Số Fibonacci, dãy lucas

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THU TRANG

SỐ FIBONACCI, DÃY LUCAS

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THU TRANG

SỐ FIBONACCI, DÃY LUCAS

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học

PGS. TS. NÔNG QUỐC CHINH

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

1

Mục lục

Mở đầu 3

1 Các khái niệm, tính chất cơ bản 4

1.1 Dãy Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Các trường hợp đặc biệt của dãy Lucas . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Công thức Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Sự phát triển và tính toán số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Các mối quan hệ đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Tính chất chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Một số tính chất của số Fibonacci và số Lucas . . . . . . . . 12

1.8 Bổ sung các công thức của số Fibonacci, số Lucas . . . . . . . 19

1.9 Số Fibonacci, số Lucas bình phương . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Ứng dụng của số Fibonacci, dãy Lucas trong Toán phổ thông 33

Kết luận 44

Tài liệu tham khảo 45

2

Mở đầu

Dãy số Fibonacci xuất hiện lần đầu tiên trong cuốn sách Liber Abacci năm

1202 khi Leonardo Fibonacci (hay còn có tên tên khác là Leonardo Pisano)

là một nhà toán học người Ý giải quyết bài toán liên quan đến việc sinh nở

của bầy thỏ. Số Fibonacci xuất hiện và biến hóa vô tận trong tự nhiên, với

rất nhiều tính chất đẹp và ứng dụng quan trọng.

Công trình quan trọng đầu tiên nghiên cứu về số Fibonacci là của nhà

toán học Fran¸cois Édouard Anatole Lucas (1842–1891) được công bố trong

bài seminal của ông năm 1878. Giống như dãy Fibonacci, mỗi số trong dãy

Lucas bằng tổng của hai số liền trước nó. Dãy số gồm thương giữa hai số

Lucas liền nhau sẽ hội tụ đến giới hạn bằng tỉ lệ vàng. Tuy vậy khác với dãy

Fibonacci, hai số đầu tiên trong dãy Lucas là L0 = 2 và L1 = 1. Chính vì

thế mà một số tính chất của số Lucas sẽ khác với số Fibonacci.

Hiện nay tài liệu tiếng Việt về số Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng

của dãy Lucas trong Toán phổ thông chưa có nhiều và còn rời rạc. Vì vậy

việc tìm hiểu sâu và giới thiệu số Fibonacci, dãy Lucas là rất cần thiết cho

học tập và giảng dạy, ôn thi học sinh giỏi. Bản luận văn "Số Fibonacci,

dãy Lucas" được tiến hành chủ yếu dựa vào các tài liệu tham khảo.

Bản luận văn "Số Fibonacci, dãy Lucas" gồm có: mở đầu, hai chương

nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo.

Chương 1 Các khái niệm, tính chất cơ bản

Trong chương này trình bày định nghĩa số Fibonacci, dãy Lucas và các

trường hợp đặc biệt của dãy Lucas. Một số tính chất của số Fibonacci và

dãy Lucas. Công thức Binet, các mối quan hệ đại số, các công thức số học,

tính chất chia hết và một số công thức của số Fibonacci và số Lucas.

Chương 2 Ứng dụng của số Fibonacci, dãy Lucas trong Toán phổ

thông