Ứng dụng dãy fibonacci trong toán sơ cấp.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ THỊ THANH HIỀN

ỨNG DỤNG DÃY FIBONACCI

TRONG TOÁN SƠ CẤP

Chuyên nghành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. TRẦN QUỐC CHIẾN

Phản biện 1: TS Nguyễn Duy Thái Sơn.

Phản biện 2 : TS Trịnh Đào Chiến.

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn tốt

nghiệp thạc sỹ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 12

tháng 12 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

-Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng

-Trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Leonardo Pisano Bogollo (khoảng 1170 – 1250), còn đƣợc biết

với tên Leonardo của Pisa, hay phổ biến nhất dƣới cái tên Fibonacci,

là một nhà toán học ngƣời Ý và ông còn đƣợc một số ngƣời xem là

“nhà toán học tài ba nhất thời Trung Cổ”. Ông nổi tiếng trong thế

giới hiện đại vì có công lan truyền hệ đếm Hindu - Ả Rập ở Châu Âu

và đặc biệt là dãy số hiện đại mang tên ông, dãy Fibonacci trong

cuốn sách Liber Abaci – sách về toán đố năm 1202. Liber Abaci cũng

đề ra và giải quyết bài toán liên quan đến sự phát triển dân số của thỏ

dựa trên giả thiết lý tƣởng. Phép giải theo từng thế hệ là một chuỗi

các con số sau này đƣợc biết với tên dãy Fibonacci. Dãy số này đƣợc

các nhà toán học Ấn Độ biết đến từ thế kỷ thứ 6, nhƣng chỉ đến khi

cuốn Liber Abaci của Fibonacci ra đời, mới đƣợc giới thiệu đến

phƣơng Tây.

Dãy Fibonacci đƣợc coi là một dãy số kỳ diệu, nó xuất hiện

một cách tự nhiên ở hầu hết mọi sự vật, hiện tƣợng từ thiên nhiên đến

nhân tạo, chúng ta có thể bắt gặp sự hiện diện của nó ở thực vật cho

đến hệ động vật rất đẹp và đa dạng. Dãy Fibonacci và các tỉ lệ của nó

có vẻ rất lẻ và ngẫu nhiên, nhƣng kỳ lạ là nó đem lại sự cân bằng

hoàn hảo. Hơn nữa, ứng dụng của dãy Fibonacci trong toán học lại

rất phong phú. Vì vậy việc tìm hiểu sâu và giới thiệu dãy Fibonacci

và ứng dụng của nó trong toán sơ cấp là rất thú vị và cần thiết cho

học tập giảng dạy Toán, cũng nhƣ sự hiểu biết của con ngƣời.

2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài

- Giới thiệu dãy Fibonacci, công thức tổng quát của dãy

Fibonacci.

- Giới thiệu các tính chất và các hệ thức của dãy Fibonacci.

- Trình bày ứng dụng dãy Fibonacci trong toán sơ cấp.

2

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

- Giới thiệu dãy Fibonacci.

- Ứng dụng dãy Fibonacci trong toán sơ cấp.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Thu thập tài liệu, đọc hiểu để trình bày một có hệ thống lý

thuyết và bài tập.

- Tham gia các buổi seminar với thầy hƣớng dẫn để hiểu rõ

hơn về nội dung đề tài nghiên cứu.

5. Đóng góp của đề tài

Làm rõ sự kỳ thú và chứng minh tính phong phú của dãy

Fibonacci trong các ứng dụng của nó, đặc biệt là trong toán sơ cấp.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

 Ý nghĩa khoa học

Góp phần làm sáng tỏ các định lý, tính chất của dãy Fibonacci

và ứng dụng dãy Fibonacci trong toán sơ cấp.

 Ý nghĩa thực tiễn

Góp phần làm tài liệu tham khảo cho những ngƣời yêu thích dãy

Fibonacci và tìm hiểu về ứng dụng dãy Fibonacci trong toán sơ cấp.

7. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn dự kiến

đƣợc chia thành ba chƣơng.

Chƣơng 1. Kiến thức cơ sở.

Chƣơng 2. Dãy Fibonacci và các tính chất.

Chƣơng 3. Ứng dụng của dãy Fibonacci trong toán sơ cấp.

3

CHƢƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1. NGUYÊN LÝ QUY NẠP TOÁN HỌC

Giả sử rằng với mỗi số nguyên dƣơng n ta có mệnh đề logic

S n( )

. Ta chứng minh mệnh đề

S n( )

đúng nhƣ sau

a. Bƣớc cơ sở:

S(1)

đúng.

b. Bƣớc quy nạp:

n

  

, nếu

S n( )

đúng thì

S n( 1) 

đúng.

Khi đó,

S n( )

đúng

n

   .

1.2. DÃY SỐ

Định nghĩa 1.1. Một hàm số

un( )

xác định trên tập hợp các

số tự nhiên

,

đƣợc gọi là một dãy số vô hạn, mỗi giá trị của hàm số

un( )

gọi là một số hạng của dãy.

Ta thƣờng ký hiệu dãy

un( )

bởi

( ), un

ký hiệu các giá trị

u(0), u(1)

… tƣơng ứng bởi

0 u ,

1 u

… và

n u

là số hạng tổng quát của dãy.

Định nghĩa 1.2. Công thức truy hồi của dãy số

( )

n

s

là phƣơng

trình xác định

n

s

bằng các phần tử

0

s ,

1

s , …,

n 1

s 

trƣớc nó:

0

( ,

n

s F s 

1

s , …,

1

).

n

s 

Điều kiện ban đầu là gán các giá trị cho một số hữu hạn các

phần tử đầu.

Định nghĩa 1.3. Công thức truy hồi tuyến tính bậc k có dạng

1 1 2 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ), n n n k n k s c n s c n s c n s f n        

( ) S

trong đó

( ) i

c n

với

i 1, …, k

và

f n( )

là các hàm theo n với

( ) 0, . k

c n n   

Với công thức (S), công thức truy hồi sau

1 1 2 2 ( ) ( ) ... ( ) n n n k n k s c n s c n s c n s       

0

( ) S

4

gọi là công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất tƣơng ứng với

( ) S .

Nếu

( ) i

c n

với

i 1, …, k

là các hằng số

0, k

c 

và thì

( ) S

gọi

là công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng bậc k và

0

( ) S

gọi là công

thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng bậc k.

1.3. LÝ THUYẾT CHIA HẾT

Định nghĩa 1.4. Cho a, b là các số nguyên. Ta nói a chia hết b

(hay b chia hết cho a) nếu tồn tại số nguyên c sao cho

b ac 

.

Nếu a

chia hết b, ta ký hiệu

a b|

hoặc

ba. Khi

a b| ,

ta nói a là ƣớc của b.

Định nghĩa 1.6. Ƣớc chung lớn nhất của hai số a và b không

đồng thời bằng 0 là số nguyên dƣơng lớn nhất chia hết cả a và b.

Ta dùng ký hiệu

( , ) ab

để chỉ ƣớc chung lớn nhất của a và b.

Định nghĩa 1.7. Các số nguyên a và b đƣợc gọi là nguyên tố

cùng nhau nếu

( , ) 1. a b 

Thuật toán ơ-clit

Giả sử

0

r a 

,

1

r b 

là các số nguyên không âm và

b  0.

Ta thực hiện phép chia

0 1 1 2 r q r r   ,

1 0 1 q r r   ,   2 1 0 ,   r r

dừng lại khi

2

r  0.

Nếu

2

r  0,

ta tiếp tục

1 2 2 3 r q r r   ,

2 1 2 q r r   ,   3 2 0 ,   r r

dừng lại khi

3

r  0.

Nếu

3

r  0,

ta tiếp tục …

n n n 2 1 1 r q r     , q r r n n n    1 2 1

    

, 0 n

r 

với

n  2.

Khi đó,

1

( , ) . n a b r  

5

1.4. LÝ THUYẾT ĐỒNG DƢ

Định nghĩa 1.8. Cho a và b là các số nguyên, m là số nguyên

dƣơng. Ta nói rằng a đồng dƣ b môđulô m nếu

m a b | ( ).  Khi a

đồng dƣ b môđulô m, ta viết

a b m  (mod ).

Định lý 1.4.3. (Định lý Ơ-le)

Cho m là số nguyên dương và a là số nguyên thỏa

( , ) 1. a m 

Khi đó,

( ) 1(mod ), m

a m





trong đó

( ) m

là Phi-hàm Ơle.

Định lý 1.4.4. (Định lý Phecma bé )

Cho p nguyên tố và

a





với a không chia hết cho p. Khi đó,

1 1(mod ), p a p  

1.5. HÀM SINH

Định nghĩa 1.9. Cho dãy số thực

( ) n a

và biến x. Hàm sinh

thƣờng của dãy

( ) n a

là hàm

2 3

0 1 2 3 g x a a x a x a x ( ) ...     

Định nghĩa 1.10. Cho dãy số thực

( ) n a

và biến x. Hàm sinh

mũ của dãy

( )

n

a

là hàm

2 3

0 1 2 3 ( ) ...

1! 2! 3!

x x x

g x a a a a     

1.6. TỔ HỢP

Định nghĩa 1.11. Với mỗi cặp

( , ) nk

các số nguyên mà,

0 ,   k n

ta định nghĩa

!

!( )!

k

n

n

C

k n k





và gọi

k Cn

là số tổ hợp chập

k của n.

6

1.7. TỈ LỆ VÀNG

Định nghĩa 1.12. Chia một đoạn thẳng thành hai phần sao cho

tỉ số giữa đoạn ban đầu với đoạn lớn hơn bằng tỉ số giữa đoạn lớn và

đoạn nhỏ. Tỉ số đó chính là tỉ lệ vàng.

Nếu độ dài đoạn lớn qui về đơn vị thì tỉ lệ vàng bằng nghịch đảo của

nghiệm dƣơng của phƣơng trình

1 1 . a a a     

Giải phƣơng trình trên, ta đƣợc tỉ lệ vàng là

    1 5 2 1.618033989 

CHƢƠNG 2

DÃY FIBONACCI VÀ CÁC TÍNH CHẤT

2.1. ĐỊNH NGHĨA DÃY FIBONACCI

Bài toán mở đầu. Mỗi cặp thỏ mỗi tháng sinh một lần, cho

một cặp thỏ con. Cặp thỏ mới sinh ra sau hai tháng lại bắt đầu sinh

một cặp mới. Hỏi sau một năm sẽ có bao nhiêu cặp thỏ, nếu đầu năm

ta có một cặp thỏ?

Lời giải.

Nhƣ vậy từ giả thiết suy ra rằng, sau 1 tháng ta sẽ có 2 cặp thỏ, sau

hai tháng cặp thứ nhất sinh một cặp nữa ta có 3 cặp thỏ. Sau 3 tháng

cặp thứ 2 cũng sinh ra một cặp mới, vậy ta có 5 cặp thỏ. Ký hiệu

Fn

là số cặp thỏ có đƣợc sau tháng thứ n kể từ đầu năm, ta có sau tháng

thứ

n 1

thì sẽ có

Fn

cặp ban đầu, cộng thêm số cặp do các cặp đã có

sau tháng thứ

n 1

sinh ra, số này gọi là

Fn1

, do đó

1 1. F F F n n n    

Theo giả thiết

0 F 1,

1 F  2 ,

2 F  3

từ đó ta tính đƣợc

F12

 377.

Các số

Fn

trên đƣợc gọi là số Fibonacci.

7

Định nghĩa 2.1. Dãy Fibonacci là dãy số vô hạn các số tự

nhiên bắt đầu bởi số 0 và 1, kể từ số hạng thứ 3 trở đi, mỗi số hạng

của dãy đƣợc tính bằng tổng của hai số hạng đứng liền trƣớc nó.

Công thức truy hồi của dãy Fibonacci là

{

(2.1)

Định nghĩa 2.2. (dãy Lucas)

Dãy Lucas đƣợc định nghĩa là dãy

( ) L

n

mà các số hạng của dãy đƣợc

tính bởi hệ thức truy hồi sau

{

2.2. MỞ RỘNG DÃY SỐ FIBONACCI VỚI CHỈ SỐ ÂM

Với n là số nguyên dƣơng, ta có

1

( 1) . n F F n n



  

và

( 1) . n

L L n n

 

Hai công thức trên đƣợc chứng minh bằng phƣơng pháp quy nạp.

2.3. CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY FIBONACCI

Công thức của số hạng tổng quát của dãy Fibonacci là

, .

n n

F n n

 

 



 



(2.3)

Công thức của số hạng tổng quát của dãy Lucas là

, .

n n L n n

    

(2.4)

Định lý 2.3.1. Với mọi số nguyên dương n, ta có

1 1. L F F n   n n  

(2.5)

2.4. CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY FIBONACCI

Với n và i là hai số nguyên dương, ta có

Định lý 2.4.1.

1 2 3 2 ... 1. F F F F F       n n

(2.10)

8

Định lý 2.4.2.

1 3 5 2 1 2 ... . F F F F F      n n 

(2.11)

Hệ quả 2.4.1.

2 4 6 2 2 1 ... 1. F F F F F       n n

(2.12)

Định lý 2.4.3.

1 1

1

1

( 1) ( 1) 1.

n

k n

k n

k

F F  





     (2.13)

Định lý 2.4.4.

2 2 2 2

1 2 3 1 ... . F F F F F F      n n n

(2.16)

Định lý 2.4.5.

1

2

1

1

[1 ( 1) ]

2

k k

i i k

i

F F F







      (2.17)

Định lý 2.4.9.

2

1 1 ( 1)n F F F n n n  

   (2.20)

Ví dụ 2.2. Cho n là số nguyên không âm, ta có

2 2 5 4( 1) . n F L n n    (2.21)

Định lý 2.4.10. Cho m và n là hai số nguyên dương, ta có

1 1. F F F F F m n n m n m     

(2.22)

Hệ quả 2.4.2. Cho

n ,

ta có

2 2

1 2 1. F F F n n n    

(2.23)

Định lý 2.4.12. Cho n là số nguyên và

n  2,

khi đó

1

1

.

2

F F n n  

 

     

Hệ quả 2.4.3.

1

lim . n

n

n

F

F









Nhận xét. Tỉ số của hai số liên tiếp nhau của dãy số Fibonacci

ngày càng tiến đến tỉ lệ vàng.