các phần tử

thuộc

A

;

V

là một vành,

 , ,...

là các phần tử thuộc

V

. Ta đặt

X f A V A     : 

hữu hạn

, : ( ) 0, \ A A f x x A A       

Với mọi

g f X , 

, với mọi

 V

ta định nghĩa phép cộng, phép

nhân ngoài trên

X

như sau :

( )( ) ( ) ( ), f g x f x g x x A     

( )( ) ( ),   f x f x x A   

Khi đó,

X

cùng với phép cộng, phép nhân ngoài lập thành một

V Module  .

Định nghĩa 1.5.2 Module tự do.

Module

X

được thành lập như trên gọi là module tự do sinh bởi

A

1.6. KHÔNG GIAN TOPO

Không gian topo là một cặp

( , ) X T

, trong đó X là một tập

hợp,

T

là một họ các các tập con của X thỏa mãn

(i)

  T T , X

(ii)

1 2 1 2 U U U U ,     T T

(iii)

( ) i i

i I

U i I U



     T T

Mỗi phần tử của

T

được gọi là một tập mở của X; họ

T

được gọi là một topo trên X.

1.7. KHÔN GIAN LIÊN THÔNG, LIÊN THÔNG ĐƯỜNG

Định nghĩa 1.7.1. Không gian liên thông

Không gian topo X được gọi là liên thông nếu không tồn tại các tập

mở A và B khác



của X sao cho

A B X A B      , .

11

Nói cách khác, không gian X là liên thông nếu và chỉ nếu không tồn

tại một tập con thực sự

A 

vừa đóng vừa mở của X.

Mệnh đề 1.7.1. Tập M của không gian topo X liên thông khi và chỉ

khi không tồn tại các tập mở A, B trong X sao cho

A M B M A B M M A B             , , , .

Định lý 1.7.1. Nếu không gian topo X có một tập liên thông trù mật

M thì X liên thông.

Hệ quả 1.7.1. Giả sử A là tập liên thông của X,

A B A   . Khi

đó B là tập liên thông.

Định nghĩa 1.7.3. Không gian liên thông đườngCho E là không gian

topo, E liên thông đường nếu với mọi x, y thuộc E, tồn tại ánh xạ

 :[0,1] E

liên tục sao cho

  (0) , (1)   x y .

Mệnh đề 1.7.2. Ảnh của một không gian liên thông đường qua ánh

xạ liên tục là không gian liên thông đường.

Mệnh đề 1.7.3. Cho E, F là hai không gian liên thông đường. Khi đó

E F

cũng là không gian liên thông đường.

1.8. ĐỒNG ĐIỀU ĐƠN HÌNH

1.8.1. Các định nghĩa.

Cho

K

là một phức đơn hình hữu hạn với các đỉnh được sắp thứ tự

tuyến tính. Khi đó, mỗi đơn hình

q q q 0 1 , ,...,

n 

có thể được viết duy

nhất thành

 p p p 0 1 , ,...,

n 

với

0 1 ( ) p p p     n

và được gọi là n –

đơn hình định hướng.

Định nghĩa 1.8.1.1. Với mỗi

n  0

, nhóm Abel tự do

( ) Cn K

sinh

bởi các n – đơn hình định hướng của

K

được gọi là nhóm các xích

n - chiều của

K

. Rõ ràng,

Cn

( ) 0 K 

nếu

n  dimK .