Dãy fibonacci và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

TRANG THÙY THU THẢO

DÃY FIBONACCI VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐÀ NẴNG – Năm 2015

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

TRANG THÙY THU THẢO

DÃY FIBONACCI VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn: ThS.Phan Thị Quản

ĐÀ NẴNG - Năm 2015

LỜI CẢM ƠN

Em xin dành trang đầu tiên này để bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến

quý thầy, cô trong khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng,

những người đã hết lòng dạy dỗ truyền đạt những kiến thức khoa học và kinh

nghiệm quý báu để em có được ngày hôm nay.

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô Phan Thị Quản, người đã gợi ý

và hướng dẫn đề tài khóa luận “Dãy Fibonacci và ứng dụng”. Cô đã nhiệt

tình và hết lòng giúp đỡ trong suốt thời gian qua để em có thể hoàn thành

khóa luận này.

Cuối cùng, cho phép em được cảm ơn các thầy cô trong hội đồng bảo vệ,

thầy (cô) phản biện và các bạn trong lớp đã dành thời gian quý báu để đọc và

góp ý cho em hoàn thành tốt khóa luận này.

Đà Nẵng, ngày 27 tháng 04 năm 2015

Sinh viên

TRANG THÙY THU THẢO

2

MỤC LỤC

Mục lục ............................................................................................................. 2

Mở đầu ............................................................................................................. 4

Chương 1. TỔNG QUAN VỀ DÃY SỐ......................................................... 8

1.1 Các định nghĩa .................................................................................. 8

1.2 Các định lý ........................................................................................ 9

1.3 Các dãy số đặc biệt ......................................................................... 11

1.3.1 Cấp số cộng......................................................................... 11

1.3.2 Cấp số nhân......................................................................... 11

1.3.3 Dãy Fibonacci..................................................................... 11

1.4 Một số phương pháp giải toán về dãy số ........................................ 12

1.4.1 Phương pháp sai phân......................................................... 12

1.4.2 Xây dựng công thức tổng quát từ hệ thức truy hồi

tuyến tính thuần nhất, bậc hai, hệ số hằng.......................... 12

1.4.3 Phương pháp quy nạp toán học .......................................... 13

Chương 2. DÃY FIBONACCI..................................................................... 14

2.1 Thiết lập dãy Fibonacci................................................................... 14

2.2 Định nghĩa dãy Fibonacci............................................................... 16

2.3 Số Fibonacci với chỉ số âm............................................................. 16

2.4 Công thức tổng quát của dãy Fibonacci.......................................... 17

2.5 Dãy Fibonacci mở rộng .................................................................. 18

2.5.1 Dãy Lucas........................................................................... 18

2.5.2 Dãy Tribonacci ................................................................... 18

2.6 Các tổng quát hóa khác................................................................... 19

2.7 Tổng các nghịch đảo ....................................................................... 20

3

Chương 3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY FIBONACCI.......................... 21

3.1 Các hệ thức về tổng hữu hạn........................................................... 21

3.2 Các hệ thức khác............................................................................. 24

Chương 4. DÃY FIBONACCI TRONG TỰ NHIÊN

VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA DÃY FIBONACCI .................... 29

4.1 Tỷ số vàng....................................................................................... 29

4.2 Khái niệm hình chữ nhật vàng, xoắn ốc Fibonacci ........................ 31

4.3 Dãy Fibonacci và “tỷ số vàng” trong tự nhiên ............................... 32

4.3.1 Sự sắp xếp các cánh hoa trên một bông hoa....................... 32

4.3.2 Số lượng đường xoắn ốc (hoặc đường chéo)...................... 33

4.3.3 Sự mọc chồi của cây........................................................... 34

4.3.4 Cơ thể người ....................................................................... 35

4.4 Dãy Fibonacci và “tỷ số vàng” trong nghệ thuật............................ 37

4.5 Dãy Fibonacci và “tỷ số vàng” trong thiết kế................................. 38

4.6 Dãy Fibonacci trong toán học......................................................... 41

4.6.1 Dãy Fibonacci và tam giác Pascal ...................................... 41

4.6.2 Một số bài toán khác........................................................... 47

Kết luận .......................................................................................................... 61

Tài liệu tham khảo ........................................................................................ 62

4

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Leonardo Pisano Bogollo (khoảng 1170 –

1250), còn được biết đến với tên Leonardo của

Pisa, hay phổ biến nhất với cái tên Fibonacci, là

một nhà toán học người Ý và ông được một số

người xem là “nhà toán học tài ba nhất thời Trung

Cổ”. Fibonacci nổi tiếng trong thế giới hiện địa vì

có công lan truyền hệ đếm Hindu - Ả Rập ở châu

Âu, và đặc biệt dãy số mang tên ông - dãy số

Fibonacci trong cuốn sách Liber Abaci – Sách về Toán đố năm 1202. Dãy số

đó là: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,....

Dãy Fibonacci xuất hiện nhiều trong các bài toán sơ cấp, cao cấp. Ngoài

ứng dụng trong Toán học, dãy Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong thiên

nhiên. Những chiếc lá trên một nhành cây mọc cách nhau những khoảng

tương ứng với dãy số Fibonacci. Các số Fibonacci xuất hiện trong những

bông hoa. Có một điều gì đó thần kỳ bao quanh dãy số Fibonacci. Dãy

Fibonacci có những tính chất đặc biệt đáng chú ý. Thật vô cùng bất ngờ, tỉ số

giữa hai số tiếp nhau của dãy số đó tiến đến tỉ số vàng.

Trong toán học và nghệ thuật, hai đại lượng được gọi là có tỉ số vàng nếu

tỉ số giữa tổng của các đại lượng đó với đại lượng lớn hơn bằng tỉ số giữa đại

lượng lớn hơn với đại lượng nhỏ hơn. Như là chuẩn mực của cái đẹp, tỉ số

vàng hiện diện ở nhiều nơi. Ở điện Parthenon của thành Athens, kim tự tháp

vĩ đại ở Giza được xây dựng từ nhiều trăm năm trước có tỉ số giữa chiều cao

của một mặt với một nửa cạnh đáy là tỉ số vàng. Một người phụ nữ có dáng