Chuyên đề sự đối xứng trong hàm số có lời giải

www.VNMATH.com

Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 1

CHUYÊN ĐỀ ĐỐI XỨNG

TÂM ĐỐI XỨNG- TRỤC ĐỐI XỨNG- ĐỒ THỊ ĐỐI XỨNG VÀ CÔNG THỨC

CHUYỂN TRỤC

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN :

Cho hàm số y=f(x). có đồ thị (C)

1.Nếu f(x) là hàm số chẵn : Đồ thị của có đối xứng nhau qua trục Oy - Có nghĩa là ,trục Oy

là trục đối xứng của nó .

2. Nếu f(x) là hàm số lẻ : Đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

3. Cho hai điểm    11 2 2 A x y Bx y ;; ; và đường thẳng d : mx+ny+p=0 . Nếu A và B đối xứng

nhau qua đường thẳng d thì phải thỏa mãn hệ sau :

2 1

AB

2 1

. 1

; i:k êm I d

AB d k k y y vo

Trungdi x x

     

  

4. Cho điểm I( 0 0 x ; ) y . Nếu chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương của véc tơ OI thì công

thức chuyển trục là : 0

0

x x X

y y y

  



  

Khi đó phương trình của đồ thị (C) trong hệ mới : Y=F(X;y0;x0)

B. GHI NHỚ :

- Đối với đồ thị hàm phân thức , thì giao hai tiệm cận là tâm đối xứng

- Đối với hàm số bậc ba thì tọa độ điểm uốn là tọa độ tâm đối xứng

- Đối với hàm số trùng phương thì trục Oy là trục đối xứng của đồ thị hàm số .

C. CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

I.CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG

CÁCH GIẢI

Có hai cách

* Cách 1.

- Giả sử trục đối xứng có phương trình : 0 x  x . Gọi điểm I x 0 ;0

- Chuyển   0 Oxy IXY OI x x X

y Y

     

 



- Viết phương trình đường cong (C) trong tọa độ mới : Y=F(X;x0;y0) (*)

- Buộc cho (*) là một hàm số chẵn : ( Cho hệ số các ẩn bậc lẻ bằng 0 )

- Giải hệ các ẩn số bậc lẻ bằng 0 ta suy ra kết quả cần tìm .

* Cách 2. Nếu với 0 x  x là trục đối xứng thì : f( x  x fx x 0 0 )     đúng với mọi x , thì ta

cũng thu được kết quả .

Ví dụ 1. Cho hàm số   432 yx x x x C    4 7 64 . Chứng minh rằng đường thẳng x=1 là

trục đối xứng của đồ thị (C)

( Hoặc : Chứng minh rằng đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình của trục đối

xứng đó ? )

GIẢI