Ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN TRỌNG NGHĨA

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

VÀ TÍCH CÓ HƯỚNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN TRỌNG NGHĨA

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

VÀ TÍCH CÓ HƯỚNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. NGUYỄN VIỆT HẢI

Thái Nguyên - 2015

i

Mục lục

Mở đầu 2

Danh sách hình vẽ 4

1 Tích vô hướng trong không gian vector Euclid 5

1.1 Định nghĩa không gian vector Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Các đẳng thức vector và bất đẳng thức vector . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Các đẳng thức vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Các bất đẳng thức vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Tích vô hướng trong hình học phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Chứng minh hệ thức hình học và tính biểu thức . . . . . . . 9

1.3.2 Chứng minh bất đẳng thức hình học . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.3 Chứng minh quan hệ vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.4 Sáng tạo các bất đẳng thức nhờ tích vô hướng . . . . . . . . 24

1.4 Tích vô hướng trong Hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.1 Chứng minh tính vuông góc trong không gian . . . . . . . . 27

1.4.2 Tính góc, khoảng cách, diện tích, thể tích . . . . . . . . . . 30

1.5 Ứng dụng tích vô hướng giải bài toán đại số . . . . . . . . . . . . . 39

1.5.1 Giải phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.5.2 Giải bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.5.3 Giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.5.4 Chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.5.5 Tìm cực trị hình học và cực trị đại số . . . . . . . . . . . . 46

1.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Kết luận Chương 1 52

2 Tích giả vô hướng và tích có hướng 53

2.1 Tích giả vô hướng của hai vector trong E2 . . . . . . . . . . . . . . 53

2.1.1 Nhắc lại một số thuật ngữ và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . 53

2.1.2 Tích giả vô hướng (tích ngoài) của hai vector . . . . . . . . 54

ii

2.1.3 Biểu diễn một số sự kiện hình học theo tích giả vô hướng . . 57

2.1.4 Ứng dụng vào diện tích đại số . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.1.5 Các ví dụ ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2 Tích có hướng của hai vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.2.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.2.2 Tích hỗn tạp của 3 vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.2.3 Biểu diễn các sự kiện hình học . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.2.4 Ứng dụng của tích có hướng trong hình học . . . . . . . . . 67

2.2.5 Ứng dụng của tích có hướng trong Vật lý . . . . . . . . . . 72

2.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Kết luận và Đề nghị 77

Tài liệu tham khảo 79

1

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng

dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải, giảng viên cao cấp Trường

Đại học Hải Phòng. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy và xin

gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều Thầy đã dành cho tôi.

Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Đào tạo Sau đại học, các quý

Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học K7B (khóa 2013-2015) Trường Đại học Khoa học -

Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo

điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học.

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn

động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực

hiện luận văn.

Xin trân trọng cảm ơn!

Tác giả

Nguyễn Trọng Nghĩa

2

Mở đầu

Trong toán học hiện đại, tất cả các cấu trúc toán học đều dựa trên cấu trúc không

gian vector. Chỉ với hai phép toán cộng hai vector và nhân một số với một vector,

không gian ấy đã mô tả được nhiều sự kiện quan trọng của toán học nói riêng và

của các ngành khoa học tự nhiên nói chung. Vector là một công cụ mạnh để giải các

bài toán hình học phổ thông. Phương pháp vector ngày nay đã trở nên quen thuộc để

giải các bài toán hình học cũng như các loại toán khác thay cho cách giải toán truyền

thống, nó góp phần làm nên vẻ đẹp mới trong mỗi lời giải bài toán. Tiếp nối luận văn

của tác giả Nịnh Thị Thu với đề tài "Phương pháp vector", bảo vệ thành công năm

2015 (xem [7]), tôi tự đặt cho mình bài toán nghiên cứu các ứng dụng của các phép

toán tích vô hướng và tích có hướng vào giải các bài toán Hình học, Đại số và một

số bài toán của Vật lý. Mục đích của đề tài là:

1. Nêu bật các kỹ thuật thường gặp khi ứng dụng tích vô hướng và tích có hướng

để giải các bài toán. Các kỹ thuật này được minh họa qua hàng loạt các ví dụ

tường minh.

2. Hệ thống các bài toán có thể giải bằng cách ứng dụng các phép toán trên, đặc

biệt nêu rõ ứng dụng của các phép toán vector vào các bài toán phi hình học

như: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình; chứng minh bất

đẳng thức, tìm cực trị hình học, cực trị đại số...

3. Trình bày thêm tích giả vô hướng (tích ngoài) của hai vector, diện tích đại số,

ví dụ về đại số Lie,... các kiến thức có ích mà chương trình đại học chưa đề cập

đến.

Phạm vi của đề tài là ứng dụng các phép toán của không gian vector vào các bài toán

trong chương trình phổ thông, đặc biệt chú ý đến các bài toán thi học sinh giỏi các

cấp, thi Olympic trong nước và Quốc tế, các bài thi vào Trung học phổ thông chuyên

và các đề thi Đại học. Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo nội dung

luận văn được chia làm hai chương:

• Chương 1. Tích vô hướng trong không gian vector Euclid dành để trình bày

3

những ứng dụng của tích vô hướng giải các bài toán Hình học phẳng, Hình học

không gian và các bài toán Đại số.

• Chương 2. Tích giả vô hướng và tích có hướng, giới thiệu mới về phép toán "

tích giả vô hướng", các ứng dụng của 2 phép toán này trong phạm vi kiến thức

của Hình học phổ thông.

Mỗi chương đều có phần giới thiệu chung về lý thuyết cần dùng đến trong

chương. Nội dung nào đã có thì nêu tài liệu trích dẫn, nội dung nào mới thì được

tác giả chứng minh chi tiết và chặt chẽ. Ý tưởng đó được tác giả lưu ý trong suốt luận

văn.

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 11 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Trọng Nghĩa

4

Danh sách hình vẽ

Hình vẽ Trang

1.1 Ví dụ 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Ví dụ 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Ví dụ 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Ví dụ 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Ví dụ 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Ví dụ 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Ví dụ 1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8 Ví dụ 1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.9 Ví dụ 1.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.10 Ví dụ 1.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.11 Ví dụ 1.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.15 Ví dụ 1.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.16 Ví dụ 1.29 (Trường hợp 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.17 Ví dụ 1.29 (Trường hợp 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.18 Ví dụ 1.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.19 Ví dụ 1.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.20 Ví dụ 1.23 (Chú ý) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.21 Ví dụ 1.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.1 Mệnh đề 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2 Ví dụ 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.3 Ví dụ 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.4 Ví dụ 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.5 Ví dụ 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.6 Ví dụ 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.7 Ví dụ 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.8 Ví dụ 2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74