Dãy fibonacci, dãy lucas và các ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Vũ Nhật Cương

DÃY FIBONACCI, DÃY LUCAS

VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Chuyên Nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Ngọc

Thái Nguyên - 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Ngọc

Phản biện 1: TS. Nguyễn Văn Minh - Trường Đại học Kinh tế và

Quản trị kinh doanh - Đại học Thái Nguyên.

Phản biện 2: PGS. TS. Tạ Duy Phượng - Viện Toán học - Viện

Khoa học và Công nghệ Việt Nam.

Luận văn được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:

Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên

Ngày 01 tháng 9 năm 2012

Có thể tìm hiểu tại

Thư Viện Đại Học Thái Nguyên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Chương 1. Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các tính chất cơ

bản 6

1.1. Định nghĩa dãy Fibonacci và dãy Lucas . . . . . . . . . . 6

1.1.1. Định nghĩa dãy Fibonacci . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2. Định nghĩa dãy Lucas . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Số Fibonacci và số Lucas với chỉ số âm . . . . . . . . . . 8

1.2.1. Số Fibonacci với chỉ số âm . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2. Số Lucas với chỉ số âm . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Công thức tổng quát của số Fibonacci và số Lucas . . . . 10

1.3.1. Tỷ số vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2. Công thức tổng quát của số Fibonacci và số Lucas 11

1.4. Một số hệ thức của dãy Fibonacci và dãy Lucas . . . . . 12

1.4.1. Các hệ thức về tổng hữu hạn . . . . . . . . . . . 12

1.4.2. Các hệ thức khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.3. Một số hệ thức liên hệ giữa số Fibonacci và số Lucas 25

Chương 2. Các tính chất số học của dãy Fibonacci và dãy

Lucas 32

2.1. Các tính chất số học của dãy Fibonacci . . . . . . . . . . 32

2.2. Các tính chất số học của dãy Lucas . . . . . . . . . . . 47

2.3. Tính chất số học liên hệ giữa dãy Fibonacci với dãy Lucas 49

Chương 3. Dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên và các

ứng dụng 51

3.1. Dãy Fibonacci với toán học . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1.1. Dãy Fibonacci và tam giác Pascal . . . . . . . . . 51

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

3.1.2. Dãy Fibonacci và hệ nhị phân . . . . . . . . . . . 53

3.1.3. Dãy Fibonacci và tam giác vuông . . . . . . . . . 53

3.1.4. Dãy Fibonacci và hình học . . . . . . . . . . . . . 54

3.2. Dãy Fibonacci, dãy Lucas với tự nhiên . . . . . . . . . . 57

3.3. Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” với ứng dụng . . . . . . . 69

3.3.1. Dãy Fibonacci trong thị trường tài chính . . . . . 69

3.3.2. Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” trong thiết kế . . . 72

3.3.3. Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” trong kiến trúc . . 75

3.3.4. Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” trong nghệ thuật . 77

3.3.5. Các ứng dụng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài luận văn

Leonardo Pisano Bogollo (khoảng 1170

–1250), còn được biết đến với tên Leonardo

của Pisa, hay phổ biến nhất dưới cái tên

Fibonacci, là một nhà toán học người Ý và

ông được một số người xem là “nhà toán

học tài ba nhất thời Trung Cổ”. Fibonacci

nổi tiếng trong thế giới hiện đại vì có công

lan truyền hệ đếm Hindu - Ả Rập ở châu Âu, và đặc biệt là dãy số hiện

đại mang tên ông, dãy Fibonacci trong cuốn Sách Liber Abaci - Sách về

Toán đố năm 1202.

Dãy Fibonacci là một trong những vẻ đẹp của kho tàng Toán học.

Dãy Fibonacci xuất hiện và biến hóa vô tận trong tự nhiên, với rất nhiều

tính chất đẹp và ứng dụng quan trọng. Nói đến dãy Fibonacci không thể

không nói đến dãy Lucas, bởi chúng có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.

Trước Fibonacci, đã có nhiều học giả nghiên cứu về dãy Fibonacci.

Susantha Goonatilake viết rằng sự phát triển của dãy Fibonacci “một

phần là từ Pingala (200 BC), sau đó được kết hợp với Virahanka (khoảng

700 AD), Gopala (c.1135 AD) và Hemachandra (c.1150)”. Sau Fibonacci,

còn có rất nhiều nhà Khoa học nghiên cứu về dãy Fibonacci như: Cassini

(1625 - 1712), Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 - 1891), Binet (1857

- 1911), D’Ocagne (1862 - 1938), ... và rất nhiều tính chất của dãy đã

được mang tên các nhà Khoa học này. Hiện nay, tài liệu bằng tiếng Việt

về dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng chưa có nhiều và còn tản

mạn. Cần thiết phải giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng

một cách đầy đủ và hợp nhất hơn.

Vì vậy, việc tìm hiểu sâu và giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas và

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

4

các ứng dụng là rất cần thiết cho việc học tập, giảng dạy Toán học và

sự hiểu biết của con người. Bản luận văn “Dãy Fibonacci, dãy Lucas

và các ứng dụng” được tiến hành vào cuối năm 2011 chủ yếu dựa trên

các tài liệu tham khảo.

2. Mục đích của đề tài luận văn

Học tập và giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas cùng với các tính

chất cơ bản, các tính chất số học cũng như các tính chất liên hệ giữa

chúng. Đặc biệt, giúp mọi người nắm được những ứng dụng quan trọng

và sự xuất hiện đa dạng của dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên.

3. Bố cục của luận văn

Bản luận văn “Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng” gồm

có: Mở đầu, ba chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo.

Chương 1. Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các tính chất cơ bản.

Trong chương này, trình bày định nghĩa dãy Fibonacci và dãy Lucas,

số Fibonacci và số Lucas với chỉ số âm, công thức tổng quát của số

Fibonacci và số Lucas. Một số hệ thức của dãy Fibonacci, dãy Lucas và

các hệ thức liên hệ giữa số Fibonacci và số Lucas. Khác với nhiều tài

liệu tham khảo, bản luận văn này giới thiệu cách chứng minh đơn giản

các tính chất về tổng hữu hạn của dãy Fibonacci và dãy Lucas. Trong

đó, số Fibonacci và số Lucas với chỉ số âm, chứng minh các tính chất cơ

bản của dãy Lucas là sự tìm tòi, suy nghĩ của tác giả.

Chương 2 . Các tính chất số học của số Fibonacci và số Lucas.

Trong chương này, trình bày một số tính chất số học của dãy Fi￾bonacci, dãy Lucas và tính chất số học liên hệ giữa dãy Fibonacci và

dãy Lucas.

Chương 3 . Dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên và các

ứng dụng.

Trong chương này, trình bày mối liên hệ của dãy Fibonacci với toán

học, sự xuất hiện của dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên và một

số ứng dụng quan trọng của dãy Fibonacci.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

5

Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của

TS. Nguyễn Văn Ngọc - Viện Toán Học Hà Nội. Từ đáy lòng mình, em

xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và

sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy.

Em xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô trong Trường Đại Học Khoa

Học - Đại Học Thái Nguyên, phòng Đào Tạo Trường Đại Học Khoa

Học. Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K4

Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên đã động viên, giúp

đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này.

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Tuyên Quang,

Ban Giám hiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Sơn Nam - Huyện Sơn

Dương- Tỉnh Tuyên Quang đã tạo điều kiện cho tôi về mọi mặt để tham

gia học tập và hoàn thành khóa học.

Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn

thạc sĩ, nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi

những thiếu sót, tôi rất mong được sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến của

các Thầy Cô và độc giả quan tâm tới luận văn này.

Thái Nguyên, ngày 08 tháng 9 năm 2012

Tác giả

Vũ Nhật Cương

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

6

Chương 1

Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các

tính chất cơ bản

Các kí hiệu

Các số Fibonacci: Fn, n = 0, 1, 2, 3, 4, ...

Các số Lucas: Ln, n = 0, 1, 2, 3, 4, ...

Tỷ số vàng: ϕ.

Phần nguyên của số a: bac.

1.1. Định nghĩa dãy Fibonacci và dãy Lucas

1.1.1. Định nghĩa dãy Fibonacci

Ở phương Tây, dãy Fibonacci đầu tiên xuất hiện trong cuốn sách

Liber Abaci (năm 1202) viết bởi Leonardo của Pisa - được biết đến với

tên Fibonacci, mặc dù dãy số này đã được mô tả trước đó trong toán

học Ấn Độ. Fibonacci xem xét sự phát triển của một đàn thỏ được lý

tưởng hóa, giả định rằng: Để một cặp thỏ mới sinh, một đực, một cái

trong một cánh đồng, đến một tháng tuổi thỏ có thể giao phối và tới

hai tháng tuổi, một thỏ cái có thể sinh ra thêm một cặp thỏ khác, các

con thỏ này không bao giờ chết và việc giao phối một cặp luôn tạo ra

một cặp mới (một đực, một cái) mỗi tháng từ tháng thứ hai trở đi. Câu

đố mà Fibonacci đặt ra là: Trong một năm có bao nhiêu cặp thỏ?

• Vào cuối tháng đầu tiên, chúng giao phối, nhưng vẫn chỉ có 1 cặp.

• Vào cuối tháng thứ hai, thỏ cái tạo ra một cặp mới, vì vậy bây giờ có

1 + 1 = 2 (cặp) thỏ trong cánh đồng.

• Vào cuối tháng thứ ba, thỏ cái ban đầu lại tạo ra một cặp thỏ nữa,

biến số lượng thỏ trong cánh đồng lúc này là 2 + 1 = 3 (cặp).

• Và vào cuối tháng thứ tư, thỏ cái ban đầu đã sinh thêm một cặp mới,

thỏ cái sinh ra cách đây hai tháng cũng cho ra một cặp đầu tiên, tổng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn