Cơ học kết cấu 2 / Lê Văn Bình

CÔ KEÁT CAÁU 2 – LEÂ VAÊN BÌNH Tröôøng ÑH Môû Tp.HCM

Trang 1

Chương 1: Phương pháp lực để tính hệ siêu tĩnh

Khái niệm:

Hệ siêu tĩnh(HST) là một hệ bất biến hình thừa liên kết(n>0)

n=T + 2K + 3H – 3(D-1) >0

T + 2K + 3H>3(D-1)

Số ẩn số>số ptcb

Bậc siêu tĩnh là số liên kết thừa có trong hệ

Công thức xác định :

Hệ bất kỳ : n= T + 2K + 3H – 3(D - 1)

Hệ bất kỳ nối đất : n= T + 2K + 3H +C – 3D

Hệ dàn siêu tĩnh : n= D + 3 – 2M

Hệ dàn nối đất : D + C -2M

(nhớ chèn hình)

Công thức đối với hệ khung:

Vd:

Xét 1 chu vi hở như hình vẽ: Đây là hệ tĩnh định

- Nếu nối chu vi đó bằng 1 liên kết thanh thì hệ thu được là hệ siêu tĩnh bậc 1

(n=1)

- Nếu nối chu vi đó bằng 1 liên kết khớp thì hệ thu được là hệ siêu tĩnh bậc 2

(n=2)

- Nếu nối chu vi đó bằng 1 liên kết hàn thì hệ thu được là hệ siêu tĩnh bậc 3

(n=3).Hệ lúc này còn được gọi là chu vi kín.

- Phân tích ngược lại ta thấy 1 chu vi kín có bậc siêu tĩnh bằng 3,nếu thêm vào

1 khớp đơn giản thi bậc siêu sẽ giảm đi 1. Vậy nếu gọi V là số chu vi kín, K

là số liên kết khớp đơn giản của hệ thì bậc siêu tĩnh của hệ được tính bằng

công thức:

CÔ KEÁT CAÁU 2 – LEÂ VAÊN BÌNH Tröôøng ÑH Môû Tp.HCM

Trang 2

Hệ bất kỳ nối đất : n= T + 2K + 3H +C – 3D=7 với (T=0;K=0;H=2;C=6;D=3)

Hệ khung : n=3V- K = 3*4 – 5=7

*Tính chất hệ siêu tĩnh:

Nội lực s chuyển vị trong HST nhỏ hơn

nội lực và chuyển vị của hệ tĩnh

định(HTĐ) có cùng kích thước và tải

trọng

(vẽ hình)

Nguyên nhân do nhiệt độ và chuyển vị gối tựa gây ra nội lực trên hệ siêu

tĩnh(không gây nội lực trên HTĐ)

Vẽ hình: (Khe nhiệt ,khe lún)

CÔ KEÁT CAÁU 2 – LEÂ VAÊN BÌNH Tröôøng ÑH Môû Tp.HCM

Trang 3

Nội lực trong hệ siêu tĩnh phụ thuộc vào độ cứng của các cấu kiện:

Độ cứng kéo nén (EA) :N

Độ cứng chống trượt(GA) :Q

Độ cứng chống uốn(EI) :M

Kết luận : Muốn tăng nội lực nào thi tăng độ cứng tương ứng

1.1 Nội dung của phương pháp lực:

1.1.1 Hệ cơ bản:

Đn: hệ cơ bản của phương pháp lực là hệ đưuowjc suy ra từ hệ ban đầu bằng cách

loại bỏ một, một vài hoặc tất cả các liên kết thừa

Ví dụ:

A

B C

Bậc siêu tĩnh: n = 3V − K = 3×1−1 = 2

CÔ KEÁT CAÁU 2 – LEÂ VAÊN BÌNH Tröôøng ÑH Môû Tp.HCM

Trang 4

Giải phóng 1 bậc tự do:

B C

A A

B C

HCB

n = 1

HCB

n = 1

HCB

n = 1

B C

A

HCB

n = 1

B C

A

Giải phóng hai bậc tự do:

CÔ KEÁT CAÁU 2 – LEÂ VAÊN BÌNH Tröôøng ÑH Môû Tp.HCM

Trang 5

HCB

n = 0

B C

A

HCB

n = 1

B C

A

A

B C

HCB

n = 0

(sai HBH)

HCB

n = 0

( Ð)

B C

A

Yêu cầu hệ cơ bản: bất biến hình,dễ xác định nội lực

⇒Thường chọn ở dạng tĩnh định

1.1.2Hệ phương trình chính tắc của phương pháp lực:

Hệ siêu tĩnh ban đầu:

Chuyển vị theo phương liên kết dự

định giải phóng bằng 0

Phản lực theo phương liên kết dự định

giải phóng khác 0

Hệ cơ bản:

Chuyển vị theo phương liên kết dự

định giải phóng khác 0

Phản lực theo phương liên kết dự định

giải phóng bằng 0

Để HCB tương đương với HST ban đầu: Trên HCB đặt thêm các

“lực” X X X n

, , ,

1 2 L .Theo phương các liên kết giải phóng, chiều bất kỳ ⇒ẩn số

CÔ KEÁT CAÁU 2 – LEÂ VAÊN BÌNH Tröôøng ÑH Môû Tp.HCM

Trang 6

Điều kiện:∆ = 0 X K

(K = 1÷ n)

Xét phương trình thứ k của hệ phương trình cơ bản:

( , , , ,, ) 0 ∆X X1 X 2 X n P t Z = K L

Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, khai triển:

⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ∆ 1

X1 + ∆ X2 + + ∆ X + ∆ P + ∆ t + ∆ Z = X X K L X K n X K X K X K

0

1 2 ⇔ ∆ + ∆ + + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ = K K L Kn KP Kt KZ

(K = 1÷ n)

0 ⇔ 1 1 + 2 2 + + + ∆ + ∆ + ∆ = K K Kn n KP Kt KZ

δ X δ X L δ X

Km

δ chuyển vị theo phương XK,do Xm=1 gây ra trên hệ cơ bản

Hệ phương trình chính tắc của phương pháp lực:















+ + + + ∆ + ∆ + ∆ =

+ + + + ∆ + ∆ + ∆ =

+ + + + ∆ + ∆ + ∆ =

0

0

0

1 1 2 2

21 1 22 2 2 2 2 2

11 1 12 2 1 1 1 1

n n nn n np nt nz

n n P t Z

n n P t Z

X X X

X X X

X X X

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

L

LLLLLLL

L

L

viết theo ma trận:[δ ij]×{xi} = {∆ j}

Với ; : δ KK các hệ số chính

( ) : δ Km K+m các hệ số phụ

; ; : ∆ KP1 ∆ Kt1 ∆ KZ1 các hệ số tự do

1.2.3 Cách xác định các hệ số của phương trình chính tắc:

∆ Km =

( ) 



































+ − −

+ +

+

∑∫ ∑

∑∫ ∑∫

∑∫ ∑∫

m

j

j

K

m m

K

m

K c

m

K

m

K

m

K

t t dz R Z

h

M

dz N t dz

EI

M

M

dz

GA

Q

dz Q

EA

N

N

2 1

α

α

ν

Hệ số phụ: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) δ Km = NK N m + QK Qm + M K M m ≈ M K ( ) M m

Hệ số chính: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) δ KK = NK NK + QK QK + M K M K ≈ M K M K

Hệ số tự do:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

j

m

j

KZ K

K

m m

K

t

Kt c

KP K P K P K K K P

R Z

t t M

h

t N

M N Q Q M M M M

∑

∑ ∑

∆ = −

∆ = Ω + − Ω

∆ = + + ≈

2 1

0 0 0 0

α

α

Tổng quát: ( )( ) δ Km = M K M m =δ mK

Ví dụ:

CÔ KEÁT CAÁU 2 – LEÂ VAÊN BÌNH Tröôøng ÑH Môû Tp.HCM

Trang 7

EI

EI

L

L

q

Bậc siêu tĩnh: n = 3V − K = 3×1−1 = 2

Hệ phương trình chính tắc( Hệ ptct):







+ +∆ =

+ +∆ =

0

0

21 1 22 2 2

11 1 12 2 1

P

P

X X

X X

δ δ

δ δ

EI

EI

q

HCB

X1

X2

X1=1

1

M1

CÔ KEÁT CAÁU 2 – LEÂ VAÊN BÌNH Tröôøng ÑH Môû Tp.HCM

Trang 8

X2=1

1

M2

qL2

12

qL2/8

MPo

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

EI

qL L L

qL

EI

M M

EI

L

L L L

EI

M M

EI

L

L L L

EI

M M

EI

qL L L

qL

EI

M M

EI

L

L L L

EI

M M

EI

L

L L L L L L

EI

M M

P P

P P

2 4

0

2 2

3

22 2 2

3

21 12 1 2

2 4

0

1 1

3

12 1 2

3

11 1 1

8

1

4

3

3 2

1 1

3

1

3

2

2

1 1

2

1

2

1 1

6

1

3 2

1 1

2

1

2

1 1

3

4

3

2

2

1 1

 = −











∆ = = − × ×

=











= = × ×

= − 











= = = − × ×

 =











∆ = = × ×

= − 











= = − × ×

=











= = × × + × ×

δ

δ δ

δ

δ

chọn hệ cơ bản khác: vẽ hình

HCB

q

HCB

X2

X1

q

HCB

CÔ KEÁT CAÁU 2 – LEÂ VAÊN BÌNH Tröôøng ÑH Môû Tp.HCM

Trang 9

X1=1

M1

1

X2=1

1

M2

qL2

8

MP0

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

EI

qL L

qL

EI

M M

EI

L

L

EI

M M

EI

L

M M

EI

L qL L

qL

EI

M M

EI

L

L L

EI

M M

EI

L

L L L

EI

M M

P P

P P

2 3

0

2 2

22 2 2

2

21 12 1 2

2 4

0

1 1

2

12 1 2

3

11 1 1

24

1

1

2

1

3 8

1 2

3

1

1

3

2

1

2

1 1

6

1

24

1

3 8 2

1 2

6

1

3

1

1

2

1 1

3

2

3

2

2

1 1

 =











∆ = = × × ×

=











= = × × × ×

= = = −

 = −











∆ = = − × ×

= − 











= = − × × ×

=











= = × ×

δ

δ δ

δ

δ

1.3 Cách xác định kết quả cuối cùng:

* Giải hệ phương trình chính tắc tìm Xk :

*Cách tính trực tiếp: dùng phương trình cân bằng tĩnh học tìm các ẩn số phản lực

còn lại⇒ suy ra nội lực như một hệ tĩnh định

CÔ KEÁT CAÁU 2 – LEÂ VAÊN BÌNH Tröôøng ÑH Môû Tp.HCM

Trang 10

*Cách tính gián tiếp (cộng tác dụng):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0

1 1 2 2

1 1 2 2

1 2

1 2

...

, , , , ,,

P n n P t Z

n n

n

n

M M X M X M X M M M

S X S X S X S p S t S z

S X S X S X S p S t S z

S X X X P t Z

⇒ = + + + + + +







+ + + + + +

+ + + + + +

=

L

L

K

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC

( ) ( ) ( ) ( ) 0

1 1 2 2

2

2

1 2

1 2

3

2

3

1

3

3

2

3

1

3

7

3

28

1

0

8

1

3

1

2

1

0

6

1

2

1

3

4

0

8

1

3

1

2

1

0

6

1

2

1

3

4

M P M X M X M P

X qL

X qL

X X P

X X P

EI

qL X

EI

L

X

EI

L

EI

qL X

EI

L

X

EI

L

∗ = + +















=

=

⇔















− + − =

− + =

⇔















− + − =

− + =

⇔

M1

1

X1=1

+ M2

1

X2=1

+ MPo

qL2

8 qL2

12

= MP * 1

28 qL3

3

7/2

1

1.3.1 Cách tính chuyển vị do nhiệt (t)

Vẽ hình